Barycentres (suite 1)

© APMEP Juin 2020

1.1 L’exposé classique sur les barycentres

Le cadre est l’espace affine réel scolaire¹ désigné dans la suite par la lettre \(\mathscr{E}\), typiquement de dimension un, deux ou trois. On a besoin de vecteurs, dits « géométriques », en lien avec les translations et dont l’ensemble \(E\), est normalement structuré en espace vectoriel. On introduit aussi un nouveau type d’objet : le point massif qui est un couple \((\lambda,\,\mathsf{A})\) formé d’un réel et d’un point. La motivation, pas seulement physique, derrière l’introduction d’un tel objet sera examinée plus tard.

Depuis le début des années soixante-dix, l’exposé standard sur les barycentres au lycée² s’appuie — conformément aux programmes successifs — sur la célèbre « fonction vectorielle de Leibniz³ » ainsi définie : étant donné un \(n\)-uplet de points massifs \((\lambda_1,\,\mathsf{A}_1),\,(\lambda_2,\,\mathsf{A}_2),\ldots,\,(\lambda_n,\,\mathsf{A}_n)\), on lui associe l’application \(\Phi\) de \(\mathscr{E}\) dans \(E\) définie par

\( \displaystyle
\Phi(\mathsf{M})=\sum_{k=1}^n\lambda_k\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{MA}_k\mkern2mu}\)

Un physicien parlerait — avec pertinence comme nous le verrons — de champ de vecteurs sur \(\mathscr{E}\). Les \(\mathsf{A}_k\) ne sont pas nécessairement deux à deux distincts et les \(\lambda_k\) non nuls mais on peut s’y ramener.

Un calcul élémentaire, basé sur la relation de Chasles, fournit l’égalité

\[\tag{1}\Phi(\mathsf{P})-\Phi(\mathsf{Q})=\left(\sum_{k=1}^n \lambda_k \right)\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{PQ}\mkern2mu}
\]

qui montre que \(\Phi\) est affine et donc

• soit la masse totale du système \(\lambda=\displaystyle\sum_k \lambda_k \) est nulle et \(\Phi\) est constante, égale à n’importe quel \(\Phi(\mathsf{P})\); le cas où cette constante est le vecteur nul va s’avérer essentiel.

• soit \(\lambda \neq 0\) et d’une part \(\Phi\) est injective et d’autre part elle est surjective : en fixant \(\mathsf{Q}\), l’équation \(\Phi(\mathsf{P})=\overrightarrow{\mkern0.1mu u\mkern1mu}\) a pour solution le translaté de \(\mathsf{Q}\) par la translation de vecteur \(\lambda^{-1}(\Phi(\mathsf{Q})-\overrightarrow{\mkern0.1mu u\mkern1mu})\), l’injectivité garantissant l’indépendance de cette solution du choix de \(\mathsf{Q}\).

  Le barycentre de la famille des points massifs \((\lambda_k,\,\mathsf{A}_k)\) est alors défini comme le point \(\mathsf{G}\) unique solution de l’équation

  \[\tag{2}\Phi(\mathsf{G})=\overrightarrow{\mkern0.1mu 0\mkern1mu}
  \label{equa2}\]

  On introduit ensuite, mais pas systématiquement, une notation, très variable selon les auteurs, du type

  \(\mathsf{G}=\textrm{Bar}\left\{(\lambda_1,\,\mathsf{A}_1),
  (\lambda_2,\,\mathsf{A}_2), \ldots,\, (\lambda_n,\,\mathsf{A}_n)\right\}\)

  dont on discutera la pertinence plus loin; certains auteurs réservent d’ailleurs l’appellation de barycentre au seul cas \(\displaystyle\sum_k \lambda_k =1\), choix qui mérite réflexion.

  La relation (1) donne alors, pour tout \(\mathsf{P}\),

  \[\tag{3}\Phi(\mathsf{P})=\lambda\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{PG}\mkern2mu}
  \label{equa3}\]

  égalité fondamentale dans l’utilisation du barycentre.

  L’exemple-type de barycentre est le milieu d’un couple de points, et plus généralement l’isobarycentre d’une famille (finie) de points.

Le cas où \(\Phi\) est constante \(\left(\displaystyle\sum_k \lambda_k=0\right)\) peut être approfondi. Regroupons les coefficients strictement positifs en supposant qu’il s’agit des \(p\) premiers. Soit \(\displaystyle\mu=\sum_{k=1}^p \lambda_k > 0\); on a alors aussi \(\displaystyle\sum_{k=p+1}^n \lambda_k= – \mu< 0\). On peut introduire \(\mathsf{G}_+\) et \(\mathsf{G}_-\) barycentres respectifs des \((\lambda_k,\,\mathsf{A}_k)_{1 \leqslant k \leqslant p}\) et des \((\lambda_k,\,\mathsf{A}_k)_{p+1 \leqslant k \leqslant n}\).

On a alors \(\Phi(\mathsf{M})=\mu\left(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{MG}_+\mkern2mu}-\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
\mathsf{MG}_-\mkern2mu}\right)=\mu\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{G}_-\mathsf{G}_+\mkern2mu}\) et on retrouve que \(\Phi\) est constante et est nulle si et seulement si \(\mathsf{G}_-=\mathsf{G}_+\).

Tout cela est d’ailleurs valide pour n’importe quel regroupement des coefficients en deux familles disjointes.

Il importe aussi de percevoir que tout ce qui précède vaut quelle que soit la dimension de \(\mathscr{E}\) (et sa nature d’ailleurs, pas seulement un espace de points de la géométrie scolaire); c’est l’efficacité du calcul vectoriel (donc de l’algèbre linéaire) qui permet cela; mais, la géométrie des configurations envisageables dépend fortement de la dimension; par exemple en dimension \(3\), les points massifs considérés peuvent être alignés, coplanaires ou en position générale.

À partir de là, on peut démontrer les propriétés usuelles du barycentre en revenant systématiquement aux caractérisations vectorielles, la seule difficulté résidant dans la gestion de la condition d’existence : « masse du système considéré non nulle ». La propriété fondamentale est celle dite de l’associativité encore appelée propriété du barycentre partiel; sa formulation en toute généralité étant ardue, le cas de trois ou quatre points semble suffisant. Une autre propriété importante est l’homogénéité qui permet de normaliser les masses en se ramenant au cas \(\displaystyle\sum_k \lambda_k=1\).

Toutefois, on a pu observer que le retour trop systématique au calcul vectoriel pose un problème didactique sérieux en ne favorisant pas l’intuition sur les figures, intuition indispensable dans la pratique de résolution de problèmes.

Enfin, la relation vectorielle (3) avec \(\mathsf{P}\) à l’origine se traduit en coordonnées, dans un repère quelconque par les relations \[x_\mathsf{G}=\frac{\displaystyle\sum_k \lambda_k x_k}{\displaystyle\sum_k \lambda_k},\quad
y_\mathsf{G}=\frac{\displaystyle\sum_k \lambda_k y_k}{\displaystyle\sum_k \lambda_k},\quad
z_\mathsf{G}=\cdots\]

Il est certainement bénéfique d’illustrer — ou d’introduire — la notion de barycentre par celle de centre de gravité pour un système fini de forces de gravité (parallèles donc mais pas nécessairement de même sens, un système de poulies permettant d’imaginer l’exercice d’une force « vers le haut ») sur une droite ou dans le plan. Nous y reviendrons.

L’étude soignée du cas de deux puis trois points est impérative; en résumé :

• le barycentre \(\mathsf{G}\) de deux points massifs \((a,\,\mathsf{A})\) et \((b,\,\mathsf{B})\) (\(a+b=1\)) appartient à la droite \((\mathsf{AB})\); la position de \(\mathsf{G}\) est déterminée par l’égalité (3) qui donne \(\overline{\mathsf{AG}}=
  b\,\overline{\mathsf{AB}}\); \(b\) est donc l’abscisse de \(\mathsf{G}\) dans le repère \((\mathsf{A},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut \mathsf{AB}\mkern2mu})\)⁴. L’égalité \(\overline{\mathsf{GB}}\cdot\overline{\mathsf{GA}}+\overline{\mathsf{AG}}\cdot{\overline{\mathsf{GB}}}=0\) montre que les nombres \(\left|\overline{\mathsf{GB}}\right|\) et \(\left|\overline{\mathsf{GA}}\right|\) sont proportionnels aux valeurs absolues des coefficients⁵ ; le couple de signes des coefficients permet de régionner les trois parties de la droite délimitées par \(\mathsf{A}\) et \(\mathsf{B}\).

  

  La construction de \(\mathsf{G}\) est un problème classique, à la règle et au compas, à l’aide d’un LGD⁶, ou simplement au traceur de parallèles puisque le barycentre est une notion affine.

  

  Une construction du barycentre de \((3,\,\mathsf{A})\) et \((2,\,\mathsf{B})\).

  Réciproquement tout point \(\mathsf{M}\) de la droite \((\mathsf{AB})\) est barycentre de \(\mathsf{A}\) et \(\mathsf{B}\), les coefficients étant déterminés (à une constante multiplicative près) par la connaissance des mesures algébriques \(\overline{\mathsf{MA}}\) et \(\overline{\mathsf{MB}}\) et même du seul rapport \(\dfrac{\overline{\mathsf{MB}}}{\overline{\mathsf{MA}}}\) (si \(\mathsf{M}\neq\mathsf{A}\)). L’unicité des coefficients est assurée en les normalisant. On peut ainsi paramétrer bijectivement les trois parties de la droite \((\mathsf{AB})\) déterminées par \(\mathsf{A}\) et \(\mathsf{B}\), en particulier le segment \([\mathsf{AB}]\).

  Enfin si \(a\), \(b\), \(c \in\mathbb{R}\) sont les abscisses de \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{M}\) (\(a\neq
  b\)) dans un repère quelconque, on en déduit \(c=(1-\lambda)a+\lambda b\) avec \(\lambda = \dfrac{c-a}{b-a}\) (abscisse de \(\mathsf{M}\) dans le repère \((\mathsf{A},\,\mathsf{B})\)) ce qui permet d’écrire \(c=\dfrac{b-c}{b-a}\,a + \dfrac{c-a}{b-a}\,b\) ou plus symétriquement

  \[(b-a)\,c+(c-b)\,a+(a-c)\,b=0.\]

• Le barycentre \(\mathsf{G}\) de trois points massifs \((a,\,\mathsf{A})\), \((b,\,\mathsf{B})\), \((c,\,\mathsf{C})\) (de l’espace) non alignés appartient au plan \((\mathsf{ABC})\). L’associativité permet de construire \(\mathsf{G}\) via deux barycentrations de deux points⁷.

  

  La position de \(\mathsf{G}\) est déterminée par la relation (3) mais plus utilement par les intersections des droites joignant les barycentres partiels au sommet opposés (sauf exceptions qu’il est intéressant d’étudier). En prenant \(\mathsf{P}=\mathsf{A}’\) dans (3), on obtient, à l’aide d’un argument d’indépendance linéaire, \[b\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{A}’\mathsf{B}\mkern2mu}+c\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{A}’\mathsf{C}\mkern2mu}=\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut 0\mkern2mu}\] qu’on peut aussi obtenir en projetant (2) sur \((\mathsf{BC})\) selon \((\mathsf{AA}’)\).

  En imposant à la somme des coefficients d’être positive, le triplet des signes des coefficients permet en outre de situer le barycentre dans l’une des sept régions du plan déterminées par les trois droites \((\mathsf{AB})\), \((\mathsf{BC})\) et \((\mathsf{CA})\), mais aussi à certaines réunions de ces régions (demi-plan, secteur angulaire) ce qui fait du barycentre un outil très utile pour toutes les questions liées à l’ordre. On observera que le cas \((—)\) est exclu puisque la somme des coefficients est supposée positive.

  

  Réciproquement tout point \(\mathsf{M}\) du plan \((ABC)\) est barycentre de \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\), les coefficients étant déterminés (à une constante multiplicative près) par la connaissance des aires algébriques⁸ \(\overline{\mathsf{MBC}}\), \(\overline{\mathsf{MCA}}\) et \(\overline{\mathsf{MAB}}\) ou aussi bien par les rapports \(\frac{\overline{\mathsf{A}’\mathsf{C}}}{\overline{\mathsf{A}’\mathsf{B}}}\), \(\frac{\overline{\mathsf{B}’\mathsf{A}}}{\overline{\mathsf{B}’\mathsf{C}}}\) et \(\frac{\overline{\mathsf{C}’\mathsf{B}}}{\overline{\mathsf{C}’\mathsf{A}}}\), \(\mathsf{A}’\), \(\mathsf{B}’\) et \(\mathsf{C}’\) étant les intersections des droites joignant le point \(\mathsf{M}\) et chaque sommet avec les côtés opposés (sans prendre en compte les cas exceptionnels).

  \(\scriptscriptstyle \blacksquare\) Soit \(\mathsf{M}\) un point du plan \((\mathsf{ABC})\); puisque \((\mathsf{A},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AC}\mkern2mu})\) est un repère du plan \((\mathsf{ABC})\), il existe deux réels \(b\) et \(c\) tels que

  \(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AM}\mkern2mu}=b\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu}+c\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AC}\mkern2mu}\)

  on en déduit que \((1-b-c)\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{MA}\mkern2mu}+b\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{MB}\mkern2mu}+c\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{MC}\mkern2mu}=\overrightarrow{\mkern0.1mu 0\mkern1mu}\) donc \(\mathsf{M}\) est barycentre de \(\left((1-b-c),\,\mathsf{A}),\,(b,\,\mathsf{B}),\,(c,\,\mathsf{C})\right)\); de plus \[\det{(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AM}\mkern2mu})}=c\,\det{(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AC}\mkern2mu})}\]

  d’où \(c\) et par permutation circulaire, \(b\) et \(a=(1-b-c)\). Le rapport \(\dfrac{\det{(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AM}\mkern2mu})}}{\det{(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AC}\mkern2mu})}}\) est la mesure de l’aire algébrique du triangle \((\mathsf{ABM})\) en prenant celle de \((\mathsf{ABC})\) comme unité. On a ainsi une double signification géométrique des masses (normalisées) d’un barycentre : par exemple, \(c\) est la composante de \(\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AM}\mkern2mu}\) dans la base \((\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut
  \mathsf{AB}\mkern2mu},\,\overrightarrow{\mkern0.5mu\mathstrut\mathsf{AC}\mkern2mu})\) ou la mesure de l’aire du triangle \((\mathsf{ABM})\).

  Pour terminer, le lemme du chevron (version algébrique) fait le lien avec les rapports de mesures algébriques lorsque les points d’intersection existent (il y en a toujours au moins un).

  Notons que \((\mathsf{AG}) \parallel (\mathsf{BC})\) équivaut à \(b+c=0\).

  Lorsqu’on ne dispose pas de grandeurs algébriques, on retourne au XIX^e siècle en distinguant sept cas et en travaillant sur les aires « arithmétiques » données par la formule \(\dfrac{\text{hauteur}\times\text{base}}{2}\); il suffit de projeter orthogonalement \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{C}\) sur \((\mathsf{AA}’)\).

  Le cas de quatre points non coplanaires dans l’espace peut s’étudier de la même façon en introduisant des volumes algébriques.