Apprendre avec l’oral et à l’oral

Un constat récurrent chez les enseignants de collège est la fluidité relative de la production des élèves à l’oral, face à une difficulté notoire pour s’engager à l’écrit, qui peut s’avérer un véritable obstacle pour la poursuite de la scolarité au lycée. L’idée maîtresse ici est de questionner les pratiques verbales dans leur ensemble. De fait, ces pratiques soulèvent des questions pour les élèves, mais qui ne sont que rarement explicitées. Or, questionner l’ensemble hétérogène que constitue la langue naturelle — qui intègre le langage de spécialité — conduit à rendre l’apprenti-mathématicien plus autonome dans la manipulation du code.

Katja Ploog & Sabine Bouveret

© APMEP Mars 2019

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Le triangle aplati

Notre réflexion s’appuie sur l’analyse d’une séquence de classe filmée, qui vise à la conceptualisation de l’inégalité triangulaire dans une classe de cinquième du collège : un triangle \(\mathrm{HIJ}\) est tracé, et les mesures \(\mathrm{HI}=4\), \(\mathrm{HJ}=7\) et \(\mathrm{JI}=3\) sont indiquées sur la figure. Il s’agit d’expliquer « pourquoi certaines dimensions sont inexactes » :

L’exercice a été donné à la séance précédente, la séquence d’étude concerne la phase de mise en commun des travaux individuels faits à la maison. Sur sollicitation de l’enseignant (M, dans la suite) l’élève E est volontaire pour aller au tableau et pour expliquer son résultat.

À court terme, l’objectif de l’enseignant est d’apporter une réponse à la question posée, c’est-à-dire, d’expliquer pourquoi, avec les mesures données, le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est aplati et ne peut donc avoir la forme d’un triangle quelconque telle que donnée dans l’énoncé.

À plus long terme, l’objectif consiste à permettre aux élèves d’accéder à un écrit plus formel, en se conformant à la norme (vocabulaire, syntaxe) et aux codes de la démonstration mathématique (hypothèse, propriété, conclusion). En classe de 5^e, ce travail en est à ses débuts. L’objectif de moyen terme est ainsi un travail sur la rédaction, conçu comme la manipulation ciblée des formes discursives produites en situation de résolution de problème (la réponse à la question).

On pourrait se poser la question de la légitimité d’attendre un écrit normé sur ce type d’exercice à ce moment de l’apprentissage : si les programmes en vigueur stipulent que « la formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels du cycle 4 », ils précisent aussi qu’il « est important de ménager une progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de ne pas avoir trop d’exigences concernant le formalisme » (Bulletin officiel 11 du 26 novembre 2015). Ici, l’enseignant a déjà travaillé sur l’inégalité triangulaire durant plusieurs séances, il pense que la notion est suffisamment comprise des élèves pour travailler sur une mise en forme écrite plus aboutie. Précisons que notre analyse ne porte pas sur la pertinence des choix pédagogiques et didactiques de l’enseignant et des conséquences de ces choix, mais sur l’explicitation des linguistiques et langagiers liés à ces choix.

D’une formulation à l’autre

La première commande de l’enseignant était de venir faire l’exercice au tableau. L’élève volontaire, E, répond à cette demande dès le début de l’interaction {lignes 12-18} :

• E  ben \(7\) c’est le : le co- ben le côté le plus grand

• M  oui

• E  donc côtés donc on additionne les côtés les plus petits donc \(4\) et \(3\) ça fait \(7\)

• M  oui

• E  donc il est impossible à XXX ben si il est possible mais

• M  il est

• E  ce sera aplati

L’élève met en œuvre l’inégalité triangulaire et sait l’expliquer oralement : la comparaison du côté le plus long à la somme des longueurs des deux plus petits côtés fait référence, implicitement, à l’inégalité triangulaire, et l’égalité des deux valeurs justifie que le triangle est aplati. Voici le texte que l’élève E écrit finalement au tableau (rappelons qu’un triangle, non aplati, est déjà tracé lorsque E arrive au tableau) :

• \(\mathrm{HI}+\mathrm{JI}=\mathrm{HJ}\)

• Le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est mal representer car la somme des deux côter les plus cours sont égal au côter le plus long.

• \(\mathrm{HIJ}\) est applatie.

Ce texte est le résultat d’une co-construction entre l’enseignant M et l’élève E, avec des contributions ponctuelles des autres élèves ; l’échange dure près de huit minutes. À la lecture du texte (et à plus forte raison de la transcription de l’échange oral), on devine que l’intention de M n’est pas seulement celle de « corriger l’exercice », c’est-à-dire de proposer aux élèves une solution correcte au niveau du sens mathématique — la production orale initiale de l’élève répondait déjà à cet objectif — mais de faire construire à l’élève un texte écrit plus formel, observant les normes du langage mathématique. L’échange montre que l’enseignant conclut d’emblée — et sans en avoir réellement conscience — à l’inadéquation de la forme produite à l’oral pour la rédaction…

La phase qui vise au passage de l’oral vers l’écrit est amorcée par la sollicitation de M qui invite E à écrire ce qu’il a dit oralement {ligne 36} :

• M  oui oui + comme tu comme tu (le) penses + comme tu l’as dit comme tu l’as dit oralement

Or, l’objectif implicite consiste ici à passer la réponse orale de E au crible des codes propres à la discipline. Car contrairement à sa demande, M entame dès l’intervention suivante un travail de « reconditionnement » des propos de E {ligne 20} :

• M  il sera aplati + tout à fait + donc en fait qu’est-ce qu’on peut écrire + on va (le) justifier + on peut
  utiliser la propriété + l’inégalité triangulaire XX […]

Pour l’élève E, s’il a bien conscience que le texte écrit doit répondre à certaines règles et à une syntaxe particulière (nous y reviendrons), la difficulté de produire « à l’écrit » réside bien dans le joug de la norme et non dans la mise en œuvre du concept mathématique thématisé. Le langage normé est celui des textes de référence pour les élèves, dont le manuel¹ :

On remarquera que cet écrit ne comporte guère d’expressions relatives au langage naturel de l’élève, contrairement à l’écrit qui sera finalement négocié avec l’enseignant. C’est bien cet écart entre le langage élève et la norme de référence de la discipline qui conduit l’enseignant à mener un travail ciblé visant à ce que l’élève puisse accéder aux textes mathématiques et s’en approprier le sens, puis à ce qu’il apprenne à manipuler lui-même ce langage. Quelles sont les caractéristiques langagières de l’objet textuel élaboré ? Quelles sont les étapes de la mise en œuvre de son élaboration ? Comment ces étapes sont-elles co-construites par les différents locuteurs ?

Les défis du locuteur-mathématicien en herbe

Langages mathématiques

Lorsqu’on dit « langages » en mathématiques, on pense tout d’abord à un inventaire lexical, dont la relation polysémique avec le langage courant est très variable (isocèle, droite, fonction, milieu, couper). Mais ce langage est composé en outre d’actes de langage spécifiques (justifier, expliquer, vérifier, etc.) et de routines textuelles particulières (si … alors …). Certaines de ces normes sont transparentes, fonctionnellement motivées, d’autres quasi rituelles. Ces normes sont des conventions, le plus souvent implicites, mais en rien naturelles : si le langage mathématique n’est pas une langue étrangère pour les élèves, il est tout de même largement étrange pour eux.

La démonstration mathématique consiste à expliciter les caractéristiques d’un objet mathématique en énonçant des arguments. La démonstration se distingue néanmoins de l’argumentation par le fait que les étapes énonciatives ne sont pas cumulées mais se substituent les unes aux autres. La macro-structure de la démonstration procède en trois étapes successives (qui seront répétées dans le cas d’un objet complexe) et qui constituent un raisonnement déductif :

Dans une organisation déductive la suite des énoncés est produite par substitution d’un nouvel énoncé à un énoncé antérieurement donné (comme hypothèse ou comme résultat d’une substitution déjà effectuée). Cette substitution s’effectue explicitement en vertu d’un énoncé normatif (une définition, un axiome, ou un théorème) qui fonctionne comme règle permettant cette substitution. Cette opération permet de définir l’unité fonctionnelle de toute organisation déductive : l’arc transitif de substitution (A.T.S.). Elle correspond soit à une démonstration de longueur minimale soit à un “pas” dans une démonstration constituée par une suite de substitutions récurrentes. (Duval & Egret 1989 :27)²

Le document suivant constitue une démonstration-type correspondant au devoir maison explicité dans la séquence sous étude :

La première étape en constitue l’hypothèse (la description du cas envisagé), la seconde nomme la propriété associée (ici, de manière indirecte), la dernière propose une conclusion. Ces caractéristiques font envisager la démonstration comme un genre textuel à part entière, gabarit normatif qui tire sa puissance d’une tradition discursive millénaire et qui a permis d’en forger la rigueur. Pour autant, son utilisation efficace repose sur un apprentissage guidé, en appliquant une exigence croissante quant au respect de cette norme.

Systèmes sémiotiques

L’élaboration de l’écrit mathématique est soumise à la double exigence de précision sémantique et d’adéquation normative liée au codage expert. Mais ce codage est d’autant plus contraignant que la conceptualisation des objets est encore en devenir.

Une autre exigence est la coordination des différents systèmes sémiotiques aux contraintes hétérogènes, qui contribuent tous à la construction du sens en interaction :

• le système linguistique verbal, constitué dans une double/triple articulation d’unités minimales et d’unités complexes, structures concrètes/abstraites qui forment des réseaux cognitifs ;

• divers systèmes symboliques de codage eux-mêmes entremêlés (\(\sum\), \(5\), \(+\), \(\mathrm{ABC}\) vs. \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) et \(\mathrm{C}\)) ;

• le système icono-graphique, caractérisé par la continuité représentationnelle entre formes représentées (géométriques) et objets réels ;

• la sémiotique de l’espace, statique (la classe) et praxéologie (gestes, déplacements, etc.) ;

• la corporéité du locuteur comme base de toute représentation mentale.

Or, dans le guidage opéré par l’enseignant dans la transmission, cette coordination est doublée par la nécessité de synchronisation des modalités orale (auditive) et graphiques (visuelle) ; cet aspect de la complexité de la communication mathématique est rarement problématisé dans les études concernant les compétences langagières en mathématiques.

Les mathématiciens ne pensent pas à l’écrit

La situation de classe ajoute une exigence spécifique à l’interaction verbale : il faut rester en ligne…

La démonstration a été conçue dans une pratique scripturale et ses normes discursives sont orientées sur l’écrit. Or, les modalités orale et écrite de la langue naturelle font face à des contraintes différentes : l’écrit requiert une coordination oculo-motrice, autocentrée, tandis que celle de l’oral est une synchronisation avec l’espace-temps de l’interaction, et les interlocuteurs en premier lieu. La différence majeure entre les deux modalités est donc leur lien au temps. L’objet texte est statique et reflète strictement l’ordre structurel des constructions ; la linéarité écrite peut être « contournée » par la gestion visuelle du lecteur. À l’opposé, la linéarité de l’oral est inéluctable, et génère des formes qui reflètent le processus de construction en temps réel, avec tous les aléas liés à la construction en temps réel de l’idée émergente.

L’évanescence de la substance sonore a conduit l’humanité à vouloir en garder une trace stable. En tout état de cause l’écrit est un codage secondaire, qu’on se le dise. Mais il est primordial de comprendre que l’écrit n’est pas une copie symétrique de l’oral, et que, en conséquence, la transposition d’un message oral vers l’écrit relève d’un calcul mental à part entière. L’on n’acquiert pas l’écrit comme l’oral : on apprend, avec des règles explicites, la transposition méthodique des formes sonores en formes graphiques, telle une « technologie ». Mais cette difficulté possède l’avantage, en corollaire, de développer chez l’apprenti la capacité à porter son attention sur les formes. Autrement dit, grammaire et transmission des mathématiques reposent sur des manipulations relatives à l’appropriation de l’objet qui sont similaires — la pratique réflexive sur la langue est donc doublement bénéfique au mathématicien en herbe.

Retour en classe

La négociation orale des formulations écrites

La situation de classe caractérise l’interaction verbale comme polylogale, asymétrique, et émergente. L’aspect asymétrique se manifeste dans la légitimité de M à déterminer les contenus et le temps qui leur est alloué : l’attention accordée à cette activité de reformulation ne sera pas contestée, même si elle n’est pas justifiée ni même explicitée. Par ailleurs, les développements relatifs au contenu mathématique de M ne s’adressent pas à son interlocuteur principal, E, mais au reste de la classe (E ayant validé la compréhension adéquate de ce contenu par son intervention initiale). Dans les lignes qui suivent, nous souhaitons remettre en perspective la théorie de l’action pour la réflexion métalinguistique, en observant à la fois la dimension temporelle et le souci normatif de la formulation progressive de l’idée à l’écrit.

L’on aura compris que la confection d’une démonstration exige une mobilité langagière particulière, permettant au locuteur d’instancier les éléments les plus pertinents des différents systèmes sémiotiques, ce dans le respect des normes, en fonction de la modalité centrale de l’interaction.

Le passage de l’oral à l’écrit est conçu comme processus de reformulation. Dans la séquence sous étude, cette reformulation est guidée par l’enseignant, qui énonce des consignes thématisant des mots, des structures, le langage, ou qui portent sur la création du texte en général :

1. Le thème central de ce guidage est exprimé par le terme d’expliquer, répété par cinq fois. Dès le début, c’est ce verbe qui énonce le contrat {ligne 7} :

   • M  et \(3\) + donc il y fallait expliquer + pour chaque triangle + pourquoi certaines dimensions sont inexactes

   Le contrat de « faire » l’exercice implique alors la production d’explications verbales. Les demandes répétées de E montrent que les modalités requises pour cette explication ne sont pas claires pour lui {lignes 10-11} :

   • E  donc euh je construis ou j’explique (à)

   • M  oui tu expliques + tu peux déjà nous expliquer

2. Après un premier cycle de répétitions qui ne permet pas à E d’amorcer son explication (écrite), M finit par reformuler sa consigne en précisant le produit verbal attendu, la phrase {ligne 26} :

   • M  alignés tout à fait +++ donc tu nous expliques tu fais une petite phrase d’explication + pourquoi certaines dimensions sont inexactes + E + comment on pourrait commencer ça

   L’effort d’explication sera donc concentré sur la construction de phrase {lignes 26-57}. Mais, si les caractéristiques de ce gabarit sont parfaitement connues par l’élève — une fois commencé, il rédige la majeure partie de la phrase d’une traite avec un agencement des unités conforme à norme grammaticale — l’on peut se demander dans quelle mesure cette construction de phrase correspond encore à une construction du sens : après une première phase de rédaction assez fluide il s’arrête net après égale à la so(n) {ligne 54}, soit au moment crucial de la construction du sens ; par ailleurs, l’erreur commise sur l’accord verbal (sont égal) montre un décalage dans l’association du prédicat (égalité) au thème (la somme). La densité certaine des termes issus du langage de spécialité s’ajoute une complexité syntaxique certaine due aux compléments de nom hiérarchisés :

   • M  Le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est mal représenté car la (somme (des deux côtés (les plus courts))) est égale au (côté (le plus long)).

   Arrivé au bout de cette phrase, E croit avoir terminé son travail : il ne voit pas ce qu’il pourrait faire de plus. Sur incitation de M {ligne 67}, il ajoute finalement :

   • \(\mathrm{HIJ}\) est applati³

3. Cet ajout semble particulièrement révélateur par rapport aux attentes normatives liées à la démonstration, qui est un texte écrit. Au cours de son guidage, M autorise E à rédiger comme il l’a dit oralement, donc, théoriquement, à déroger à la norme {lignes 35-36} :

   • E  je le fais en mathématique avec des plus ou je mets une phrase

   • M  oui oui + comme tu comme tu (le) penses + comme tu l’as dit comme tu l’as dit oralement

   M mesure-t-il que cette proposition conduira inévitablement l’élève à transgresser la norme ? La bataille contre l’oral menée jusqu’à la ligne 42 se termine par la suggestion de la formule « juste » {lignes 43-51} … par M :

   • E  ben je prouve qu’il est faux

   • M  qu’il est faux c’est-à-dire qu’il aura pas cet aspect-là + donc tu peux l’écrire + tu peux écrire comment sera le comment seront les points + et ce qu’on va obtenir en en en traçant tout ça + tu comprends E

   • E  ouais mais je sais pas comment il faut formuler la phrase

   • M  ouais <rire> d’accord + alors tu voudrais écrire quoi là

   • E  ben que : + le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est faux qu’il ferait un triangle aplati

   • M  et ben écris-le comme tu le comme tu le dis +++

   • E  <4 :12 écrit LE TRIANGLE \(\mathrm{HIJ}\) /4 :25>

   • M  le triangle \(\mathrm{HIJ}\) + on pourrait marquer est mal représenté + hein

   • E  <4 :31 écrit EST MAL REPRESENTER CAR /4 :45>

   Dans la mesure où la construction émane de M, E peut amorcer son écriture en toute sécurité. Car le noyau de l’intrigue est bien la norme écrite vis-à-vis de laquelle le contrat (social, éducatif) impose la loyauté : l’intention de M de faire reformuler E par lui-même n’aboutit pas et, après moultes incitations à reformuler faux, M préfère finalement assumer lui-même la formulation plutôt que d’accepter la transcription écrite d’une formulation orale trop non standard.

La dynamique de progression thématique

La construction effective, i.e. le produit textuel final, prend appui sur le thème commun, désigné dans l’énoncé, le triangle \(\mathrm{HIJ}\) que E élabore sans hésitation. Ce procédé relève en grande partie du travail scolaire qui conditionne l’élève à la production de phrases entières, en répétant ou en élaborant par une construction « lourde » (un syntagme nominal) les thèmes antérieurs, p.ex. donnés par la question, l’énoncé ou la consigne, alors que l’interaction ordinaire, orale, privilégie les entités nouvelles pour favoriser ainsi des énoncés elliptiques ou des réponses courtes qui se limitent aux éléments les plus fonctionnels. En s’engageant dans la production écrite par le triangle \(\mathrm{HIJ}\) (i), E montre sa compétence de la tradition discursive de l’école et des exigences de la modalité écrite. Après la suggestion lexicale de M (ii), E poursuit le projet de construction par l’utilisation d’un style soigné, formel, marqué par la conjonction car (iii) qui, sans être liée de manière intrinsèque à cette modalité, relève typiquement de l’usage écrit. E poursuit son projet de construction de phrase jusqu’au-delà de l’égalité projetée, mais peine au moment de la désignation du comparant. Cette difficulté observable dans le déroulement temporel de l’écriture, et précisément dans la fluidité qui va en diminuant vers la fin, se trouve masquée dans la transcription par l’intervention de M qui prend la parole pour valider, puis corriger l’élaboration écrite de E (iv). Une fois cette première construction achevée par « au côté le plus long », le contrat semble accompli pour E. C’est alors M qui stimule un nouveau projet de construction, qui constituera la conclusion de la démonstration (v) :

RÉDACTION	TEXTE	CONCEPTEUR	GENÈSE LIGNE (OCCURRENCE PREMIÈRE)
i↩	Le triangle \(\mathrm{HIJ}\)	E (énoncé :M)	47 (3)
ii↩	est mal representer	M	50 (20)
iii↩	car la somme des deux côter les plus cours sont égal	E (E+M)	55 (30)
iv↩	au côter le plus long.	M	60
v↩	\(\mathrm{HIJ}\) est applatie.	E	69 (18)

Du point de vue sémantico-référentiel, la production finale est donc une co-construction où alternent les apports des locuteurs M et E. Or l’observation de la coordination des deux locuteurs dans l’élaboration progressive de la phrase entre la négociation orale et la rédaction, fait apparaître un net déséquilibre, où c’est principalement M, dont les propos sont mis en exergue en rouge ci-après, qui propose la construction verbale {lignes 50-69} :

Dans le schéma ci-dessus, l’activité verbale de M est reproduite en rouge, celle de E en noir. La bribe majeure apportée par l’élève car la somme des deux côter les plus cours sont égal {ligne 55} est susceptible de constituer une bribe « préfabriquée » du cahier de cours ou du discours antérieur {ligne 30}, mémorisée en bloc, ce qui pourrait expliquer l’impossibilité du locuteur à poursuivre au-delà du fragment mémorisé ainsi que l’erreur grammaticale sur l’accord en nombre du verbe sont ; cette erreur laisse penser en effet que le référent la somme des deux côter les plus cours n’est pas pleinement conceptualisé et que la construction grammaticale est élaborée avec un champ de vision réduit : l’accord s’effectue avec le nom le plus proche, deux côter les plus cours, qui est un pluriel. Ce n’est peut-être pas une coïncidence que le terme somme se trouve mêlé à l’intrigue : une fois encore, l’élève semble identifier ce qui est attendu dans la rédaction mathématique (langage expert). S’il n’était pas en mesure de formuler l’état des choses de la sorte, c’est qu’il ne l’a pas pensé ainsi.

Bilan élaboration syntaxique et construction du sens

En gardant le contrôle absolu du produit, le guidage de l’enseignant s’avère en décalage avec les consignes données à E. L’intervention de E dans les décisions est minimale : ses propositions de formulation sont ignorées par l’enseignant et le choix des mots de la phrase écrite résulte des suggestions de M. La construction initiale {lignes 12-18} de E n’est pas prise en compte ; pourtant, tout y est dit et ne demande qu’à être « recyclé ». Ainsi, le texte « négocié » illustre que l’on peut parfaitement connaître et mémoriser une expression langagière sans en maîtriser le sens, tout en ayant conceptualisé l’objet mathématique sous étude.

Au fil de la séquence, le désarroi de l’élève vis-à-vis du contrat donne lieu pourtant à un questionnement métacognitif répété :

• E  donc euh je construis ou j’explique (à) {ligne 10}

• E  je le fais en mathématique avec des plus ou je mets une phrase {ligne 35}

• E  ouais mais je sais pas comment il faut formuler la phrase {ligne 45}

E « stagne » devant le tableau avec une insécurité qui va en s’accentuant au fil des huit longues minutes.

Discussion

Appropriation du langage expert

ORAL SPONTANÉ	ÉCRIT NÉGOCIÉ	ÉCRIT DE SAVOIR (RÉFÉRENCE)
côté le plus grand	côté le plus long	la longueur d’un côté
on additionne les côtés les plus petits	la somme des deux côtés les plus courts	la somme des longueurs des deux autres côtés
\(4\) et \(3\) ça fait \(7\)	\(\mathrm{HI}+\mathrm{JI}=\mathrm{HJ}\)	\(\mathrm{BC}+\mathrm{CM}=\mathrm{BM}\)
il est impossible il est faux	Le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est mal représenté
ce sera aplati	\(\mathrm{HIJ}\) est applatie.	\(\mathrm{M}\) appartient à \([\mathrm{BC}]\)

Le tableau ci-dessus met en exergue que l’écrit négocié est conçu comme une étape transitoire vers le langage normé : l’enseignant fait des concessions à la rigueur du langage (côté au lieu de longueur d’un côté) mais essaie aussi d’amener l’élève à une formulation plus experte (\(\mathrm{HI}+\mathrm{JI}=\mathrm{HJ}\) plutôt que \(4\) et \(3\) ça fait \(7\)). Au vu de l’importance de l’écart entre la formulation orale spontanée qui reflète le langage élève d’un côté et les textes de référence de la transmission scolaire, il convient en effet de développer une médiation spécifique pour soutenir l’appropriation du langage expert, en particulier entre les modalités orale et écrite. Quelques pistes peuvent être suggérées de manière succincte :

1. L’enregistrement des productions orales : faire expliciter par les élèves, à l’oral, en enregistrant, leur démarche lors de la résolution d’un exercice ; cet oral préparé par les élèves concourt à un travail sur la langue ; les oraux « satisfaisants » peuvent être laissés à disposition de la classe sur un support numérique, les productions erronées peuvent fournir à l’enseignant un diagnostic plus fin des erreurs.

2. Un travail ciblé autour de la reformulation : les activités d’étayage pour le passage de l’oral spontané à l’écrit normé : proposer aux élèves de formuler eux-mêmes la synthèse écrite qui figurera dans le cahier de leçons ; enregistrer des formulations orales d’élèves et commenter avec les élèves en sous-pesant le sens des expressions employées et leur ambiguïté possible ; faire reformuler à nouveau à l’oral à partir du travail ainsi mené.

3. Une réelle valorisation des productions écrites intermédiaires : l’appropriation du langage expert par l’élève nécessite qu’il soit mis en réelle situation de production et de manipulation de ce langage, ce qui nécessite un espace personnel où l’élève puisse produire, biffer, amender… Cet espace est-il vraiment disponible pour l’élève en classe de mathématiques ? N’y a-t-il pas une réflexion à avoir sur le statut des cahiers : le cahier d’exercices, qui doit être « propre », et sur lequel on « recopie la correction », le cahier de leçons, qui est constitué le plus souvent d’écrits normés pensés par le professeur, ou faussement négociés avec la classe.

4. Renoncer au contrôle total de la formulation par l’enseignant. Pourquoi ne pas laisser un espace personnel dans les cahiers, où les élèves écrivent et laissent leurs propres formulations, quitte à retravailler ensuite celles-ci de façon collégiale ?

Posture métalangagière

Le début de l’extrait transcrit consiste, de la part de l’enseignant, à remémorer l’objet de l’exercice aux élèves puis de rappeler la consigne, à savoir, « expliquer pourquoi certaines dimensions sont inexactes » {ligne 7} : tel est le contrat explicite et M invite un élève à « venir le faire » au tableau. C’est seulement à la fin {ligne 75}, et quasiment par hasard, que les élèves découvrent que l’objectif est double en réalité, consistant à « trouver » (la réponse à la question) et à l’« exprimer » (avec la norme mathématicienne). Cette intervention de M révèle le contrat implicite et non partagé, celui de travailler sur l’expression langagière. Puis, la référence à la loyauté normative, d’abord par le commentaire métadiscursif « oh je vais corriger quand même » {ligne 77} témoigne de la difficulté de M à valoriser les élaborations de E dès lors que celles-ci sont en inadéquation avec cette norme sous-jacente, qui reste implicite mais qui n’en est pas moins partagée : le tableau exhibe une version partagée du sens construit ; la version partagée fait office de référence ; celle-ci ne doit pas être fautive. Le commentaire de M consolide cette norme, et en appui, les sollicitations des élèves {ligne 78} qui suggèrent d’autres corrections (malheureusement inaudibles car chevauchées par l’intervention de E7) et qui revendiquent eux aussi cette norme. La réponse de M {ligne 90}, qui vise de nouveau à justifier sa loyauté à l’égard de la norme qu’il ne respecte précisément pas en n’ayant pas corrigé toutes les erreurs, fait de nouveau référence à l’objectif de la séquence, qui n’est toujours pas explicitement déclaré en tant que tel.

Un entretien de restitution avec l’enseignant quelques semaines après la séance permet d’appréhender l’approche didactique. L’enseignant explique alors pourquoi l’élève met autant de temps et d’effort pour passer du fond à la forme :

• M  parce que je pense enfin je me dis que il pense avoir terminé l’exercice en m’ayant euh + tout proposé ++ il a verbalisé je lui ai dit que c’était bien ++ il- enfin il a oralisé quoi il : ++ et : visiblement instinctivement il : je pense qu’il est- il s’attendait pas à : devoir l’écrire +++ alors que malgré tout on le fait régulièrement ça + écrire ce qu’on fait en mathématiques c’est : + c’est toujours mieux

En même temps, l’enseignant exprime que l’objectif de cette séquence était bien de travailler autour de l’expression écrite : M identifie le langage — et le langage écrit en particulier — comme objet de transmission potentiel de sa discipline, idée qui se trouve étayée dans l’extrait suivant du même entretien :

• M  sur cet exercice là au niveau formalisme il est il est bien quoi c’est- + euh il est dans les attendus de n’importe quel prof de maths ++ après sur d’autres exercices + sur d’autres + sur d’autres notions je vais être un peu moins rigoureux je vais euh enfin on va y aller par étapes ++ j’attends pas immédiatement enfin là on est en phase finale enfin en phase finale en fin de chapitre + euh t’attends davantage à l’écrit +++ quand on commence pythagore avec des quatrième tu : + t’attends à avoir beaucoup de calculs mais très peu de phrases + voilà + et : ben tu te dis bon c’est : et bon maintenant on va travailler sur la formulation +++ alors après il y a aussi là on est bon c’est vrai que j’avais pas imaginé non plus que somme pour moi c’était : ça semblait évident somme + la somme + c’était même pas du langage mathématique tu vois je pensais que c’était déjà du langage + enfin c’était pas du langage expert

Les deux témoignages opposent implicitement le sens, incarné par l’oral ou le calcul, au formalisme, incarné par la phrase écrite. L’enseignant identifie l’expression formelle comme une étape tardive du processus d’appropriation de la connaissance. Mais c’est aussi une étape à part entière car les phrases ne tombent pas du ciel : comme l’illustre le concept somme pointé par l’enseignant et les difficultés de son élaboration discursive que nous avons mises en exergue, accompagner efficacement l’appropriation implique l’identification des difficultés.

D’après Duval & Egret (1989:37), « La prise de conscience de ce qu’est une démonstration ne peut se faire que dans l’articulation de deux registres, dont l’un est l’utilisation que chaque élève fait du langage naturel. La prise de conscience naît de l’interaction qui se produit entre la représentation non-discursive produite et le discours exprimé » : à ce titre, la posture métalangagière est un bagage précieux, qui permet à l’enseignant et aux élèves de s’orienter dans l’interaction verbale de la classe, pour ralentir ou infléchir le cheminement de la construction des savoirs assurée par le langage. Nous entendons par posture métalangagière la capacité à faire un travail analytique des comportements interactionnels et des figures discursives relatives au processus de conceptualisation de l’activité langagière. Ce travail consiste à identifier, à nommer et à manipuler des objets langagiers, par une « relecture » des activités courantes : la reformulation contribue à développer la richesse lexicale et la capacité de discrimination de registres différents ; la comparaison et la critique de versions successives forge l’acuité pour les caractéristiques différentielles ; l’auto-/hétérocorrection structure la réflexion normative ; les dictées de démonstrations ou de calculs permettent d’observer les caractéristiques du formalisme avant d’avoir à le produire ; etc.

Cette problématisation du processus d’élaboration langagière développe des compétences transversales en langue : elle contribue à la structuration et l’enrichissement du répertoire verbal et procure ainsi de la mobilité discursive supplémentaire au locuteur, qu’il soit élève ou enseignant. Concernant l’élève E, qui fait montre d’une acuité métalinguistique considérable en sollicitant l’enseignant à plusieurs reprises, l’explicitation du contrat didactique l’aurait certainement aidé à préciser sa demande et d’argumenter son désarroi vis-à-vis de la démarche suivie. Car l’enseignant lui-même n’a pas conscience du fait qu’il ne rédige pas comme il parle, et ce malgré sa conviction de l’utilité d’un travail sur le langage et malgré sa disponibilité à remettre en question les mécanismes habituels de la médiation. Une formation élémentaire en linguistique, concernant notamment les enjeux pointés dans la section 3, à destination des enseignants, contribuerait au développement d’une médiation par la reformulation, en appui sur le langage oral, en intégrant une véritable dimension analytique au travail de formulation.

Annexe « Triangle aplati » (extrait d’interaction en classe de mathématiques, 5^e)

1. M et cette propriété cette propriété que tu + qu’on vient de citer + elle s’appelle comment c’est la propriété de

2. E1 une (in)égalité triangulaire

3. M on avait un exercice à terminer sur une affiche ++ il y avait un triangle \(\mathrm{HIJ}\) + il y en avait un deuxième que je vais dessiner à main levée + donc on avait pour dimensions en centimètres \(7\) \(4\)↩

4. E2 et \(3\)

5. M \(7\) <écrit \(7\)> \(4\) <écrit \(4\)>

6. E2 et \(3\)

7. M et \(3\) + donc il y fallait expliquer + pour chaque triangle + pourquoi certaines dimensions sont inexactes + donc on va déjà faire le premier + quelqu’un veut venir le faire ++ tu veux venir↩

8. E1 oui

9. M tu verras s’il y a un feutre bleu + il y en a un il y en a au tableau +++

10. E donc euh je construis ou j’explique (à)↩

11. M oui tu expliques + tu peux déjà nous expliquer

12. E ben 7 c’est le : le co- ben le côté le plus grand↩

13. M oui

14. E donc côtés donc on additionne les côtés les plus petits donc 4 et 3 ça fait 7

15. M oui

16. E donc il est impossible à XXX ben si il est possible mais

17. M il est

18. E ce sera aplati↩

19. Ex ça sera plat

20. M il sera aplati + tout à fait + donc en fait qu’est-ce qu’on peut écrire + on va (le) justifier + on peut utiliser la propriété + l’inégalité triangulaire XX +++ donc tout le monde comprend bien pourquoi + ce triangle en fait + il y peut pas être représenté comme ça ↩

21. E3 oui

22. M oui non

23. E4 oui

24. M il sera complètement plat si on devait le construire + à l’aide du compas + et de la règle + on aurait les deux segments enfin les les trois points en fait comment seraient comment comment seront HI et J les trois points

25. E ben alignés

26. M alignés tout à fait +++ donc tu nous expliques tu fais une petite phrase d’explication + pourquoi certaines dimensions sont inexactes + [prénom E] + comment on pourrait commencer ça↩

27. E euh la somme ++

28. M bon + tu penses à quoi

29. E ben que 4 et 3

30. M ouais tu as fait la somme des deux côtés les plus courts↩

31. E sont égal à la somme euh

32. M voilà + vas-y écris-le ++ tu prends tu n’es pas obligé de prendre les valeurs nomme les nomme les côtés +

33. E <écrit HI>

34. M HI ouais

35. E je le fais en mathématique avec des plus ou je mets une phrase↩

36. M oui oui + comme tu comme tu (le) penses + comme tu l’as dit comme tu l’as dit oralement↩

37. E <écrit +>

38. M plus

39. E <2 :45 écrit \(\mathrm{IJ}=\mathrm{HJ}\) /3 :09>

40. M d’accord + et donc ça ça sous-entend quoi ++ grâce à ça tu as démontré quoi

41. E ben que : ben que \(\mathrm{J}\) et \(\mathrm{JI}\) ben ça fait + ben c’est égal à \(\mathrm{HJ}\)

42. M ouais <rire> par rapport à la question de départ de l’exercice quand on te demande + certaines dimensions sont inexactes donc toi tu prouves quoi en utilisant cette égalité↩

43. E ben je prouve qu’il est faux

44. M qu’il est faux c’est-à-dire qu’il aura pas cet aspect-là + donc tu peux l’écrire + tu peux écrire comment sera le comment seront les points + et ce qu’on va obtenir en en en traçant tout ça + tu comprends [prénom E]

45. E ouais mais je sais pas comment il faut formuler la phrase↩

46. M ouais <rire> d’accord + alors tu voudrais écrire quoi là

47. E ben que : + le triangle \(\mathrm{HIJ}\) est faux qu’il ferait un triangle aplati↩

48. M et ben écris le comme tu le comme tu le dis +++

49. E <4 :12 écrit LE TRIANGLE \(\mathrm{HIJ}\) /4 :25>

50. M le triangle \(\mathrm{HIJ}\) + on pourrait marquer est mal représenté + hein↩

51. E <4 :31 écrit EST MAL REPRESENTER CAR /4 :45>↩

52. M les autres vous comprenez pourquoi il sera aplati c’est sûr

53. EE oui

54. M n’hésite pas à écrire plus gros parce qu’au fond c’est XXX↩

55. E <4 :52 écrit LA SOMME DES DEUX COTES LES PLUS COURS SONT EGAL A LA SON /5 :40>↩

56. E5 Monsieur XX elle est dessoudée

57. M je peux pas faire grand-chose tu la bouges pas trop + il y a pas d’autres sinon tu te mets à côté d’Alice↩

58. E5 non ça va aller + elle bouge plus

59. M égal + la somme des deux côtés + les plus courts c’est ça + est égal +

60. E est égal à la somme du côté le plus long↩

61. M alors la somme des deux côtés les plus courts + est é- non est est égal non pas à la somme mais est égal au côté le plus long + hein est égal au côté + c’est ce que tu as écrit là hein

62. E1 oui

63. M sous la forme de d’une égalité + d’accord [prénom E] + tu as fait la somme des deux côtés les plus courts + est égal +++

64. E <6 :05 efface et écrit AU COTER LE PLUS LONG. /6 :22>

65. M euh : : il y serait présenté comment on pourrait marquer le triangle + de tout à l’heure

66. E<6 :33 écrit : LE >

67. M où les trois points où \(\mathrm{HIJ}\) sont alignés c’est ce que tu as dit tout à l’heure + je répète ce que tu as dit hein ++ comment↩

68. Ex XXX

69. E <6 :40 efface et écrit \(\mathrm{HIG}\) EST APPLATIE. /7 :00>↩

70. M oui c’est écrit un peu petit + c’est vrai + le suivant il essaiera d’écrire un peu plus + gros +++

71. E6 monsieur c’est \(\mathrm{J}\) + c’est \(\mathrm{J}\)

72. E1 <se corrige>

73. M \(\mathrm{HIJ}\)

74. E6 monsieur c’est \(\mathrm{J}\)

75. M est aplati +++ c’est bon c’est bon monsieur [prénom E] + c’est très bien c’est parfait ++ qui + n’avait pas trouvé + déjà en dehors de l’exprimer qui n’avait pas trouvé qu’il allait être aplati ce triangle qu’il était aplati tout simplement qui n’avait pas trouvé ça tout le monde avait compris que les trois points étaient alignés↩

76. EE oui oui oui

77. M extra + je peux effacer + je peux effacer oui non + la somme des deux côtés + oh je vais corriger quand même + les plus courts + est égal +++ c’est bon je peux effacer Léa↩

78. L je pourrai aller faire le deuxième↩

79. M oui + mais on va pas + tout corriger + aujourd’hui +

80. E7 Monsieur +

81. M parce que

82. E7 on est auquel d’exercice comme j’étais pas là

83. M le deuxième c’est exactement la même chose oui + on est on est sur la feuille la fiche de travail

84. E7 oui mais laquelle lequel exercice

85. M l’inégalité

86. Ex le 6

87. E7 oui mais j’étais pas là

88. M oui t’étais pas là hier + Alexandre

89. E7 non mais aujourd’hui + j’avais loupé le bus

90. M je sais je sais mais on va pas tout corriger l’objectif là c’est pas les fautes d’orthographe Mégane + c’est tout bon + ce que je vais faire je vais déjà vous distribuer l’activité↩

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Katja Ploog (LLL UMR 7270 CNRS, Université d’Orléans et IREM Orléans-Tours) &amp ; Sabine Bouveret (IREM Besançon).

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