Géométries finies & jeux FANO

Encore une bonne idée du Kangourou ! La géométrie finie est un magnifique champ de jeu pour l’apprentissage de l’axiomatique. Il y a cinquante ans, les promoteurs de la réforme dite «des maths modernes» l’avaient bien compris, avant de tomber dans l’ornière d’une outrancière formalisation. Les Fano sont des jeux, d’apparence enfantine, mais qui cachent une belle activité mathématique…

André Deledicq

© APMEP Mars 2022

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Un peu d’histoire des mathématiques

En 1899, David Hilbert (1862-1943) redéfinit la géométrie euclidienne à partir de 21 axiomes, dont deux énonçaient ceci :

• par deux points, il passe une droite et une seule ;

• deux droites distinctes non parallèles se coupent en un et un seul point.

Plus tard, en 1935, parlant plus généralement de la géométrie dans l’espace, on lui attribue une phrase devenue  célèbre: « On doit pouvoir, en géométrie dans l’espace, remplacer les mots points, droites et plans, par les mots  tables, chaises et verres de bière ! » Seules les relations qu’on se donne entre ces objets ont une importance.

Il y a un peu plus d’une centaine d’années, le mathématicien italien Gino Fano (1871-1952) a repris en partie ces axiomes pour étudier les ensembles de points dans lesquels on peut distinguer des sous-ensembles, appelés droites, ayant plutôt les propriétés suivantes :

• deux points distincts appartiennent à une et une seule droite ;

• deux droites distinctes ont un et un seul point en commun.

De tels axiomes (où il n’y a plus de parallèles), définissent ce qu’on appelle une géométrie dite «projective». Fano développe cette sorte de géométrie dans un espace à deux dimensions contenant un nombre fini de points. Il montre que, dans un plan de Fano, il y a autant de points que de droites et que, si chaque droite contient \(n\) points, alors chaque point appartient à \(n\) droites.

Dans un tel plan, un point étant choisi, \(n\) droites passent par ce point, chacune contenant \(n-1\) autres points. Cela fait \(1+n(n-1)\) points, soit \(n^2-n+1\). Un plan de Fano peut donc avoir \(n^2-n+1\) points et, donc aussi, \(n^2-n+1\) droites (\(n> ;1\)).

Gino Fano avait dessiné, dans le cas \(n=3\), la figure en tête de cet article, que nous avons choisie comme une sorte de logo.

Dans cette figure, chaque droite a 3 points et chaque point appartient à 3 droites ; et il y a 7 points et 7 droites (une des «droites» y est représentée comme un cercle).

Les jeux FANO

Au jeu-concours Kangourou, tous les participants reçoivent deux cadeaux (une règle «d’or» et une brochure de mathématiques). Pour son petit frère, le jeu Koala (créé en 2010), il a été décidé d’offrir, à tous les participants, un jeu ayant quelque chose à voir avec les mathématiques. On peut trouver ces jeux sur le site mathkang.org . En 2021, tous les élèves de CP ou de CE1 ont reçu deux jeux de cartes, l’un de vingt-et-une cartes, l’autre de sept cartes (jeux que nous avons décidé d’appeler FANO, en hommage à Gino Fano) dont nous donnons ci-dessous une version.

Au recto figurent trois nombres (entre 1 et 7), et au verso les mêmes nombres sont représentés par des groupes d’animaux.

Dans ce jeu de sept cartes :

• deux cartes quelconques n’ont qu’un nombre en commun ;

• deux nombres sont ensemble sur une et une seule carte ;

• chaque carte contient trois nombres et chaque nombre est représenté sur trois cartes.

On est donc bien dans la situation d’un plan de Fano et devant une illustration parfaite de la phrase de David Hilbert : dans les jeux FANO, les droites sont les cartes et les points sont les nombres écrits ou représentés sur chaque carte.

L’étude théorique, menée par Gino Fano, montre qu’un plan de Fano peut contenir sept droites (ou cartes) et autant de points (pour \(n=3\)), ou treize cartes (pour \(n=4\)), ou vingt-et-une (pour \(n=5\)), ou trente-et-une (pour \(n=6\)) ou quarante-trois (pour \(n=7\)), ou cinquante-sept (pour \(n=8\))…

Le jeu commercialisé sous le nom de Dobble se compose de cinquante-cinq cartes construites sur ce principe. Il lui en manque donc deux pour qu’il soit un vrai jeu FANO. Si le jeu était complet, chaque carte montrerait bien huit objets et chaque objet serait représenté sur huit cartes.

On peut d’ailleurs ainsi, toujours enlever (ou perdre !) un nombre quelconque de cartes d’un jeu complet. Cela n’empêche pas de jouer avec la même règle !

Des jeux pédagogiques du type FANO ont été commercialisés par la marque Cat’s family sous le nom de Détective Mathéo.

Une règle des jeux de cartes FANO

Le fait que le recto et le verso d’une carte puissent représenter le même objet sous deux formes différentes permet une intéressante façon de jouer (d’abord remarquée par Alain Brobecker, professeur et créateur de jeux) : en présentant un recto de carte et un verso, on est sûr qu’il y a un et un seul objet en commun.

D’où la possibilité de jouer à un jeu FANO avec la règle suivante :

Règle du jeu FANO

À vous de jouer lorsque les deux cartes visibles sont successivement les suivantes¹ :

Comment fabriquer des jeux FANO de sept cartes ?

1. Choisissez une correspondance entre deux listes de sept éléments chacune. Une liste fera les rectos, l’autre les versos. Par exemple, dans le jeu proposé ci-dessus, les nombres de 1 à 7 sont au recto et des nombres d’animaux représentés sont au verso.

2. Utilisez le grand dessin à sept cases, dessiné ci-dessous.

3. Marquez les éléments de la première liste dans chacune des cases comme sur le dessin ci-dessous.

4. Chaque recto de carte correspond alors à une ligne (droite ou cercle) du dessin.

   Par exemple, pour les cartes du jeu avec les nombres de 1 à 7, nous avons les sept rectos :

   \((1,4,2)\), \((1,5,3)\), \((1,7,6)\), \((4,5,6)\), \((2,7,5)\), \((4,7,3)\) et \((2,6,3)\).

   

   Remarquez que vous pouvez placer les éléments que vous voulez dans les cases que vous voulez.

5. Pour les versos, marquez sur chaque carte les correspondants des trois éléments placés au recto.

Vous pouvez photocopier le schéma ci-dessous et le compléter pour fabriquer un jeu FANO à sept cartes pour vos enfants ou vos élèves, sur n’importe quel thème ou sujet de votre invention…

Par exemple, vous pouvez fabriquer un jeu FANO pour jouer avec les noms des sept premiers nombres en anglais !

Pour cela, marquez sur le recto de sept cartes, les mêmes nombres que sur le FANO de sept cartes précédent. Puis marquez, au verso, les noms en anglais des nombres correspondants, comme sur le tableau suivant, où les cartes sont indiquées en colonne :

Toutes les disciplines peuvent amuser les élèves avec des jeux FANO spécifiques !

Ainsi, pour jouer avec les cris des animaux ou animer les cours de SVT au collège, vous pourriez fabriquer un jeu FANO de sept cartes en remplissant le schéma suivant…

… et en inscrivant, sur les cartes, les mots correspondants au tableau suivant…

Vous pouvez aussi dessiner le contour d’un pays au recto et mettre son nom au verso ; ou bien écrire les jours de la semaine en français au recto et leur traduction en espagnol au verso ; ou encore mettre le titre d’un livre au recto et le nom de son auteur au verso ; ou…

Vous trouverez sur le site mathkang.org d’autres commentaires et vous y apprendrez à fabriquer d’autres jeux FANO, par exemple des jeux de treize cartes (à quatre objets par carte), ou des jeux de vingt-et-une cartes (à cinq objets par carte)…

Les cartes FANO sont en vente sur le site mathkang.org .

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Enseignant-chercheur à l’Université Paris Diderot, ayant exercé diverses responsabilités institutionnelles dont celle de directeur d’IREM, André Deledicq a écrit de très nombreux ouvrages qui n’ont tous qu’un seul but : mettre à la portée de tous de belles mathématiques. Il est aussi le père du plus grand jeu-concours du monde : le Kangourou des mathématiques. À ce titre, il a reçu en 1994 le Prix d’Alembert et en 2004 le prix Erdös.