Au fil des problèmes n° 547

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2023

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547-1 Quadrature d’une portion de lunule

Dans son livre La quadrature du cercle, paru en 2006 aux éditions Fayard, Marie Jacob présente la quadrature d’une portion de la première lunule d’Hippocrate de Chio qui a la particularité d’être dynamique. Cette propriété fut publiée pour la première fois par un mathématicien nommé Tschirnhaus en 1687 dans Acta Eridoterum.

« Malheureusement, nous n’avons pas retrouvé la démonstration de l’auteur lui-même. »

Marie Jacob précise que l’on sait seulement que Tschirnhaus a donné une démonstration à l’aide de découpages et de comparaisons d’aires de la géométrie classique. Parviendrez-vous à retrouver une preuve élémentaire de ce beau résultat ?

À partir d’un triangle ABO isocèle et rectangle en O, on construit d’une part un arc de cercle de centre O et d’autre part un demi-cercle de diamètre [AB]. Ces deux arcs de cercle délimitent alors une lunule. La médiatrice de [AB] coupe [AB] en I, l’arc de cercle en D et le demi-cercle en C. M est un point quelconque du demi- cercle. Le segment [OM] coupe l’arc de cercle en L. La droite perpendiculaire à [AB] passant par M coupe l’arc de cercle en R et le segment [AB] en N. Il s’agit d’établir l’égalité des aires de la portion de lunule AML et du triangle ANO.

547-2 Fatale erreur (Daniel Perrin – Orsay)

Dans la classe de cours moyen, le petit Valentin, toujours contestataire, proteste auprès de sa maitresse :

« Mais, Madame, je ne vois pas pourquoi vous m’avez mis zéro à ma division, j’avais tout bon ! »

La maîtresse a beaucoup de mal à lui expliquer que diviser 624 par 18 c’est écrire \(624 = 18 \times 34 + 12\) et non pas \(624 = (18 + 34) \times 12\), même si les résultats sont identiques.

Montrer qu’on peut fabriquer une infinité d’exemples de cette situation, c’est-à-dire d’entiers \(b\), \(q\), \(r\) avec \(0 \leqslant r < b,\) vérifiant \(bq + r = (b + q)r\).

547-3 Partage d’un quadrilatère (Jean-Matthieu Bernat et Pascal Humberger – La Rochelle)

Soit ABCD un quadrilatère convexe et P un point du segment [AD] ; on demande, à l’aide de considérations géométriques simples de construire la droite d passant par P qui découpe le quadrilatère en deux parties de même aire.

547-4 Urne et jetons (Jean-Christophe Laugier – Rochefort)

Dans une urne, on a placé 20 jetons d’aspect identique : 10 blancs numérotés de 1 à 10 et 10 dorés numérotés également de 1 à 10. Deux jetons sont dits complémentaires s’ils sont de couleurs différentes et portent des numéros consécutifs. Combien doit-on au minimum prélever de jetons dans l’urne pour avoir au moins 9 chances sur 10 de tirer deux numéros complémentaires ?

À propos des problèmes parus précédemment

545-1 Château d’eau

Toutes les réponses reçues parviennent à la formule \(\dfrac{\pi h}{12}(D^2+d^2)\) ou son équivalent avec les rayons. Jean-Paul Thabaret (Thonon-Les-Bains), Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) et Robert Ferréol (Paris) passent par l’équation d’un hyperboloïde et, après des calculs plus ou moins longs, parviennent à l’expression.

Mais il y avait plus facile en considérant un paramétrage de la génératrice rectiligne qui joint un point de la base à un point du sommet et en concluant par un calcul d’intégrale. C’est ce qu’ont fait Ludovic Jany (Bolquère), Maurice Bauval (Versailles), Alain Bougeard (Les Lilas), Richard Beczkowski (Chalon-sur- Saône) et Daniel Perrin (Orsay).

Daniel Perrin précise de plus à quelle hauteur se trouve le rayon minimal de la section ainsi que sa valeur. Enfin Robert Ferréol donne la formule du volume pour une rotation quelconque entre 0° et 180°.

545-2 Trouvé sur la toile

Certains lecteurs partent de l’égalité proposée : Vincent Thill (Migennes), Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône) et Christophe Rivière (Dieppe), divisent par \(xyz\) puis multiplient par \((x + y + z)\). Cette méthode rapide permet d’obtenir immédiatement le résultat attendu, à savoir \(-3\).

D’autres lecteurs, plus nombreux, Ludovic Jany (Bolquère), Jean-Paul Thabaret (Thonon-Les-Bains), Alain Bougeard (Les Lilas), Daniel Vacaru (Corbeni, Roumanie), Jacques Vieulet (Ibos) et Jean Moussa (Arcueil), travaillent à partir de l’expression dont il faut trouver la valeur et, par quelques manipulations algébriques et bien sûr l’utilisation de l’égalité donnée, parviennent au bon résultat.

Daniel Perrin (Orsay), en mettant l’expression proposée au même dénominateur, observe que le numérateur est un polynôme symétrique qui peut s’écrire avec des fonctions symétriques élémentaires dont la valeur d’une d’entre elles vaut 0 d’après l’énoncé. Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) aborde la question de façon un peu semblable par le biais d’une équation du troisième degré dont le terme du premier degré est nul. Le résultat suit alors facilement dans les deux cas.

545-3 Inspiré par l’exercice 543-1

Une grande variété de constructions ont été proposées. Ainsi Patrick David (Cergy) et Ludovic Jany (Bolquère) travaillent par construction de figures successives dont les aires sont dans des rapports simples avec l’aire du triangle initial.

D’autres lecteurs utilisent des moyennes géométriques de longueurs de segments qui ont été alignés, c’est le cas de Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône), de Jean-Paul Thabaret (Thonon-Les-Bains), de Daniel Perrin (Orsay), de Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) et de Renaud Dehaye (Nancy).

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) procède différemment. Le côté du triangle équilatéral à construire est relié simplement à une hauteur du triangle initial et au diamètre du cercle circonscrit au triangle équilatéral construit sur le côté associé à cette hauteur. Ces deux longueurs sont constructibles.

Enfin Jean Moussa (Arcueil) n’utilise aucune des méthodes précédentes. Il construit un triangle de même aire possédant un angle de 60° et utilise ensuite la bissectrice de cet angle pour construire le triangle équilatéral demandé.

545-4 Équarrissage des bois

« Je sais pourquoi tant de gens aiment couper du bois. C’est une activité où l’on voit tout de suite le résultat. » Albert Einstein.

Nos lecteurs ne sont évidemment pas d’accord avec l’affirmation trouvée dans l’article de Wikipédia. D’ailleurs, Daniel Perrin (Orsay) fait remarquer que cette partie de l’article a disparu de la toile mais Robert Ferréol (Paris) a retrouvé le texte original page 59 du livre Nouveau Manuel complet du charpentier ou traité simplifié de cet art par MM. Biston et Hanus, paru en 1861 aux éditions La librairie encyclopédique de Roret.

Avec quelques calculs élémentaires d’aire et un calcul de dérivée pour obtenir l’aire du plus grand rectangle inscrit dans une ellipse, il apparaît que les aires du carré et du plus grand rectangle, inscrits respectivement dans un cercle et dans une ellipse de même aire, ont eux-mêmes des aires égales. C’est le chemin emprunté par Ludovic Jany (Bolquère), Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives), Fabrice Laurent (Luneville) et Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône).

Jean Moussa (Arcueil), Daniel Perrin (Orsay) et Robert Ferréol (Paris) expédient le problème en rappelant que l’ellipse est l’image d’un cercle par une affinité qui transforme un carré en un rectangle et les affinités conservent les rapports d’aire. Daniel Perrin apporte de plus des précisions sur la position du rectangle inscrit dans une ellipse.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.