Matériaux pour une
documentation

L’Arithmétique de Pamiers
Traité mathématique en langue d’oc du XVe siècle,
Jacques Sesiano,
Presses polytechniques et universitaires romandes,
Lausanne, 2018.

Alain Juhel

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380 pages. Prix : 45 €
ISBN 978-2-88915-242-1.

Ce manuscrit écrit vers 1430 est enfin édité, dans une traduction et avec des commentaires de Jacques Sesiano, professeur d’histoire des mathématiques à Lausanne.1

Bien qu’il fasse partie des nombreux « algorithmes » — ces traités inspirés d’un traité perdu d’Al Khwarizmi sur le calcul indien — dont l’objectif est d’enseigner les calculs élémentaires et leur utilisation dans des situations « commerciales », il présente un grand intérêt dans l’histoire des mathématiques. Comme le précise l’introduction, il semble que ce texte soit « le premier ouvrage mathématique où soit reconnu un nombre négatif comme solution d’un problème ». Les problèmes de ce type se ramènent pour nous à des systèmes indéterminés d’équations linéaires, et l’auteur nous offre à ce propos un bref historique de l’apparition des nombres négatifs et de ce type de systèmes depuis Diophante. « En outre, une élégante construction d’approximations rationnelles pour les racines d’entiers amène l’auteur à se poser la question de la comparaison de deux ensembles infinis dont les quantités respectives d’éléments semblent différer ».

Ce traité est composé de trois grandes parties :

  • Opérations sur les entiers : numération, addition, soustraction, multiplication, progressions, division, preuves, extraction de racines carrées et cubiques ;

  • Opérations sur les fractions : définition, réduction au même dénominateur, addition, soustraction, multiplication, division, preuves, extraction de racines carrées et cubiques ;

  • Règles générales et exemples : règle de trois, monnaies (conversions, alliages), mesures de draperie, des poids, règle de compagnie 2, règle de trois composée, fausse position simple, puis double, règle d’augmentation et de diminution, règle de troc.

Notons que, pour ceux qui s’intéressent à l’occitan et au vocabulaire mathématique, cet ouvrage fournit un riche glossaire (pp. 343-373).

En sus de son intérêt historique et culturel, propice à l’interdisciplinarité, ce texte peut être utilisé en classe, éventuellement en relation avec d’autres textes anciens présentant diverses méthodes arithmétiques ou algébriques pour résoudre des problèmes « concrets ». L’enseignant peut jouer sur la variété des contextes et des approches possibles : écriture d’un algorithme s’inspirant de la résolution arithmétique, mise en équation et résolution algébrique, généralisation3.

Anne Michel-Pajus

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Clin d’oeil

L’arithmétique de Pamiers, mais pas d’Ivry (photo prise par l’auteure au magasin Carrefour d’Ivry le 7 juin 2018).

  1. On pourra consulter une autre transcription en ligne (2016) .

  2. Cette règle indique comment répartir les bénéfices entre associés commerciaux. Elle permet en particulier de contourner l’interdiction religieuse de rémunérer les apports monétaires.

  3. cf. par exemple : Michel-Pajus Anne, Résolutions arithmétiques et algébriques de problèmes anciens, Bulletin de l’APMEP. 511. pp. 577-596, 2014, .

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