Au fil des problèmes n° 548
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2023

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548-1 Une question de Charles Hermite

Soit un entier n ≥ 3, combien de solutions entières strictement positives possède l’équation
$x + y + z = n$ avec comme contraintes $\begin{cases}
x \leqslant y + z \\
y \leqslant x + z \\
z \leqslant x + y
\end{cases}$

548-2 Vu sur le compte LinkedIn de Vincent Thill (Migennes)

Soit a, b, c, d des nombres réels tels que a + b + c + d = 0.
Montrer qu’alors on a toujours l’égalité : $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3(abc + abd + acd + bcd)$

548-3 Eurêka !

Hiéron II, roi de Syracuse, vient de recevoir comme paiement des taxes des sacs de drachmes d’argent de la part de ses six fermiers généraux. Depuis l’affaire de la couronne en or, il se méfie. Il se pourrait très bien que certains d’entre eux aient pu s’entendre avec un atelier monétaire pour mélanger l’argent des pièces avec des métaux moins précieux. Il fait appel, une fois de plus, à son ami Archimède pour s’assurer que tout est régulier.

Cette fois, s’il y a de fausses drachmes, elles auront le même volume que les vraies. Par conséquent, il n’est pas nécessaire pour l’immortel savant d’aller prendre un bain pour s’acquitter de sa tâche. En revanche, il a à sa disposition une balance précise et un système de masses marquées ; il connaît déjà très exactement la masse d’une drachme d’argent. Par ailleurs, toutes les fausses pièces sont identiques mais ne pèsent pas comme une drachme et toutes les drachmes d’un fermier général sont soit fausses soit vraies. Plutôt que de prendre une pièce dans chacun des sacs des six fermiers généraux et de réaliser six pesées, égal à lui-même, Archimède a trouvé un moyen infaillible de détecter tous les fraudeurs éventuels en seulement deux pesées.

Quelle est donc sa méthode ?

548-4 Une variante du problème du bâton brisé (Jean-Christophe Laugier-Rochefort)

On démontre que si l’on brise un bâton à deux endroits marqués au hasard, la probabilité que les trois morceaux obtenus puissent former un triangle est $\dfrac{1}{4}\cdotp$
Mais qu’en est-il, si au hasard, on casse d’abord le bâton en deux, puis on choisit l’un des deux morceaux, que l’on brise à son tour ?