Petite enquête sur…
la logique dans la scolarité

La petite enquête revient ! Cette fois-ci pour de la logique.
François Boucher se plonge dans la problématique du « si …, alors… » et du « donc » tellement sensible dans les classes. Son point de vue, différent de celui proposé par Zoé Mesnil dans le n° 542 et ce numéro, vient enrichir notre réflexion.

François Boucher

Le petit enquêteur voudrait apporter un point de vue plutôt pragmatique sur la question fort ancienne mais sans cesse renouvelée de la nécessité, ou à tout le moins de l’utilité, d’une dose de logique dans la scolarité, pour une meilleure intelligence et utilisation des énoncés mathématiques par nos élèves et ainsi de favoriser l’apprentissage de la déduction donc de la démonstration. Ce qui suit concerne les élèves du cycle 4 et sans doute aussi ceux du lycée si on en croit la rumeur.

Questions

Trois thèses sont à questionner.

• Un avis semble aujourd’hui plutôt bien partagé dans la communauté : fonder l’approche de la logique utile à l’étude des mathématiques scolaires sur la logique dite « courante » — mais l’appeler « argumentative » semble préférable — ne serait pas pertinent, voire contre-productif. Ne faudrait-il pas questionner cette thèse en tant qu’elle servirait surtout d’a priori pour promouvoir la logique dite « moderne »¹ ?

• Au niveau de la scolarité, la formulation « si …, alors … » effectivement utilisée en mathématiques par les enseignants, les auteurs de manuels et, parfois, les élèves est-elle utilement « modélisable » comme implication logique, ce que répètent avec insistance certains didacticiens ?

• Plus globalement, le savoir savant recouvert par l’appellation « logique mathématique », même convenablement transposé, a-t-il sa place dans l’apprentissage de la déduction ? En arrière-plan, pointe la question, multiforme, des quantifications et de leur traitement dans la scolarité.

Nous allons examiner les deux premières thèses ; la troisième, plus complexe, sera abordée dans le complément numérique associé à cet article .

Le décor

Dans ce qui suit, tous les exemples sont empruntés exclusivement aux mathématiques scolaires pour éviter, d’une part, l’introduction d’une composante « temporelle » et, d’autre part, le relativisme des jugements humains lié à des contextes mal définis ou changeants. La question du contenu et de la causalité, liée à celle du sens, ne saurait être a priori écartée. Nous allons considérer trois contextes sous-jacents: celui de l’arithmétique élémentaire renforcée par un peu d’algèbre et les fonctions affines (\(\mathscr{A}\)), celui de la géométrie euclidienne plane de la scolarité (\(\mathscr{G}\)), et celui de la logique bivalente effectivement pratiquée dans les classes, disons de la Cinquième à la Seconde (\(\mathscr{LE}\)). Ce contexte \(\mathscr{LE}\) n’est pas organisé en théorie mais regroupe les pratiques déductives qu’accumulent, cahin-caha, ceux qui sont face aux élèves. Quant à \(\mathscr{A}\)et \(\mathscr{G}\), s’ils ne sont pas axiomatisés, pas même bien définis, ils forment des ensembles assez cohérents de connaissances (c’est la responsabilité de l’institution) donc des embryons de théories, évolutives dans une classe donnée, s’enrichissant (et s’appauvrissant) au cours de la scolarité, et à l’intérieur desquelles doivent s’élaborer les déductions.

Le mot de « proposition » (dans \(\mathscr{A}\) ou \(\mathscr{G}\)) sera utilisé dans un sens naïf et celui d’« assertion » pour désigner une proposition vraie dans un certain contexte pour celui qui parle, écrit ou lit avec une intention de communication (éventuellement avec lui-même), sens que l’on peut espérer bien partagés ² :

Il y a souvent une ambiguïté du contexte :

Il convient toutefois d’aborder le délicat problème de la vérité avec un brin de provocation. Pour cela, plaçons-nous dans un petit coin du ciel platonicien, assisté d’un petit génie assez omniscient pour savoir que tout ce qui mérite l’appellation de proposition (dans \(\mathscr{A}\) ou \(\mathscr{G}\)) est soit vrai, soit faux : c’est à la fois le tiers-exclu et la non-contradiction. En particulier, il est exclu qu’un tel énoncé puisse être ni vrai ni faux, partiellement vrai ou partiellement faux, possiblement vrai ou presque faux.

Il n’est pas certain que, pour les élèves, les deux règles fondamentales du tiers-exclu et de la non-contradiction en mathématiques soit une évidence tellement leur espace social est traversé d’argumentations plurivalentes et contradictoires ; le « c’est mon choix » s’importe avec facilité en mathématiques. Mais supposons-le. La fonction de \(\mathscr{LE}\) est de valider, par des procédés accessibles aux élèves, les règles d’énonciation du vrai dans \(\mathscr{A}\) ou dans \(\mathscr{G}\) ou dans tout autre contexte local que l’enseignement introduit.

Il existe une logique mathématique « moderne » \(\mathscr{LM}\) — dite calcul des propositions et des prédicats ou logique du premier ordre — exposée par exemple dans [1] ou [2] qui est totalement formalisée et peut donc faire l’objet de théorèmes et surtout de métathéorèmes intéressant les spécialistes et obtenus par des méthodes très … mathématiques.

La logique des propositions, partie de \(\mathscr{LM}\), définit le concept d’implication logique, soit syntaxiquement (avec les axiomes ad hoc), soit sémantiquement par les tables de « vérité » pour le dire brièvement, les deux approches étant « équivalentes » en un sens particulier⁴. La logique des prédicats définit l’implication universellement quantifiée (dite aussi « formelle ») et introduit les notions de théorème (loi logique), de règle de déduction et de preuve (formelle) ; notons bien que l’aspect sémantique du calcul des prédicats ne peut se faire que via une interprétation, par exemple dans \(\mathscr{A}\). Cette logique est souvent présentée comme servant de fondement aux mathématiques classiques ; mais dans la partie A de [2], Patrick Dehornoy développe (sur 200 pages) une théorie des ensembles qu’il qualifie de « pré-logique » en observant que « comme dans toutes les mathématiques, quelques bribes de logique apparaissent ici ou là, mais uniquement comme une sténographie ».

Première thèse

L’institution considère que le cycle 4 est celui de l’initiation à la démonstration, forme de raisonnement propre aux mathématiques. Nous conviendrons de distinguer preuve et démonstration : « prouver » relève bien du langage courant ; prouver, c’est s’efforcer de rendre évident (nécessaire) pour un interlocuteur. Le contexte est psychologique, social, local, changeant — possiblement — la classe de mathématiques ; au départ d’une preuve, il y a une interrogation, un doute, une objection ; les procédés utilisés peuvent être rhétoriques, visuels (dessin, graphique, diagramme), intuitifs, analogiques, basés sur des cas particuliers (simulations), statistiques (corrélations), inductifs, juridiques, etc. Les preuves scientifiques en font partie avec des spécificités propres à chaque discipline. En mathématiques, pour faire d’une preuve une démonstration, les règles sont codifiées, et prennent place dans un contexte axiomatisé, du moins en théorie.

Résumons: le raisonnement est un bien commun des humains avec, sans doute, une part d’innéité ; l’argumentation est un discours qui cherche à convaincre en s’appuyant, parfois, sur des preuves. La capacité d’argumenter s’acquiert très tôt — dans l’interaction sociale — avec l’usage de la parole. La démonstration doit forcer l’adhésion à la conclusion de celui qui en a accepté les prémisses ; mais une démonstration pertinente se doit aussi d’éclairer la compréhension au-delà du formel sous peine de stérilité. L’accès au discours inférentiel, déjà dans l’argumentation, nécessite un apprentissage dans lequel l’éducation (au sens large) joue un rôle certain. L’usage, avec un minimum de cohérence, des multiples marqueurs de la langue: « et », « ou », « mais », « donc », « car », « ne … pas », « si …, alors », « tous », « aucun », etc. en est le signe.

Certains linguistes de la branche dite pragmatique [3], [4] soutiennent la thèse que les expressions linguistiques du discours argumentatif ne sauraient servir d’illustrations pertinentes aux concepts qu’introduit la logique moderne, y compris avec des étudiants, individus a priori matures. C’est spécifiquement vrai pour les énoncés hypothétiques. On pourrait alors penser qu’en restant dans des contextes comme \(\mathscr{A}\) ou \(\mathscr{G}\), il y a quelque espoir de pouvoir enseigner le sens et le bon usage en mathématiques de certains connecteurs comme « et », « ou », la négation (des propositions), voire les quantifications universelle et existentielle⁵ ; mais à quel niveau ?

Ce travail sur les éléments logiques jugés utiles au raisonnement mathématique est amorcé au collège, difficilement, sur des matériaux mathématiques modestes mais déjà complexes, avec le peu de succès global que l’on constate en Seconde, cela malgré tout ce qui a pu se publier sur la question.

D’autre part, les enseignants qui ont eu à enseigner dans les années soixante-dix, à une époque où 20 % d’une classe d’âge obtenait le baccalauréat⁶, les tables de vérité au collège ou en Seconde (comme base du calcul des propositions) et un peu de calcul des prédicats dans la filière C, largement transposé et interprété dans une théorie très naïve des ensembles, témoignent du peu d’influence de ces enseignements sur l’aptitude des élèves à produire des démonstrations correctes, par exemple sur la continuité. Rappelons à nos lecteurs de moins de 60 ans, qu’en Première C, on enseignait la définition de la continuité d’une fonction en un « point » en écrivant au tableau devant des élèves ébahis⁷ :

\(\forall\ldots\ \exists\ldots\ \forall\ldots\ (\ldots \Longrightarrow \ldots)\)

Et dans les exemples étaient convoqués des raisonnements par conditions suffisantes sur des inégalités… Inutile d’épiloguer sur ce que pouvaient en retirer les élèves ; à l’évidence, on était allé trop loin dans l’excès de formalisme. La disparition complète de tout cela dans les programmes de 1981 n’a pas provoqué d’effondrement des capacités de démonstration des lycéens mais la massification du lycée était en marche.

Deuxième thèse

Commençons par examiner une formulation à l’interprétation peu polémique (?) en mathématiques

Les                sont employés à dessein plutôt que des lettres qui pourraient être interprétées comme des variables propositionnelles comme dans \(\mathscr{LM}\) et porter une connotation formelle : il s’agit ici de places vides destinées à recevoir des assertions de \(\mathscr{A}\) ou \(\mathscr{G}\) car l’intérêt se porte uniquement sur des formulations « concrètes ». Par exemple (avec des abus de langage usuels),

ou encore,

Tout d’abord, de telles phrases ne sont pas des propositions mais des énoncés dont la forme est la marque la plus courante de l’inférence, « du particulier au particulier » comme disent les linguistes, « à un pas » disent les enseignants ; sa signification est indubitablement :

dans lequel les « il est vrai que » sont implicites mais nécessairement pensés, autrement dit prémisse et conclusion sont des assertions. Une telle déduction peut être valide ou erronée (la forme ne garantit pas la correction) ; mais celui qui l’énonce est censé exprimer une validité de fait :

Pour inférer ainsi, il faut être en mesure de le justifier par une référence à ce qu’on appelle un énoncé tiers : une définition (cas du parallélogramme), un théorème fournissant une condition suffisante de parité, une proposition antérieurement déduite, voire un axiome (difficile à voir dans la scolarité actuelle).
Qui oserait valider l’inférence suivante :

Convenons qu’il est utile de conserver, et du contenu et de la causalité dans l’utilisation du modèle               , donc               . Une bonne déduction ne saurait être que formelle. Nous reviendrons plus loin sur le lien avec le modus ponens.

Continuons avec une autre formulation usuelle du discours mathématique qui est plus problématique

Ouvrons un livre de Cinquième (programme 2008); y figure sans figure ce qui est appelée une propriété⁸ :

Dans un livre de Cinquième de 1947, on trouve exactement la même formulation, dûment appelée théorème, accompagnée d’un dessin (avec des équerres figurant la perpendicularité) et suivie d’une démonstration.

Un coup de force théorique ?

Pour un logicien classique, qu’il soit philosophe du langage, psychologue cognitiviste ou didacticien des mathématiques, les choses sont sans ambiguïté : prise dans son entièreté, la phrase est une instance d’implication logique, qui ne dénote rien d’autre que ce qu’en dit sa table de vérité. On ne s’occupe ni de \(A\), ni de \(B\) mais de « \(A\Longrightarrow B\) », d’ailleurs lue « si \(A\), alors \(B\) ».

Quelles sont les raisons qui motivent, en particulier certains de nos collègues didacticiens, dans cette volonté de dissoudre le discours inférentiel mathématique dans la logique formelle ?

Il semble que la principale soit la certitude, peu discutée, que la logique formelle est nécessairement présente (certes sous forme d’interprétation) dans les mathématiques, y compris scolaires. En particulier l’implication logique, seule capable de valider l’inférence via la règle du modus ponens. Cet a priori posé, on «prouve» que l’implication logique n’est pas bien maîtrisée par certains groupes (dont les enseignants) à l’aide de questionnaires basés sur des raisonnements implicatifs à prémisse fausse: tâche de Wason, circuits de Legrand [5], labyrinthe d’EVAPM [6] et, bien sûr, les énoncés contrefactuels. L’échec à ce type de tâches est interprété comme un défaut de compréhension de l’implication donc (!) un handicap à la pratique du raisonnement mathématique.

Une anecdote s’impose :

Mais que peut dire cet énoncé, déjà compliqué, à un élève ? Raisonnablement que: (si) les informations disponibles au sujet d’un problème particulier (hypothèse d’énoncé, définition, déduction antérieure) permettent de dire qu’il est vrai que les deux droites particulières de la figure sur laquelle il réfléchit sont perpendiculaires à une même troisième (particulière), (alors) il peut affirmer qu’il est vrai que ces deux droites sont parallèles.
Et pour démontrer ce théorème, depuis que la géométrie est étudiée déductivement, soit plus de 2000 ans en certains lieux, on suppose que \(D_1 \perp \Delta\) et que \(D_2 \perp \Delta\) et on démontre, dans \(\mathscr{G}\), que \(D_1 \parallel D_2\). Et si \(\mathscr{G}\) est trop pauvre pour cela, le théorème devra être admis, ce qui n’est pas en soi un problème, mais si tous les théorèmes sont admis ?
Ce que dit ce théorème à un élève peut-il être autre chose que ce qu’en dit la démonstration, soit:

Au travers de cette utilisation, un théorème énoncé sous la forme

apparaît aussi comme un permis de déduire une assertion d’une autre assertion, toujours à l’intérieur d’une certaine théorie. C’est un certificat de validité, délivré par \(\mathscr{LE}\), de l’énoncé obtenu en remplissant les cases vides dans «               , donc                ». C’est une version directe du modus ponens.

Ainsi pragmatiquement analysée, la formulation « si               , alors                » a-t-elle vraiment besoin d’être modélisée par le connecteur d’implication ? Que peut y gagner l’élève ? Ne fonctionne-t-elle pas plutôt comme un « relateur », une structure linguistique qui met en relation orientée la vérité de deux propositions dans une mini-théorie, la validité de cette mise en relation reposant sur une démonstration qui en explicite les raisons mathématiques. Et cette explicitation des raisons semble indispensable à cultiver pour l’intelligence de la matière.

Pour ce relateur « si                , alors                », la forme n’est pas non plus la garantie du fond. Chaque enseignant ne le sait que trop bien : les deux places sont spontanément interverties selon les besoins et en toute sincérité sans que les démonstrations et contre-exemples aient un impact suffisant. Existe-t-il d’autres solutions que de corriger inlassablement la confusion, éventuellement avec quelques exemples de référence comme

« si équilatéral alors isocèle »
ou « si isocèle alors équilatéral » ?

béquille qui s’avère, à la longue, avoir quelque efficacité à bac+2 et aussi, heureuse surprise, sur la distinction entre le nécessaire et le suffisant.

Conclusion partielle

Il convient de distinguer les deux ordres du discours : celui d’une logique argumentative et celui d’une logique de la déduction ; le problème de la négation en illustre le caractère crucial. Travailler uniquement dans des contextes mathématiques en « laissant les questions de parapluie au vestiaire » semble une nécessité. Une telle déclaration ne supprime pas les interactions et les « mal entendus » qu’il faudra bien gérer sur le très long terme et ce d’autant plus que la langue essentiellement utilisée en mathématiques est la langue courante.

L’identification du «si …, alors …» des mathématiques et de l’implication logique peut paraître naturelle depuis les travaux des logiciens du XIX^e siècle mais ne correspond ni aux pratiques des enseignants de tous niveaux ni à celles des mathématiciens depuis Euclide qui n’ont pas attendu Georges Boole pour utiliser le raisonnement par l’absurde ou la conséquence admirable [7], [8]. La logique formelle (et ses signes) reste fort discrète dans la plupart des ouvrages de niveau universitaire mais, bien sûr, les démonstrations y sont omniprésentes comme si la logique utile était naturellement déjà là dans les objets étudiés.

Dans [1], les auteurs ne manquent pas de pointer, sur le ton de la plaisanterie, les diverses conséquences de la nécessaire définition vérifonctionnelle de l’implication logique et de les commenter. On y trouve aussi un sage précepte, tout plein d’humilité de la part de logiciens professionnels :