Faire du calcul mental en jouant avec Chamboul’math

Dans notre monde actuel où tout s’accélère sans que nous mettions en jeu nos capacités réflexives, il est pertinent de s’intéresser à la place du calcul mental dans nos vies et avant tout dans nos écoles. Gérard Martin nous présente son Chamboul’math qui rime avec calcul mental, chance et astuce.

Gérard Martin

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Continuer la lecture de Faire du calcul mental en jouant avec Chamboul’math

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Maths et Arts?

Mathématiques et Arts, à première vue, rien à voir… Pourtant, les liens entre ces deux manières de dire le monde sont beaucoup plus profonds qu’on ne le croit. Leur relation est intime, vous en serez convaincus en lisant ces pages. Le calcul, réputé froid et ennuyeux, ne s’oppose pas à la liberté de l’artiste, il ne l’entrave même pas. L’imagination sans la rigueur termine en élucubration, la rigueur sans l’imagination dégénère en raideur.
D’ailleurs, il y a une esthétique dans les mathématiques, accessible à tous par la beauté de certaines formes géométriques ou courbes paramétrées. Mais il y a aussi une esthétique spécifique, propre aux mathématiques, qui va se nicher dans ce que nous appelons une «belle démonstration» ou une «jolie formule», où semble atteinte une certaine perfection dans le dépouillement et l’efficacité. Il faut y voir un effet de l’art, dépassant l’artisanat de l’activité mathématique.
Pour tout dire, rajoutons que, tout comme les mathématiques, l’art ne tire son génie créateur que d’une alliance entre une patiente pratique et une imagination féconde. Et notre discipline ne se laissant pas ranger facilement dans la Science, on peut bien lui faire, à l’instar des Grecs, une place de choix au milieu des Arts. Alors, Maths et Arts, bien sûr!
Au plus près du quotidien de notre métier, l’association «Les Maths en scène» , une de nos partenaires, a lancé le projet «Regards de géomètre». Ce projet a pour objectif de faire découvrir la culture mathématique via le monde artistique et scientifique pour des élèves de la maternelle jusqu’au lycée. Vous pourrez retrouver sur leur site de nombreuses productions d’élèves. Nous sommes attachés à ces projets qui permettent de travailler autrement les mathématiques et qui aident à leur trouver du sens. La géométrie n’est pas le seul exemple du rapprochement entre maths et arts. On peut facilement penser à la musique, mais n’oublions pas la littérature… Je vous invite à lire ou relire l’article de Rémi Duvert, Mathématiques et littérature , pour vous convaincre des liens entre ces deux disciplines souvent séparées dans les cursus. Quant aux lectures et études des textes de l’OuLiPo , elles sont toujours l’occasion de faire des mathématiques et de la littérature en interdisciplinarité avec nos élèves tout en s’amusant.
À la lecture de ce numéro d’Au fil des maths, vous ne pourrez donc qu’aboutir à cette conclusion: il existe un isomorphisme entre artistes et mathématiciens… N’hésitez plus : faites des maths, soyez artistes !

Sébastien Planchenault
Président de l’APMEP

Spirale.

Ce numéro sur les arts a inspiré un de nos illustrateurs, Jean-Sébastien Masset. En guise de fil rouge, suivez ses dessins tout au long du numéro. Chaque dessin est à la fois inspiré par une œuvre d’art et par l’article dans lequel il est intégré. Si vous souhaitez lever le voile sur sa démarche, il vous livre toutes les explications .

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Pour un droit aux mathématiques !

Une fois n’est pas coutume, cette tribune ne nous vient pas d’un acteur de l’enseignement des mathématiques. Ce texte montre à quel point le malaise de la place des mathématiques dans la réforme du lycée dépasse le cercle « des profs de maths défendant leur pré carré », et révèle un vrai problème de société. Puisse-t-il être lu et entendu !

David Zerbib

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Continuer la lecture de Pour un droit aux mathématiques !

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Le mot de la rédaction

La parole aux artistes dans ce numéro qui en met «plein les mirettes» ! Suivons Pierre Gallais et le Collectif pour découvrir deux démarches à la fois esthétiques et foisonnantes. Admirons les pavages de Loïc Terrier et les ouvrages en crochet de Bérénice Delcroix-Oger. Lançons-nous dans les azulejos avec Olivier Garrigue. Et réfléchissons sur ces liens entre mathématiques et arts, si délicats à caractériser, avec Bernard Parzysz.
Ne manquez surtout pas la tribune d’un parent d’élève, David Zerbib, pour le droit aux mathématiques. Son plaidoyer est nécessaire et sain. Par ailleurs, découvrez le bel article qui a gagné le Trophée Tangente 2020, complété pour nous par son auteur, Antoine Rolland. Enfin, des nouveautés dans ce numéro : si nous ne retrouverons plus les Anniversaires fort appréciés de Dominique Cambrésy, que nous remercions pour sa collaboration lors de ces deux premières années d’Au fil des maths, nous allons profiter d’une nouvelle rubrique : Le CDI de Marie-Ange, dans laquelle Marie-Ange Ballereau écumera son CDI mathématique rêvé dans l’espoir d’alimenter celui de votre établissement si le cœur (et le budget !) vous en disent.
Avec une incursion sur les représentations en barre, qui intéresseront particulièrement les collègues de cycles 2 et 3, une dose de géométrie en maternelle et quelques récréations alléchantes, voici encore un numéro riche et qui saura, nous l’espérons, répondre à vos attentes.

Bonne lecture !

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Un peu d’infini

La fréquentation de l’infini est certainement un objectif important des classes de lycée ; l’ouvrage [30] propose une approche très fouillée de la question. Pour sortir des manipulations algébriques formelles de limites et de primitives, peu porteuse de sens, il est possible d’explorer certains problèmes en rapport avec notre sujet.

Théorème de Cesàro

  À partir d’une suite de réels \((u_n)\), on peut fabriquer une suite de moyennes \(\displaystyle\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k\right)\) et étudier son comportement. Des exemples, avec au besoin exploration numérique, sont les bienvenus.

Le théorème dit de Cesàro49 affirme que, si la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge vers \(\ell\), il en est de même de la suite des moyennes \((v_n)\). La démonstration nécessite le plein fonctionnement de la définition de la convergence au programme de Terminale.

L’invariance des moyennes par translation permet de supposer que \(\ell=0\). On considère ensuite un intervalle ouvert quelconque \(I\) contenant \(0\) et un intervalle fermé \(J \subset I\) (si \(I=]a\,;\,b[\), \(J=\big[\dfrac{a}{2}\,;\,\dfrac{b}{2}\big]\) convient). À partir d’un certain rang \(p\), tous les termes de la suite \((u_n)\) sont dans \(J\); on écrit alors la moyenne \(v_n\) sous la forme d’un barycentre de deux moyennes; pour \(n
\geqslant p\)
, \[v_n=v_p \frac{p}{n} +\underbrace{\frac{u_{p+1}+\cdots+u_n}{n-p}}_{b_n}\frac{n-p}{n}\] la suite \(\left(v_p\dfrac{p}{n}\right)_n\) converge vers \(0\) et la suite \((b_n)\) est une moyenne de termes de \(J\) donc est dans \(J\); et le produit par \(0<\dfrac{n-p}{n}<1\) la laisse dans \(J\) donc dans \(I\), ce qui prouve que \((b_n)_n\) converge aussi vers \(0\).

Si la suite \((u_n)\) est monotone, par exemple croissante, tout est plus simple en s’appuyant encore sur les propriétés des moyennes (qui sont des barycentres). La suite des moyennes est elle aussi croissante, majorée par \(\ell\), donc convergente vers \(\ell’ \leqslant \ell\) et si \(\ell'<\ell\) la considération du barycentre \((2\,v_{2n}-v_n)\) permet d’obtenir une contradiction.

Le centre de gravité d’une plaque triangulaire

  L’argument de Stevin présenté précédemment peut être mis en forme en admettant quelques propriétés dont l’existence du centre de gravité. Un partage en \(n\) de la médiane conduit à \(n-1\) parallélogrammes et \(n+n\) petits triangles. La plaque se décompose alors en deux parties : la réunion \(P_n\) des parallélogrammes, de centre de gravité \(\mathsf{H}_n\) situé sur la médiane \(m\), et la réunion \(T_n\) des petits triangles, de centre de gravité \(\mathsf{K}_n\) situé à l’intérieur de la plaque, la position exacte important peu.

Si \(S\) désigne l’aire du triangle, l’aire de \(T_n\) est \(\dfrac{1}{n}S\) et celle de \(P_n\) est donc \(\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\,S\) puisque \(T_n \cap
P_n\)
est réunion finie de segments. On a alors exactement, pour tout \(n\), \[\mathsf{G}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\,\mathsf{H}_n+\frac{1}{n}\,\mathsf{K}_n.\] Projetons sur le côté parallèlement à la médiane; si \(\mathsf{A}’\) est le pied de la médiane, on a \[\mathsf{G}’=\left(1-\frac{1}{n}\right)\,\mathsf{A}’+\frac{1}{n}\,\mathsf{K}’_n\] soit \(\overline{\mathsf{A}’\mathsf{G}’}=\frac{1}{n}\overline{\mathsf{A}’\mathsf{K}’_n}\); \(\mathsf{K}’_n\) appartenant au côté contenant \(\mathsf{A}’\), la suite des \(\overline{\mathsf{A}’\mathsf{K}’_n}\) est bornée, donc le membre de droite converge vers 0, et par unicité de la limite, \(\overline{\mathsf{A}’\mathsf{G}’}=0\) donc \(\mathsf{G}’=\mathsf{A}’\) et finalement \(\mathsf{G} \in m\).

Faisons une remarque : on pourrait tout aussi bien utiliser des coordonnées pour se ramener à des convergences de suites de réels, mais en admettant que le résultat ne dépend pas du repère utilisé, ce qui revient à admettre que le problème est affine…

Ce travail peut être repris pour déterminer le centre de gravité d’un tétraèdre plein.

Moyenne de fonctions

  La fonction \(\sin\) prend une infinité de valeurs sur l’intervalle \([0\,;\,\pi]\); comment en faire la moyenne ? Sur \([0\,;\,2\pi]\), l’intuition graphique suscitée par la symétrie conduit à une valeur moyenne nulle. Cette intuition peut faire l’objet d’une démonstration en admettant que la moyenne d’une fonction doit posséder des propriétés de nature barycentrique, la masse étant jouée par la longueur de l’intervalle. L’examen du cas des fonctions constantes par morceaux est essentiel pour mettre cela en place.

Désignons par \( \mu(f,[a\,;\,b])\) la moyenne de \(f\) sur un intervalle \([a\,;\,b]\) (\(a<b\)); on cherche à définir cette grandeur de sorte que les propriétés suivantes soient satisfaites :

  1. si \(f\) est constante égale à \(C\), alors \( \mu(f,\,[a\,;\,b])=\dfrac{C}{b-a}\);

  2. si \(f\) est constante par morceaux (\(f=U\,\mathbb{1}_{[a\,;\,c]}+V\,\mathbb{1}_{[c\,;\,b]}\)) alors \( \mu(f,\,[a\,;\,b])=\dfrac{(c-a)U+(b-c)V}{b-a}\) (cas particulier de [enum4]);

  3. si \(f \leqslant g\) sur \([a\,;\,b]\), alors \( \mu(f,\,[a\,;\,b])\leqslant
    \mu(g,\,[a\,;\,b])\)

  4. si \(a \leqslant c \leqslant b\) alors \[ \mu(f,\,[a\,;\,b])=\frac{(c-a) \mu(f,\,[a\,;\,c])+(b-c)\, \mu(f,\,[c\,;\,b])}{b-a}\cdotp\]

On peut imaginer un cheminement conduisant de la moyenne d’une fonction constante, en passant par une formule de type barycentrique pour une fonction constante par morceaux, à la formule \[ \mu(f)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\mathrm{d}\,x\] pour une fonction continue monotone, le passage à la limite dans le cas monotone pouvant se justifier par encadrements et le cas général (fonction continue monotone par morceaux) à nouveau par barycentre partiel.

Il est aussi possible de procéder « à la physicienne »50; désignons par \(m(x)\) la valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;\,x]\subset[a\,;\,b]\) comme on le fait pour l’interprétation géométrique de l’intégrale comme l’aire sous la représentation graphique.

On a, d’une part, \(m(a)=0\) et, par la propriété [enum4], \((x-a+\Delta x)\,m(x+\delta x)=(x-a)m(x)+\Delta x\, \mu(f,\,[x\,;\,x+\Delta\,x])\).

Un physicien dira sans hésiter que comme \(f\) est continue, si \(\Delta\,x\) est assez petit — osons l’audace, infiniment petit —, on peut « assimiler »51 \( \mu(f,\,[x\,;\,x+\Delta\,x])\) à \(f(x)\). Donc \[(x-a+\Delta x)\,m(x+\Delta x)=(x-a)\,m(x)+\Delta x\,f(x)\] après quelques réécritures et en prenant la limite sur \(\Delta x\), on obtient : \[(x-a)m'(x)+m(x)=f(x)\text{ sur }[a\,;\,b]\] d’où l’on déduit (en observant que le membre de gauche est la dérivée d’un produit) \[m(x)=\frac{1}{x-a}\int_a^xf(t)\mathrm{d}\,t.\]

Le professeur de mathématiques plus sourcilleux remplacera l’assimilation suspecte du physicien par un encadrement dans le cas monotone.

L’étape suivante pourrait être de déterminer le centre de gravité de l’hypographe d’une fonction (positive), travail sensiblement plus complexe pour aboutir aux formules (méconnues semble-t-il) : \[X_\mathsf{G}=\frac{\displaystyle
\int_a^bx\,f(x)\mathrm{d}\,x}{\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm{d}\,x},
Y_\mathsf{G}=\dfrac{\displaystyle \frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}\,x}{\displaystyle
\int_a^b f(x)\mathrm{d}\,x}\cdotp\]
On pourra consulter [17] pour une approche originale de cette question.

Pour rester dans la fréquentation de l’infini, on ne manquera pas d’étudier le centre de gravité de l’hypographe de \(x \longmapsto \dfrac{1}{x^3}\) sur \(]1\,;\,+\infty[\); le succès est garanti.

Loi des grands nombres de Jacques Bernoulli

  Il s’agit toujours d’une histoire de moyennes; on répète \(n\) fois, avec indépendance des épreuves, une épreuve de Bernoulli \(\{E,\,S\}\) avec \(\mathbb{P}(S)=p\); soit \(F_n\) la moyenne des succès et \(\mathbb{P}_n\) la probabilité produit sur \(\Omega_n=\{E,\,S\}^n\). On sait que l’espérance de \(F_n\) est \(p\). Diverses simulations permettent de mettre en évidence une proximité des valeurs de \(F_n\) et de \(p\); de façon plus précise, avec par exemple \(p=\dfrac{1}{2}\) (pile ou face) et si on répète mille fois une évaluation expérimentale de \(F_{{1000}}\), on aura rarement \(\left|F_{{1000}}-\dfrac{1}{2}\right|\geqslant {0,1}\) et très souvent \(\left|F_{{1000}}-\dfrac{1}{2}\right|<{0,05}\).

Or on dispose d’une majoration de \(\mathbb{P}_n\left(\left|F_n-p \right|
\geqslant \varepsilon \right)\)
fournie par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Soit \( \sigma_n=\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\) l’écart-type de \(F_n\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne \[\mathbb{P}_n\left(\left|F_n-p\right| \geqslant
\varepsilon\right) \leqslant \frac{p(1-p)}{n\, \varepsilon^2} \leqslant
\frac{1}{4\,n \varepsilon^2}\cdotp\]
Il est difficile d’envisager un passage effectif à la limite puisque \(\mathbb{P}_n\) dépend de \(n\); mais l’infini potentiel est suffisant52; on peut vérifier qu’avec \(n=10^3\), et \( \varepsilon={0,1}\) puis \({0,05}\), on obtient \[\mathbb{P}_{{1000}}\left(\left|F_{{1000}}-\frac{1}{2}\right|
\geqslant {0,1}\right) \leqslant \frac{1}{40}\]
et \[\mathbb{P}_{{1000}}\left(\left|F_{{1000}}-\frac{1}{2}\right| <
{0,05}\right) \geqslant \frac{999}{{1000}}\cdotp\]
Ces questions ont suffisamment été développées dans les programmes précédents pour qu’il soit utile d’insister.

Un équilibre inconcevable

  Le problème des surplombs est classique et ancien; on le trouve dans des ouvrages de mécanique du XIX\(^e\) siècle. Au XX\(^e\) siècle, c’est Martin Gardner qui a popularisé le problème.

En empilant des dominos ou des cartes à jouer, quel est le plus grand surplomb qu’on puisse obtenir ?

Bien sûr, on peut faire des essais mais quoi qu’on fasse, la pile finit toujours par s’écrouler. La principale raison est que l’on construit naturellement la pile de bas en haut. Or il convient de le faire de haut en bas.

Ainsi, posons le domino du haut, disons le numéro \(1\), au bord d’une table; l’équilibre est garanti si son centre de gravité est à la verticale du polygone de sustentation. Comment placer au mieux celui qui est dessous, le numéro \(2\) ? On commence par le glisser dessous au niveau du bord de la table, puis on déplace l’ensemble des deux dominos. C’est toujours le même problème de statique : le centre de gravité de l’ensemble domino \(1\) + domino \(2\) doit être au pire à la verticale du bord de la table. Le domino \(1\) est alors déplacé vers la droite, le surplomb augmente. Laissons au lecteur le plaisir de continuer, en passant directement au domino \(n\).

Et la réponse finale est étonnante : il n’y a pas de limite au surplomb possible (au moins en théorie). En effet, en suivant le principe exposé, à l’étape \(n\), on a, en prenant la longueur d’un domino comme unité, un surplomb égal à \[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2n}\cdotp\] Une des inégalités élémentaires les plus utiles qui soit est \(\ln(1+x)
\leqslant x\)
, valide pour tout \(x>-1\), qui est d’ailleurs une inégalité de convexité. Elle fournit, pour \(k\) entier, \(\ln(k+1)-\ln(k)=\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\leqslant\dfrac{1}{k}\) qui donne par télescopage \[\ln(n+1)\leqslant \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\] ce qui démontre que le surplomb peut être arbitrairement grand. Bien sûr, toute réalisation effective est vouée à l’échec; il est d’ailleurs instructif de déterminer le nombre de cartes au format \({9}\text{ cm}\times{6}\text{ cm}\) qu’il suffirait d’empiler pour obtenir un surplomb de \({25}\text{ cm}\) ou d’un mètre, histoire de comprendre le nom de surplomb logarithmique donné à cet empilement53.

Le lecteur intéressé par cette question des surplombs pourra consulter la thèse de Treeby déjà citée ou l’article de Jean-Paul Delahaye [31].

La promenade dans l’univers des barycentres s’achève, mais le sujet est loin d’être épuisé. Nous souhaitons que nos collègues y puiseront des idées de thèmes à aborder avec leurs élèves.

2.6 Courbes de Bézier

Vide

Sommaire de l’article

Vide

 


  1. Il importe peu que les droites soient deux à deux distinctes ou non. On peut contester le fait que l’adjectif « concourantes » puisse être utilisé dans un autre cas que le cas « un seul point d’intersection ». On peut toujours le supposer.

  2. Ernesto Cesàro (1859-1906) est un mathématicien italien.

  3. Aucune péjoration dans ce propos; apprendre à négliger intuitivement ce qui peut l’être est une compétence précieuse.

  4. Terme fétiche de nos collègues physiciens.

  5. Et seul envisageable; comment donner un sens à la limite du membre de gauche en Terminale ?

  6. L’inégalité \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \leqslant 1+\ln(n)\) est éclairante.

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Courbes de Bézier

Ce thème est abondamment documenté ([24], [25] et [26]). On se contente ici de l’introduire en faisant le lien avec notre fil rouge. On se place dans le plan \(P\), au besoin dans \(\widehat{P}\). Le but du concepteur (Pierre Bézier !) est de construire un outil permettant de tracer des courbes paramétrées régulières susceptibles d’être facilement modifiées pour satisfaire à des exigences de nature diverses, esthétiques ou techniques, par exemple simples à programmer sur une machine à commande numérique. L’idée de départ est que, si les masses d’un système de points massifs sont des fonctions d’une variable, leur barycentre est variable et décrit, sauf pathologie, une courbe; cette courbe peut être modifiée en déplaçant les points considérés.

À la base, on a deux points \(\mathsf{C}_0\) et \(\mathsf{C}_1\); on introduit le barycentre variable \(\mathsf{M}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_0+t\,\mathsf{C}_1\) avec \(t \in ]0\,;\,1[\). \(\mathsf{M}(t)\) décrit le segment \([\mathsf{C}_0\mathsf{C}_1]\). Le déplacement des extrémités permet d’obtenir le tracé de n’importe quel segment.

Ensuite, prenons trois points \(\mathsf{C}_0\), \(\mathsf{C}_1\), \(\mathsf{C}_2\) (non alignés). On introduit \(\mathsf{C}_{01}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_0+t\,\mathsf{C}_1\) et \(\mathsf{C}_{12}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_1+t\,\mathsf{C}_2\) et enfin \(\mathsf{M}(t)=(1-t)\,\mathsf{C}_{01}(t)+t\,\mathsf{C}_{12}(t)\); on a alors \[\mathsf{M}(t)=(1-t)^2\,\mathsf{C}_0+2\,t\,(1-t)\,\mathsf{C}_1+t^2\,\mathsf{C}_2.\] \(\mathsf{M}(t)\) est ainsi barycentre des points de contrôle avec des masses qui sont des polynômes obtenus en développant \(\left((1-t)+t\right)^2\).

La courbe obtenue est un arc de parabole.

Dans le repère \(R\left(\dfrac{1}{2},
\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{C}_0\mathsf{C}_2\mkern2mu},
\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{C}_1\mathsf{C}_0\mkern2mu}+\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{C}_1\mathsf{C}_2\mkern2mu}\right)\right)\)
, une équation cartésienne de l’arc est \(y=x^2\). Pour comprendre d’où sort ce repère, il suffit de savoir qu’en prenant l’origine sur la parabole, l’axe des abscisses tangent et l’axe des ordonnées conjugué de l’axe des abscisses et les vecteurs de sorte que le point \((1,\,1)\) soit sur la parabole, l’équation (réduite) est \(y=x^2\).

Elle est contenue dans le triangle \(\mathsf{C}_0\mathsf{C}_1\mathsf{C}_2\) et le segment \([\mathsf{C}_{01}(t)\mathsf{C}_{12}(t)]\) est tangent à l’arc en \(\mathsf{M}(t)\); en effet

\[\begin{aligned}
\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{M}’\mkern2mu}(t)&=-2\,(1-t)\,\mathsf{C}_0+2\,(1-2\,t)\,\mathsf{C}_1+2\,t\,\mathsf{C}_2\\
&=2\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{C}_{01\mkern2mu}(t)\mathsf{C}_{12}(t)}\end{aligned}\]

l’arc est donc l’enveloppe de ces segments.

La construction récursive précédente se généralise à \(4\), \(5\), \(n\) points de contrôle et permet d’obtenir des arcs de courbes algébriques de degré \(3\), \(4\), \(\dots\), \(n-1\), donc riches de formes. L’un des principes du tracé par courbes de Bézier est la concaténation d’arcs; on peut ainsi obtenir des formes complexes (comme celle d’une lettre cursive). On trouvera dans l’article de Daniel Perrin [27] un exposé théorique concis mais complet pour un premier contact.

Les LGD permettent de construire une courbe de Bézier dynamique, modifiée en temps réel en déplaçant les points de contrôle et cela sans nécessiter une grande maîtrise du logiciel. Dans [28] ou [29], notre collègue Loïc Le Corre propose une utilisation des courbes de Bézier en typographie.

2.5 Coordonnées barycentriques dans le plan

Vide

Sommaire de l’article

Vide

2.7 Un peu d’infini

[/restrict]

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Coordonnées barycentriques dans le plan

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.


Géométrie dans l’espace

Cet article est réservé aux adhérents.
Si vous êtes adhérent, il faut vous connecter sur cette page puis recharger cette page.