Célébrons de façon durable nos années qui passent…
Jusqu’ici, de génération en génération, l’humanité a réussi à se développer durablement. Comme a dit Woody Allen, « la vie est une maladie mortelle sexuellement transmissible ». Il convient donc d’être reconnaissants envers nos ancêtres… Dominique Souder vous propose, tout en honorant les mathématiques, de souhaiter dignement les anniversaires de vos parents et amis.
Dominique Souder
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Comment fêter les anniversaires à partir de 30 ans ?
La figure 1 est une carte d’anniversaire de 30 ans créée, à partir des seize nombres de 0 à 15, dans un carré magique \(4\times4\) de somme 30. Mais il y a des propriétés supplémentaires ! Sur la carte, on peut voir d’autres configurations de quatre cases orange ayant pour somme 30.
Mais ce n’est pas tout ! Les quatre cases de plus grandes valeurs (12, 13, 14, 15) se situent les unes par rapport aux autres dans des lignes, des colonnes, des diagonales et des positions intéressantes de regroupement qui sont toutes différentes.
Pour célébrer un anniversaire de 31 ans, il suffit d’augmenter de 1 une seule case parmi les quatre d’un des regroupements intéressants. Pour cela augmentez de 1 ces quatre cases de grandes valeurs et vous obtiendrez un carré magique gardant toutes les belles propriétés de celui de somme 30, mis à part un trou dans la continuité des valeurs : de 0 à 11, puis de 13 à 16. Les seize valeurs seront toutes différentes, c’est l’intérêt d’avoir grossi les quatre valeurs les plus fortes, on ne retrouvera pas en double l’un des douze premiers nombres inférieurs déjà écrits.
Pour célébrer 32 ans, c’est 2 qu’il faut ajouter aux quatre cases de valeurs supérieures du carré de somme 30 et pour 33 ans, c’est 3.
Figure 1. Dans le carré figurent les 16 nombres allant de 0 à 15. C’est un carré magique de somme 30.
De plus on trouve le même total 30 quand on ajoute les nombres des cases orange dans les configurations ci-dessus.
Mais pour 34 ans, il faudra cette fois ajouter 1 aux seize cases du carré de somme 30 et vous aurez même la continuité des valeurs, de 1 à 16. Pour 35 ans, vous prendrez comme base le carré de somme 34 et lui ajouterez 1 à ses quatre cases de plus grandes valeurs. Pour 36, vous leur ajouterez 2 et pour 37 vous ajouterez 3.
Généralisation
Pour toutes les valeurs de forme «30 augmenté d’un multiple de 4» (soit \(30 +
4q\)) le nombre \(q\) sera ajouté dans chacune des cases du carré de somme 30 et vous obtiendrez un carré avec les seize nombres consécutifs de \(q\) à \(q+15\).
Quand l’âge n’est pas de la forme \(30 + 4q\) il y aura un trou, variable selon les cas (de 1, 2 ou 3 nombres) entre les douze premières valeurs consécutives et les quatre plus grandes consécutives.
Mais vous avez maintenant le principe durable vous permettant de souhaiter tout anniversaire à partir de notre modèle pour 30 ans : vous pouvez même le présenter sous forme de formules…
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Si \(n\) est l’âge (\(n \geqslant 30\)) vous calculez \(n – 30\), puis vous effectuez sa division euclidienne par 4 qui donne un quotient \(q\) et un reste \(r\) valant de 0 à 3. Soit \(n = 30 + 4q + r\). Ensuite à partir du carré de somme 30, vous ajoutez \(q\) à chacune des douze cases les plus petites et vous ajoutez \(q+r\) aux quatre cases les plus grandes. |
Vous obtenez le carré plus que magique, général, ci-dessous :
Si vous réalisez ce genre de carré chaque année, peut-être vos proches se lasseront-ils… Pour relancer leur intérêt, voici une variante avec d’autres propriétés tout aussi jolies.
Comment fêter autrement les anniversaires à partir de 60 ans ?
La carte de la figure 2 permet le souhait d’un bon anniversaire de 60 ans.
Figure 2. C’est un carré magique de somme 60. On trouve le même total dans les configurations suivantes :
lorsque l’on additionne les 5 nombres des cases orange tels ceux ci-dessus,
ou pour des situations similaires de quatre cases alignées et une case en coin (4 figures de ce genre)
ou de 3 cases alignées et leurs 2 complémentaires (4 figures de ce genre).
Il s’agit maintenant, à partir des vingt-cinq nombres de 0 à 24, d’un carré magique \(5\times5\) de somme 60 avec encore des propriétés supplémentaires. Les cinq cases de plus grandes valeurs (20, 21, 22, 23, 24) se situent les unes par rapport aux autres dans des lignes, des colonnes, des diagonales et des positions intéressantes de regroupement qui sont toutes différentes. Pour célébrer un anniversaire de 61 ans, il suffit d’augmenter de 1 ces seules cinq cases supérieures et vous obtiendrez un carré magique gardant toutes les belles propriétés de celui de somme 60, mis à part un trou dans la continuité des valeurs : de 0 à 19, puis de 21 à 25. Les vingt-cinq valeurs seront toutes différentes, c’est l’intérêt d’avoir grossi les cinq valeurs les plus fortes, on ne retrouve pas les vingt premiers nombres inférieurs déjà écrits. Pour célébrer 62 ans, c’est 2 qu’il faut ajouter aux cinq cases de valeurs supérieures du carré de somme 60, pour 63, c’est 3 et pour 64, c’est 4.
Mais pour 65 ans, il faudra cette fois ajouter 1 aux vingt-cinq cases du carré de somme 60 et vous aurez même la continuité des valeurs, de 1 à 25. Pour passer à 66 ans, vous prendrez comme base le carré de somme 65 et lui ajouterez 1 à ses cinq cases de plus grandes valeurs. Pour 67 vous leur ajouterez 2, pour 68 vous ajouterez 3 et pour 69 vous ajouterez 4.
Généralisation
Pour toutes les valeurs de forme «60 augmenté d’un multiple de 5 (soit \(60 +
5q\)) le nombre \(q\) sera ajouté dans chacune des cases du carré de somme 60 et vous obtiendrez un carré avec les vingt-cinq nombres consécutifs, de \(q\) à \(q+24\).
Quand l’âge n’est pas de la forme \(60 + 5q\) il y aura un trou, variable selon les cas (de 1, 2, 3 ou 4 nombres) entre les vingt premières valeurs consécutives et les cinq plus grandes consécutives. Mais vous avez maintenant le principe durable vous permettant de souhaiter tout anniversaire à partir de notre modèle pour 60 ans : vous pouvez même le présenter sous forme d’un carré contenant les formules applicables à chaque case.
| Si n est l’âge (\(n \geqslant 60\)) vous calculez \(n – 60\), puis vous effectuez sa division euclidienne par 5 qui donne un quotient \(q\) et un reste \(r\) valant de 0 à 4. Soit \(n = 60 + 5q + r\). |
Ensuite, à partir du carré de somme 60, vous ajoutez \(q\) à chacune des vingt cases les plus petites et vous ajoutez \(q+r\) aux cinq cases les plus grandes.
Vous obtenez le carré plus que magique général ci-dessous.
En conclusion
Vous avez maintenant de quoi fêter systématiquement, joyeusement et mathématiquement, les anniversaires à partir de 60 ans de deux façons différentes et de 30 à 59 ans d’une façon unique.
Vous avez ainsi, de façon durable, de quoi fêter même ceux de votre entourage qui pourraient atteindre les âges de Mathusalem, Yared, Noé ou Adam.
Pour des âges inférieurs à 30 ans, vous pourriez faire de tels carrés magiques mais il faudrait utiliser des nombres négatifs, ce qui est moins «grand public». Ou bien, vous lancerez-vous dans l’étude de triangles magiques de sommes inférieures à 30, mais c’est une autre histoire…
Les maths peuvent être, aussi, un talent de société et festives au quotidien !
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Enseignant de mathématiques aujourd’hui à la retraite, Dominique Souder se consacre désormais à des animations autour de la magie et à des formations d’enseignants et de médiateurs scientifiques dans ce domaine où il a été pionnier en France.
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