Matériaux pour une documentation N° 528

Les probabilités et la statistique au lycée
sous la direction de Laurent Vivier, Pufc, 2017

Passerelles
Enseigner les mathématiques par leur histoire au cycle 3
Commission Inter-IREM, ARPEME, 2017

© APMEP Juin 2018

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Les probabilités et la statistique au lycée
sous la direction de Laurent Vivier, Pufc, 2017

Seize ans après « Autour de la modélisation en probabilités », les Presses universitaires de Franche-Comté nous proposent un petit ouvrage de 230 pages sur les probabilités et la statistique au lycée et leur enseignement ; ouvrage collectif avec des signatures bien connues des membres de l’APMEP et des lecteurs de la revue Repère-IREM, tous formateurs d’enseignants.

Le sous-titre pour un enseignement et une formation sans alea… ou presque annonce la couleur et le préambule explicite les intentions des auteurs : amener les enseignants à s’interroger sur leurs pratiques, les enrichir progressivement en ouvrant des possibles ; permettre aux divers participants de fonder leurs choix : des apports disciplinaires avec prise de recul par rapport au savoir enseigné ; des ressources officielles ; le recours à des supports variés, aux TICE, à l’histoire des mathématiques et à des éclairages didactiques.

Cinq chapitres, d’importance inégale, organisés autour d’une action de formation constituent l’ouvrage ; ils peuvent tout à fait être lus de façon indépendante.

Le premier chapitre, signé Bernard Parzysz (que l’on ne présente plus), propose un panorama des probabilités dans l’enseignement secondaire avec des développements conséquents sur les arbres, le conditionnement, la loi binomiale, la problématique des intervalles de fluctuation et de confiance.

Un résumé historique permet de mettre en évidence des difficultés épistémologiques et ce chapitre se termine par une partie très pertinente sur la simulation et l’indispensable modélisation préalable, son intérêt, ses dangers et la complexité pour les élèves.

Le deuxième chapitre, signé Laurent Vivier, propose un panorama des études didactiques sur les probabilités et (plus modestement) sur la statistique. On y trouve d’abord décrits en détails les biais (conceptions erronées) mis en évidence par la recherche en didactique ; vient ensuite l’étude d’un certain nombre de situations d’apprentissage classiques : la bouteille de Brousseau, croix ou pile, la ruine du joueur. Un bref paragraphe sur les statistiques inférentielles (curieux pluriel) clôt ce chapitre.
La conclusion met l’accent sur le problème crucial de la formation des enseignants en insistant sur le fait que seul un enseignement exploratoire (à la place d’un enseignement transmissif) peut leur permettre de faire évoluer leurs conceptions et de relever les enjeux de l’enseignement de la statistique.

Le troisième chapitre, signé Jacqueline Mac Aleese, a pour objectif de palier le déficit de formation initiale des stagiaires en explicitant les concepts mathématiques sous-jacents aux programmes de lycée.
Passer en revue les bases de la théorie des probabilités, le concept de variable aléatoire, les théorèmes de convergence (loi faible des grands nombres et théorème de la limite centrée), et les concepts de la statistique inférentielle utiles pour le lycée en moins de 60 pages est une gageure dont l’auteure se sort plutôt bien. Si la partie probabilités est très concise et renvoie à la bibliographie pour approfondissement, on y trouve des développements bienvenus sur l’espérance et les lois à densité. La partie statistique est, quant à elle, fort bien détaillée : intervalles de fluctuation et intervalles de confiance, tests d’aide à la décision avec risque de première et seconde espèce, tests d’adéquation et tests du \(\chi^2\). Des exemples abondamment décrits — pièce de monnaie, le graphologue, bouteille de Brousseau — viennent illustrer le propos.

Le quatrième chapitre, signé Brigitte Sotura, décrit le scénario d’un stage de l’IREM Paris-Diderot organisé depuis 2009 et constitue le cœur du livre. La description du programme de stage parle d’elle-même avec une mise en situation des stagiaires avec l’activité Aamjiwnaag décrite par l’auteure dans le Bulletin Vert 502, activité déclinée aux trois niveaux du lycée ; des apports théoriques sur les lois à densité avec analyse critique de manuels ; comment les introduire en classe ; apports théoriques sur le lien entre la fréquence observée sur un échantillon et la proportion dans la population ; analyse de manuels autour de la loi normale.

Deux points particulièrement intéressants sont à signaler : l’idée d’introduire la notion de densité à partir de celle de densité de fréquence mais en utilisant des histogrammes à classes d’amplitude inégale (idée que l’on trouve par exemple dans le manuel Symbole chez Belin) et l’utilisation d’abaques (chères à Jean-Pierre Raoult) pour mettre en évidence la dualité entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance.

La dernière partie du chapitre porte sur les situations proposées aux stagiaires — sur le thème de la recherche de seuils — pour les inciter à prendre l’initiative de la modélisation et du mode de résolution.

Le cinquième et dernier chapitre, cosigné Marie-Hélène Le Haouanq et Florian Paulou, décrit une action de formation continue portant sur l’intérêt d’expérimenter et de simuler au collège.

La bibliographie est raisonnablement abondante, une bonne partie étant accessible sur la toile ; tout au plus peut-on regretter de ne pas y voir figurer la belle publication de nos collègues de Bordeaux : l’esprit des lois continues recensée dans le Bulletin Vert 456 .

Petit bémol : devoir subir l’horrible typographie mathématique Word alors que Donald Knuth a offert à la communauté le nec plus ultra en la matière. Et quelques coquilles parsèment le texte.

En conclusion, c’est un ouvrage très intéressant, qui tient l’ambition annoncée dans le préambule, et qui devrait intéresser tous ceux qui se préoccupent des délicats problèmes d’enseignement des probabilités et de la statistique, formateurs, enseignants mais aussi nos jeunes futurs collègues des ÉSPÉ dans les bibliothèques desquelles il faut espérer l’y trouver.

François Boucher

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Passerelles
Enseigner les mathématiques par leur histoire au cycle 3
Commission Inter-IREM, ARPEME, 2017

La commission inter-IREM « Épistémologie et histoire des mathématiques » signe là un ouvrage qui devrait faire référence dans les bibliothèques personnelles des enseignants mais aussi celles des formateurs et de tous les établissements de formation dans l’enseignement des mathématiques, les ÉSPÉ n’étant pas des moindres.

« Pourquoi » avoir recours à l’histoire dans la classe de mathématiques et « comment » ? Telles sont les questions privilégiées par cette commission dans l’écriture de cet ouvrage. De plus, les activités proposées sont facilement transférables à la classe ou en formation pour tous les lecteurs, spécialistes ou non de l’histoire des mathématiques. Aucune connaissance préalable n’est nécessaire.

Et c’est bien là l’immense intérêt de cet ouvrage dont l’ensemble des documents est disponible sur une page internet dédiée ou site compagnon avec les fiches-élèves, les principales illustrations, des présentations directement utilisables en classe, des liens hypertextes vers des articles ou ouvrages utilisés, des tutoriels ou autres vidéos.

Chacun des neuf chapitres est organisé selon la structure suivante :

• deux tableaux synthétiques (en une page) des notions de programmes abordées et des compétences développées,

• une courte introduction,

• un contexte historique donnant les éléments nécessaires et suffisants pour prendre en charge les activités proposées,

• des aspects scientifiques et pédagogiques en jeu dans les activités proposées,

• de la mise en œuvre dans la classe avec analyse de travaux d’élèves,

• des pistes pour aller plus loin,

• des éléments de bibliographie et sitographie,

• des annexes pour une utilisation en classe ou en formation.

L’ouvrage répond aussi à une demande institutionnelle à laquelle les auteurs souscrivent pleinement : lier l’enseignement des mathématiques à leur histoire et à l’Histoire. De nombreuses références sont citées et figurent dans l’ouvrage.

Cet ouvrage est donc un outil précieux en direction des professeurs des écoles, pour qui les mathématiques ne représentent qu’une des nombreuses matières à enseigner, mais aussi en direction des professeurs du collège, spécialistes de leur seule discipline et soucieux d’élaborer des projets interdisciplinaires, en particulier dans le cadre des EPI (Enseignements Pratiques Interdisciplinaires).

« L’interdisciplinarité est omniprésente dans notre travail ainsi que de nombreuses compétences transversales ; ce sont même certains de ses ferments. Bien sûr, étant donné son premier objectif, le lien privilégié entre les mathématiques et l’histoire est fortement développé dans tous les chapitres. Mais, cela ne s’arrête pas à ce seul couple, déjà fécond. En effet, le français, la géographie, l’histoire des arts ou encore la technologie sont aussi des disciplines bien représentées. »

Les trois grands domaines du programme du cycle 3 sont abordés :

• Nombres et calculs

  • Voyage en numération maya

  • De l’abaque à jetons au calcul posé

  • La numérisation du calcul

  • Les rapports de nombres : une autre approche des fractions

• Grandeurs et mesures

  • Doubler le carré avec Platon

  • 1793, la révolution du temps

  • Et si nous mesurions la cour de l’école ? Expériences d’arpentage

• Espace et géométrie

  • La géométrie des carnets de Léonard de Vinci

  • Se protéger grâce aux mathématiques : la géométrie des fortifications

Cet ouvrage m’a enthousiasmée dès que j’en ai pris connaissance et tous les enseignants de mathématiques en tireront profit, même sans formation spécifique. En effet, les activités présentées sont quasiment « clé en main », à l’image des brochures « JEUX » de l’APMEP . Elles ont été certes expérimentées dans des classes du cycle 3 mais, outre que le cycle 3 contient le niveau 6ème, certaines d’entre elles ont tout à fait leur place en 5ème, voire… jusqu’en seconde en les adaptant !

Que nos collègues de collège et de lycée s’emparent donc de cette brochure, ils ne le regretteront pas !

Nicole Toussaint

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