Questions d’intervalles

Jean-Christophe Deledicq

© APMEP Juin 2018

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Introduction

Le jeu-concours Kangourou existe depuis 27 ans, il a lieu le 3^e jeudi du mois de mars. Il propose 5 sujets constitués de 24 questions posées sous la forme de QCM.

Chaque sujet correspond à plusieurs niveaux : sujet E (CE2, CM1, CM2) ; sujet B (6^e, 5^e) ; sujet C (4^e, 3^e) ; sujet J (2^e, 1^re et Terminale sauf S) et enfin sujet S (1^re S, Terminale S, Bac + 1) ; les classements sont séparés pour chacun des treize niveaux.

La nomenclature des questions est la suivante, tous les noms de questions commencent par la lettre « K », puis on trouve deux chiffres correspondant à l’année, puis la lettre du sujet (E, B, C, J ou S), puis le rang de la question dans le sujet (les questions 1 à 8 sont dites faciles, 9 à 16 moyennes et 17 à 24 difficiles).

Les questions rapportent 3, 4 ou 5 points suivant leur niveau de difficulté. Si aucune réponse n’est donnée, la question rapporte 0 point, de même si deux réponses ou plus ont été cochées. Une réponse erronée coûte un quart de sa valeur en points.

Il est donc préférable de ne pas répondre plutôt que de répondre faux.

Voici ci-dessous le diagramme en bâtons des effectifs de participants des sept dernières années. Ce sont ces effectifs sur lesquels sont faites les statistiques.

Questions d’intervalles

On le sait, le problème des intervalles est toujours source de piège. Les élèves, comme beaucoup d’adultes d’ailleurs, se trompent très souvent de 1 dans le résultat, confondant les intervalles avec les extrémités ou l’inverse. Faut-il ou non compter les extrémités de l’intervalle ? Une difficulté repérée à l’école, au collège, au lycée et qui perdure toute la vie !

Voici pour commencer un problème tout à fait typique :

1. D’une part, il faut noter que la mauvaise réponse \(8 \times 9 =
   72\) (réponse D) attire la majorité des élèves de fin de collège. Ce piège fonctionne chaque fois à merveille !

   Voici la répartition des réponses (sur le diagramme, le fond coloré représente la bonne réponse ; la dernière colonne (NR) représente les non-réponses) :

   

2. Mais ce qui est le plus remarquable, c’est que ce sont les filles qui réussissent le mieux à cette question. Le pourcentage des filles donnant la bonne réponse est de 4 points supérieur à celui des garçons.

   Voyez la répartition filles-garçons ci-dessous.

   

Et ce qui est encore plus remarquable, c’est la constance de ces deux remarques sur cette question des intervalles au fil des années.

Voyez par exemple en 2009 :

Le taux de bonne réponse est de 56,8% pour les garçons et 61,4% pour les filles. Une différence significative de plus de 4 points. La bonne réponse est B ; la mauvaise réponse A attire 25% des garçons et 20% des filles, les autres fausses réponses et non-réponses étant dans les mêmes taux pour les filles et les garçons.

Ou encore en 2017 :

Et les statistiques de la question 8 du sujet B de 2004, confirment encore cette conclusion que les filles de collèges répondent beaucoup mieux à ces questions d’intervalles.

Notons que pour toutes les questions présentées ici, le taux de non réponse est très bas (de 2 à 7%) ce qui montre que, pour les élèves, cette question est considérée comme facile et ne cachant pas de piège !

Conclusion

Depuis 15 ans, au Kangourou, sur des questions de type QCM portant sur les intervalles, les filles réussissent mieux que les garçons, environ 4 points de mieux¹. Et la majorité (plus de 40%) des élèves de la 6^e à la 3^e tombent dans le fameux piège consistant à confondre intervalles entre les bornes et bornes des intervalles.

Jean-Christophe Deledicq est ingénieur en informatique. Auteur de nombreux livres de vulgarisation des mathématiques, il rejoint le Kangourou  dans les années 1990 et organise la Nuit des Maths depuis 2015 .