Au fil des problèmes n° 538
Solutions
Frédéric de Ligt
© APMEP Juin 2021
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538-1 Partage de pizza (Jean-Pierre Friedelmeyer – Stasbourg)
La pizza \(\mathsf{ABC}\) a la forme d’un triangle équilatéral. Le point \(\mathsf{P}\) est un point quelconque à l’intérieur. La pizza est découpée par les segments \([\mathsf{PA}]\), \([\mathsf{PB}]\) et \([\mathsf{PC}]\) et les perpendiculaires aux côtés, \([\mathsf{PH}]\), \([\mathsf{PG}]\) et \([\mathsf{PK}]\). On prend une part sur deux, alternativement.
Démontrer l’égalité en aire de la somme des parties en orange et de la somme des parties en blanc.
Pour voir d’autres partages équitables de pizzas d’autres formes, n’hésitez pas à aller lire l’article de Jean-Pierre Friedelmeyer 
.
538-2 Sangaku hyperbolique (d’après une idée de Walter Mesnier – Poitiers)
Calculer l’aire des deux disques sachant qu’elle est maximale et que la branche d’hyperbole est d’équation \(y=\dfrac{1}{x}\) dans un repère orthonormé.
Ce que l’on voit sur la figure fait office de données. Les cercles sont bien tangents entre eux. Le petit est tangent à la branche d’hyperbole en un seul point et le grand en deux points.
538-3 Somme de puissances (Terence Tao – Los Angeles)
Soit \(p\) un nombre premier impair et \(k\) un entier naturel non nul et non divisible par \(p-1\). Montrer que :
\[1^k+2^k+3^k+\cdots+(p-1)^k \text{ est divisible par }p.\]
538-4 Un peu d’algèbre pour finir
Si trois nombres \(x, y\) et \(z\) vérifient le système d’équations :
\[
\left\{\begin{array}{*{7}{c}}
x& +& y& +& z& =& 1\\
x^2& +& y^2& +& z^2& =& 5\\
x^3& +& y^3& +& z^3& =& 4
\end{array}\right.\]
Alors, pour tout entier relatif \(n\), la somme \(x^n+y^n+z^n\) est toujours un entier naturel non nul.
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