Un tel problème engendre un nombre important d’échecs encore en CE2, voire en CM1. Certains élèves, comme le dit Olivier Houdé² dans le Café pédagogique   ne parviendraient pas à « inhiber l’automatisme implicite » (Il y a le mot moins alors je soustrais) ce qui conduirait bon nombre d’entre eux à proposer une solution erronée obtenue par soustraction. Olivier Houdé constate, en fin d’article, que « [le cerveau] résiste de mieux en mieux – mais pas toujours ! – aux automatismes de pensée ». L’auteur ne précise cependant pas comment procéder pour permettre au cerveau de résister davantage et permettre à l’élève de manière plus sûre de trouver la solution du problème.

Un travail spécifique sur la langue peut permettre à davantage d’élèves de réussir.

L’énoncé ci-dessus est de fait une représentation en langue naturelle de la comparaison de deux collections de billes, celle d’Étienne et celle de Lucie. Tout est dit dans les deux premières phrases : « Étienne a trois billes de moins que Lucie. Étienne a six billes ». Cette représentation en langue naturelle de la situation exprime de manière explicite qu’Étienne a six billes et implicitement que Lucie a neuf billes. Le problème consiste à lever l’implicite portant sur le nombre de billes de Lucie, c’est à dire à représenter mathématiquement le nombre de billes de Lucie connaissant les deux informations « Étienne a trois billes de moins que Lucie. Étienne a six billes ». Il s’agit donc de convertir la représentation en langue naturelle « Étienne a trois billes de moins que Lucie. Étienne a six billes ». en une représentation dans le système des écritures symboliques mathématiques, soit une égalité résolvante.

L’égalité résolvante experte est la suivante: 6 + 3 = 9, égalité qui donne le nombre de billes de Lucie. Le membre de gauche « 6 + 3  » représente la même situation que les deux phrases « Étienne a trois billes de moins que Lucie. Étienne a six billes ». Ces représentations ne sont pas congruentes car à l’unité signifiante « moins » en langue naturelle correspond l’unité signifiante « + » dans le registre des écritures mathématiques. De plus, l’ordre des unités signifiantes est inversé (six arrive en fin d’énonciation en langue alors qu’il est en début d’énonciation dans l’écriture mathématique). Ce problème est donc difficile du fait de cette forte non congruence entre la représentation en langue et de la représentation fonctionnelle en mathématiques. Demander au cerveau d’être attentif, de ne pas se précipiter sur la première idée venue, n’est peut-être pas suffisant pour garantir la réussite. L’élaboration de stratégies de résolution s’impose donc.

Aussi proposons-nous un dispositif prenant appui sur la langue.

1. 1. J’écris ce que je cherche :

      — Je cherche le nombre de billes de Lucie.

   2. J’écris la phrase réponse (à trou) :

      — Lucie a _{—————}  billes.

   3. J’écris ce que je sais :

      — Étienne a trois billes de moins que Lucie.
      — Étienne a six billes.

   4. Je cherche si dans l’énoncé une phrase commence par Lucie a… La réponse est négative. En revanche, une phrase se termine par Lucie.

   5. Je reformule cette phrase, ce qui donne : Lucie a trois billes de plus qu’Étienne.

   6. Je reformule alors ce que je sais :

      — Lucie a trois billes de plus qu’Étienne.
      — Étienne a six billes.

      J’obtiens une représentation de la situation congruente avec l’écriture mathématique qui me permet facilement de trouver la solution.

   7. Je complète la phrase réponse : Lucie a 9 billes.

Ce qui vient d’être écrit peut sembler long, mais ce travail, réalisé de manière rituelle à l’oral et à l’écrit, semble conduire à une amélioration des résultats.

Quelques résultats

Nous avons proposé à des élèves de fin CP³, deux énoncés non congruents, reproduits ci-dessous. Dans le premier énoncé, la comparaison est représentée par l’expression de moins, dans le deuxième, par l’expression de plus. Les deux énoncés ont été évalués du point de vue de leur réussite en français (reformulation juste : item F) et en mathématiques (calcul ou résultat juste : item M).

L’item F porte sur la compréhension de la phrase « Macha a 2 bonbons de moins que Léa. » par l’intermédiaire d’une réécriture en « Léa a 2 bonbons de plus que Macha. », phrase censée aider les élèves dans la résolution du problème (question 1).

Pour ce problème, on obtient les résultats indiqués dans le tableau croisé ci-dessous qui répartit les 273 élèves ayant répondu en quatre classes.

Statistiquement, tout se passe comme si le score des élèves en maths était le fruit du hasard, environ 50 % de réussite (139 contre 134), les élèves ne faisant qu’additionner ou soustraire les deux nombres en jeu.

Le tableau ci-dessous reprend en pourcentages le tableau précédent :

Ce tableau est éloquent car il montre que les élèves réussissant à reformuler une donnée réussissent à 73 % le problème de mathématiques, au contraire de ceux qui ne parviennent pas à reformuler et qui ne réussissent qu’à 37 %. Si ces résultats ne suffisent pas pour inférer l’existence d’une relation de cause à effet, entre la capacité à reformuler et la réussite en mathématiques, ils permettent cependant de formuler l’hypothèse que la réflexion suscitée par la reformulation constitue une aide pour la résolution du problème.

L’item F porte sur la réécriture de la phrase « Billy a 4 cubes de plus que Sami. » en « Sami a 4 cubes de moins que Billy. », phrase censée aider les élèves dans la résolution du problème.

Pour ce problème, on obtient les résultats indiqués dans le tableau ci-dessous qui répartit les 263 élèves ayant répondu en quatre classes selon leurs résultats conjoints en maths et en français.

Il est ici possible d’affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 2,5 % que les résultats des élèves en maths ne sont pas le fruit du hasard, avec environ 40 % de réussite et 60 % d’échec (158 contre 105), mais s’orientent dans le sens de l’échec.

Le tableau ci-dessous reprend en pourcentages le tableau précédent :

Là encore, plus des deux tiers des élèves qui réussissent à reformuler la phrase résolvent correctement le problème, alors que ceux qui échouent dans la reformulation de la phrase ne réussissent qu’à 22 %.

On peut s’interroger sur les causes de la différence des résultats entre ces deux problèmes, qui traduisent la même situation de comparaison. Celle-ci est peut-être liée à la transformation en « moins » d’un « plus », ou, plus vraisemblablement, en classe de CP, à la nature de l’opération attendue qui est une soustraction.

L’impossibilité de conclure à une relation de cause à effet pour ces deux résultats n’empêche cependant pas de se demander si un travail spécifique en langue ne permettrait pas aux élèves de mieux se représenter la situation décrite par l’énoncé et donc de mieux réussir en mathématiques.

Conclusion

La commission Villani-Torrossian ne développe pas explicitement l’importance d’un travail spécifique sur la langue française dans toutes les disciplines et plus spécifiquement en mathématiques, mais elle émet la recommandation suivante : « expliciter les liens entre langue française et les mathématiques dès le plus jeune âge »⁴.

Il ne s’agit pas, à nos yeux, « d’expliciter des liens », ce qui relève d’une pédagogie expositive, mais bien d’analyser la langue française, et surtout de la faire fonctionner en situation de compréhension de textes, de production d’écrits, dans toutes les situations d’apprentissages mathématiques et plus particulièrement en résolution de problèmes.

Il semblerait en effet, qu’au vu des résultats précédents, un travail spécifique sur la langue en mathématiques, dès les premiers apprentissages, soient d’une grande importance pour la réussite des élèves.