Le jeu des sandwichs : une extension culturelle

Voici un jeu à mettre entre toutes les mains, notamment celles de nos élèves. Idéal à la fin de l’année scolaire, en école comme au collège. Sur une même base, de nombreuses variantes selon vos objectifs !

Gérard Martin

© APMEP Juin 2019

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Ce jeu a été imaginé par Gérard Martin comme épreuve d’un rallye « parents/professeurs » vers 1990. Il a été ensuite amélioré grâce à Jean-Christophe Deledicq et Régis Seigle, avec un programme listant toutes les combinaisons possibles pour obtenir les nombres jusqu’au nombre cible 2 000, pour des animations lors des camps du Kangourou. En 2014, avec Jean-François Bergeaut, nous avons introduit une dimension culturelle et pluri-disciplinaire dans la présentation des comptes à obtenir. C’est ce que nous allons développer ici. Le jeu en lui-même a été décrit en détails dans PLOT n°58 par Jean-Christophe Deledicq . Nous rappelons ci-dessous, succintement, les règles du jeu.

Matériel

• Version plein air : sept chasubles portant deux signes différents (10 chiffres et 4 signes opératoires associés comme ci-dessous).

  

• Version classe : sept cartes portant les signes recto-verso.

• Une ardoise pour écrire le compte (nombre cible) à obtenir.

• De l’imagination.

Objectif

Il s’agit d’atteindre un nombre cible à l’aide d’un calcul sous contraintes liées au matériel disponible.

Règle du jeu

Les concurrents doivent se présenter, tels des hommes sandwichs, devant un jury avec leur chasuble du bon côté pour exhiber un calcul qui donne le compte demandé par le meneur de jeu. On n’est pas obligé d’utiliser toutes les chasubles.

Ils ont la possibilité de juxtaposer des chiffres pour écrire un nombre. Pour utiliser une virgule, ils peuvent tendre une main vers le bas au niveau des cuisses ; ils peuvent rajouter des parenthèses avec des bras légèrement incurvés au niveau des chasubles ; pour utiliser des exposants un joueur doit s’accroupir, celui portant l’exposant reste debout à sa gauche.

Organisation

• Pour jouer avec la version plein air, il faut des équipes de huit (sept plus un capitaine), un espace assez grand et un temps clément quand la mise en œuvre se situe à l’extérieur (très agréable et recommandée). Pendant les phases de recherche, les équipes ne devant pas pouvoir saisir les recherches des autres, il faut une « distance de sécurité » de quelques mètres entre les groupes. Pour jouer avec la version classe, comme il faut sept mains pour tenir les cartes, il suffit d’un minimum de quatre élèves pour constituer une équipe. Le jeu peut se dérouler dans une salle (sans déplacement) avec une seule classe. Dans ce cas, le titre « jeu de sandwichs » n’a plus de sens !

• Il faut environ une heure pour une partie. Nous conseillons de commencer par faire trouver 18, qui offre de multiples possibilités et permet de faire manipuler les chasubles.

• L’essentiel est de jouer à calculer. Cependant, pour augmenter l’enrôlement des participants dans les équipes, on peut attribuer des points (5 points pour la première équipe gagnante, puis successivement 3 points et 1 point pour les deux équipes suivantes si elles proposent chacune un calcul gagnant différent permettant d’atteindre le nombre cible).

L’extension culturelle

La façon de présenter le nombre cible est importante ; dans la première version du jeu, nous écrivions ce nombre sur une ardoise en l’énonçant deux fois à très haute voix afin d’être entendu de tous. Nous avons ensuite imaginé une présentation du nombre cible – non donné « en clair » sur l’ardoise – mobilisant des connaissances issues de divers domaines mathématiques (numération, arithmétique, géométrie, grandeurs, statistiques, probabilités, etc.) mais aussi d’autres disciplines ou de la culture générale (à adapter en fonction du niveau des participants, du cycle 2 aux adultes amoureux des mathématiques).

Ci-dessous quelques exemples :

• En appui sur des connaissances de numération : quinze dizaines et vingt unités (\(170\)), un dixième de moins qu’une dizaine (\(9,9\)), le cinquième nombre carré palindrome en partant de \(0\) (\(121\))…

• Avec un calcul préalable : le double du carré de trois (\(18\)) ; le carré de douze diminué du quart de soixante (\(129\)) ; le triple du quart de mille (\(750\)), une douzaine de douzaines (\(144\)), le complément à cent de soixante-et-onze (\(29\)), le produit de la somme de dix-sept et de vingt-huit par la différence entre quarante-six et cinq (\(1 845\))…

• En proposant une équation : \(\sqrt(x)-1 = 9 999\) (\(100\)).

• En mobilisant des connaissances géométriques : l’angle supplémentaire du demi-angle droit en degrés (\(135\)), le double du produit des nombres de sommets d’arêtes et de faces d’un pavé droit (\(1 152\)), le cube du nombre de solides de Platon (\(625\) qui s’écrit sans calcul en juxtaposant les chiffres \(6\), \(2\) et \(5\))…

• Avec des mesures de grandeurs : le nombre de litres dans un mètre-cube (\(1 000\))…

• Avec des statistiques ou des probabilités : la moyenne des quarante-cinq premiers entiers naturels (\(22\) : zéro est le premier entier naturel), la somme de l’inverse de la probabilité de tirer un as dans un jeu de 52 cartes et du double du triple de sept (\(55\))…

• En utilisant des connaissances issues d’autres disciplines : année du sacre de Charlemagne (800), de la bataille de Marignan (1 515 est un multiple de 5 et de 15 : facile, il n’y a que 10 solutions), de la déclaration des droits de l’homme et du citoyen (pour 1789 il y a 6 solutions, cherchez un peu…Il faut écrire \(17xy (+/-)zw\), et obtenir \(89\) avec \(xy(+/-)zw\), par exemple \(1795-6\)), de la déclaration universelle des droits de l’homme (1 948), de l’abolition de la peine Mort en France (1 981), le double du produit du nombre de pattes d’une araignée par le nombre de conjonctions de coordination (\(2 \times 8 \times 7 = 112\)), le numéro atomique du césium (22), le nombre de départements français (101), de députés à l’assemblée nationale en France (577), the product of the number of states in the United states with the number of nations in the United Kingdom (200), l’année de naissance du peintre de Guernica (1 881), le carré du nombre de symphonies répertoriées de Mozart (1 681) , le carré du nombre de principes dans la charte de la laïcité (225)…

• Avec des charades, des rébus, des énigmes…en mimant : un demi-tour pour 180 (il y a un calcul à faire) puis un tour complet pour demander 360 (qui s’écrit simplement en juxtaposant 3, 6 et 0, pas de calcul !).

  

• Avec des connaissances de culture générale : le double de la somme du nombre de nains et du nombre de Mousquetaires (22 : attention, les trois mousquetaires étaient quatre !).

  Vous pouvez aussi demander à des enseignants d’autres disciplines de proposer des questions ayant des nombres pour réponse.

  La partie peut se terminer en demandant à chaque équipe de proposer un nombre cible (inférieur à 500) aux autres équipes. Attention, cela demande du temps aux équipes car ce n’est pas du tout évident.

Remarques

Si on exclut les parenthèses, exposants ou virgules :

• Le premier nombre non accessible avec les quatre opérations est 1 079 (cependant, \(1 079 = 6^3 – 217\)), ensuite il y en a beaucoup.

• En dessous de 400, seuls 220 et 393 ont moins de dix solutions.

On peut aussi imposer pour certains comptes d’utiliser toutes les chasubles.

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Bachelier de 68, enseignant retraité depuis 2012, Gérard Martin a toujours intégré le jeu et l’histoire des mathématiques dans ses cours, et a développé de nombreux clubs mathématiques. Concepteur de plusieurs jeux comme Chamboul’Math (qui sera présenté dans le n° 535), il fait partie des rédacteurs des sujets du Kangourou des Mathématiques depuis longtemps. Il est actuellement responsable du groupe « Jeux mathématiques » de l’IRES de Toulouse.