Au fil des maths

© APMEP Juin 2021

Aux origines des mathématiques
De Sumer à la Renaissance

Michel Rousselet
ADAPT-SNES Éditions, 2018
214 pages
28 €

L’auteur Michel Rousselet est un professeur de mathématique, maintenant retraité, qui a enseigné au collège et au lycée. Il a écrit de nombreux ouvrages ou articles sur l’histoire des sciences et comment l’introduire dans nos cours de maths, en particulier Itinéraires de découverte en quatrième (Pole, 2005).

En 2010, il coécrit avec Catherine Morice-Singh À la découverte des mathématiques des pharaons, des Mayas et de l’Inde ancienne, une série de trois livres avec des exercices pour le collège, dont les contextes permettent aux enseignants de mathématiques et d’histoire de travailler ensemble.

L’ouvrage Aux origines des mathématiques – De Sumer à la Renaissance se base aussi sur un grand nombre d’exercices ; il reprend certaines de ces civilisations et les complète. Il est composé de soixante-dix fiches avec des documents et des exercices, leurs corrigés et des compléments bibliographiques. Les fiches sont partagées en neuf chapitres selon les civilisations, dans un ordre globalement chronologique (même si certaines périodes se recoupent) :

Les mathématiques à Sumer (de 3300 av. J.-C. à la conquête de la Mésopotamie par les Akkadiens en 2300 av. J.-C.) ;
Les mathématiques au temps des pharaons (de 3000 av. J.-C. à la conquête d’Alexandre en 332 av. J.-C.) ;
Les mathématiques à Babylone (de 1800 av. J.-C. à la conquête par les Perses en 539 av. J.-C.) ;
Les mathématiques de la Chine ancienne (de 2200 av. J.-C. à 1400 apr. J.-C.) ;
Les mathématiques de l’Inde ancienne (de 1500 av. J.-C. au XI^e siècle apr. J.-C.) ;
Les mathématiques du monde grec (du XII^e siècle av. J.-C. à la conquête romaine, au II^e siècle av. J.-C.) ;
Les mathématiques à Rome (de la fondation de Rome à la chute de l’empire romain en 476 apr. J.-C.) ;
Les mathématiques du monde arabo-musulman (de 622 av. J.-C. au XIV^e siècle apr. J.-C.) ;
Les mathématiques de l’Europe au Moyen Âge (de la chute de Rome en 476 apr. J.-C. au début du XVI^e siècle).

Pour chaque civilisation, des informations historiques sont données (soit dans une introduction commune, soit au fur et à mesure des fiches selon les besoins) puis plusieurs thèmes sont abordés, un par fiche. Par exemple, on trouve :

• dans Les mathématiques à Babylone : l’invention de la numération de position, fractions et racines carrées, la proportionnalité, l’algèbre géométrique et la géométrie ;

• dans Les mathématiques de la Chine ancienne : les systèmes de numération, les baguettes et le boulier, les nombres négatifs, l’art du calcul et la géométrie.

On peut ainsi avoir une lecture et une utilisation du livre pour la classe selon deux axes. Soit on peut s’intéresser à une civilisation et travailler différents aspects des mathématiques qu’elle a développées. Cela peut être en particulier intéressant pour créer un fil conducteur sur l’année ou si la civilisation en question est étudiée dans le cours d’histoire. Soit on peut choisir de travailler un thème mathématique et l’aborder sous le regard de plusieurs civilisations. Parmi les plus classiques, on peut trouver des ressources sur les numérations, sur les constructions géométriques, sur les calculs numériques, etc. Par exemple, les fiches « Les codes secrets des Grecs » dans « Les mathématiques du monde grec », puis « Le code secret de Jules César » dans « Les mathématiques à Rome » et enfin « L’invention de la cryptanalyse » dans « Les mathématiques du monde arabo-musulman » peuvent se compléter utilement pour un travail sur le codage.

Chaque fiche comporte deux pages, constituées d’une alternance entre l’exposition de situations historiques plus ou moins longues et d’exercices en lien avec le problème exposé.

Prenons l’exemple de la fiche sur « Les fractions égyptiennes » et regardons comment elle est construite.

À partir du partage de 15 pains en 4 personnes par un scribe égyptien, Michel Rousselet commence par détailler l’écriture du résultat de la division à l’aide de sommes de fractions dites égyptiennes (fractions de numérateur 1) ; l’exercice 1 propose alors un calcul entre des nombres écrits sous cette forme. Ensuite, l’auteur explique l’importance des calculs de partage dans l’Égypte ancienne et donne un exemple ; l’exercice 2 propose alors de vérifier la solution donnée par le scribe. Puis il relève l’intérêt de la constitution de tables comme celles des décompositions des fractions de la forme \(\frac{2}{n}\) ; les exercices 3 et 4 portent alors sur de telles décompositions. Enfin la fiche se termine sur la méthode de Fibonacci pour décomposer n’importe quelle fraction en somme de fractions égyptiennes et l’exercice 5 est la mise en œuvre de cette méthode. La correction des exercices est donnée dans la deuxième partie de l’ouvrage.

Les situations historiques sont écrites en langage actuel pour les rendre directement accessibles au lecteur, même novice en histoire des mathématiques. C’est un choix volontaire de l’auteur qui indique en introduction « Les énoncés sont écrits avec les notations d’aujourd’hui mais ils respectent fidèlement les sources historiques. Si le lecteur désire en savoir davantage, il pourra le faire en consultant les sources placées dans la bibliographie en fin d’ouvrage. »

Sur les fractions égyptiennes, il renvoie à la brochure L’algèbre et le calcul en Égypte antique d’Olivier Keller (IREM de Lyon, brochure n°54, 1986) dans laquelle le lecteur souhaitant approfondir trouvera d’autres exemples, des commentaires et des reproductions de textes originaux. Selon les thèmes et les textes, l’enseignant pourra alors décider pour sa classe d’exploiter ces textes ou de s’en tenir à la version de la fiche proposée par Michel Rousselet.

De nombreux contenus travaillés dans les fiches sont abordables dès le collège, comme l’écriture des nombres, les opérations (multiplication, division), les fractions, les théorèmes de Thalès et de Pythagore, la géométrie décorative (frise, pavages), les équations du premier degré, la trigonométrie, les racines carrées, les approximations de nombres. Les derniers cités trouveront aussi leur place en classe de Seconde. En lien direct avec les programmes du lycée, citons aussi l’algorithme d’Euclide, l’algorithme de Héron, les coniques, la cryptographie, l’analyse combinatoire ou encore les équations du second degré.

À l’heure où les programmes de lycée donnent des indications pour s’appuyer sur l’histoire des mathématiques en classe et précisent en introduction « Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme une source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions ». Et ceux du de collège incitent à l’interdisciplinarité tout en indiquant que « les élèves doivent aussi percevoir que les mathématiques ne sont pas figées, qu’elles se développent et affrontent parfois des crises. Elles sont le produit de la pensée humaine, peuvent être objets de créativité et sont constitutives de la culture de toute société. », le livre de Michel Rousselet apporte, dans cette optique, de nombreuses ressources aux enseignants.

On trouvera sur le site de l’éditeur le sommaire complet et l’introduction .

Nathalie Chevalarias