Au fil des problèmes n° 534

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Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2019

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534-1 Pour les algorithmophiles (Jean-Christophe Berthonnaud – Angoulême)

Le nombre de Champernowne est un nombre obtenu en concaténant après la virgule la suite des entiers naturels :

\[
{0,1}234567891011121314151617181920\ldots
\]

C’est un nombre univers puisqu’il est toujours possible d’y trouver n’importe quelle séquence finie de chiffres comme son numéro de sécurité sociale, son numéro de téléphone, le numéro inscrit sur sa carte bancaire, …
Il s’agit de construire un algorithme qui donne la \(n\)-ième décimale de ce nombre, et pourquoi pas ensuite de le programmer en Python.

534-2 One-to-one ? (Michel Lafond – Dijon)

Démontrer que, pour \(x\) réel, si \(\mathrm{E}(x)\), \(\mathrm{D}(x)\), \(\text{e}^x\) désignent respectivement la partie entière de \(x\), la partie décimale de \(x\) et l’exponentielle de \(x\) alors

\[f\ :\ x\longmapsto x + \left[1-\mathrm{E}\left(\dfrac{1}{1+\mathrm{E}(\text{e}^x)}\right)\right]\times\mathrm{E}\left(\dfrac{1}{1+\mathrm{D}(x)}\right)\]

définit une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}^*\).

534-3 De bien des façons bis (Denis Roussillat – Vénissieux)

Il s’agit de trouver des méthodes, de niveau collège jusqu’à licence, pour montrer que, si \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois nombres réels, \(a^2 + b^2
+ c^2 = ab + bc + ca\)
si et seulement si \(a=b=c\).

534-4 Encore une propriété du triangle équilatéral

Avec les trois segments obtenus en reliant un point quelconque du plan aux sommets d’un triangle équilatéral, on peut toujours former un triangle (éventuellement réduit à un segment).

À propos des problèmes parus précédemment

Pour les énoncés proposés dans le numéro 532 :

532-1 De bien des façons

Pas moins de 11 solutions reçues. Une grande variété d’approches dans les réponses. Jean Couzineau (Pantin), Fabrice Laurent (Lunéville) et Bertrand Servane (Lardy) passent par un repère orthogonal ou non et des équations de droites ; Alain André (Guipavas) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) appliquent la loi des sinus ; Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) et François Pétiard (Besançon) utilisent des coordonnées barycentriques ; Jacques Vieulet (Tarbes) se contente de quelques outils du collège, à savoir les angles et la réciproque de la propriété des milieux ; David Cobac, quant à lui, exploite les propriétés d’une rotation de autour du centre de gravité ; Jules Miewis (Mons) et Michel Sarrouy (Mende) restent sur ce qui est vu au collège et le mobilisent de façon conséquente : angles, triangles semblables, trigonométrie, théorème de Pythagore, symétrie centrale, …

532-2 L’unité en 2019

Trois réponses reçues à ce plus délicat problème. Comme le notent François Pétiard (Besançon) et Fabrice Laurent (Lunéville), il y a un résultat datant du 17 mars 1963 du mathématicien Ronald Lewis Graham qui montre que tout nombre entier strictement supérieur à \(77\) est décomposable en somme d’entiers strictement positifs distincts et dont la somme des inverses est égale à \(1\). La preuve en anglais peut être trouvée ici : .

Dans cet article, une façon de construire un tel ensemble d’entiers est donnée, méthode qu’ils appliquent tous deux à 2019 pour obtenir la même solution comportant dix-sept éléments. Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), pour sa part, construit elle-même sa propre méthode, moins systématique, et parvient à des solutions très performantes à sept, huit ou dix éléments.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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Pour citer cet article : De Ligt F., « Au fil des problèmes – 534 », in Au Fil des Maths (APMEP), 10 avril 2020, https://afdm.apmep.fr/rubriques/recreations/au-fil-des-problemes-534/.

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