Matériaux pour une documentation N° 537

Mathématiques récréatives

EDP Sciences / UGA Éditions, 2019

Le théorème du parapluie

Mickaël Launay, Flammarion, 2019

Circulation : mathématiques, histoire, enseignement

Presses Universitaires de Limoges, 2019

© APMEP Septembre 2020

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Mathématiques récréatives.
Éclairages historiques et épistémologiques.

Sous la direction de Nathalie Chevalarias, Michèle Gandit, Marcel Moralès et Dominique Tournès,

EDP Sciences / UGA Éditions
Collection : Enseigner les sciences

isbn 978-2-7598-2318-5, 256 pages, 25 €.

UGA Éditions, qui est la maison d’édition pluridisciplinaire de l’Université Grenoble Alpes, a créé récemment une nouvelle collection qui s’adresse aux enseignants, aux formateurs et, plus généralement, à toute personne intéressée par les mathématiques, les sciences, les techniques, l’éducation ou la formation scientifique. Cette nouvelle collection s’appelle « Enseigner les sciences ». La naissance dans l’édition d’une collection de ce genre est un événement suffisamment rare pour qu’on le salue !

Le premier ouvrage de la collection a été publié en janvier 2019 sous le titre Mathématiques récréatives. Éclairages historiques et épistémologiques. Il s’agit d’un ouvrage collectif de 256 pages dont les auteurs, au nombre de seize, sont tous des spécialistes de la formation en mathématiques et de l’histoire des sciences. Tous appartiennent à la commission Épistémologie et histoire des mathématiques du réseau IREM.

L’ouvrage propose aux enseignants de mathématiques du second degré et de l’université des ressources (énigmes, jeux, etc.) inspirées de l’histoire pour mettre en place des situations d’apprentissage ludiques adaptées à leur classe. Il est organisé en quatre parties, soit dix chapitres, « qui adoptent successivement quatre angles de vue autour du thème conducteur des mathématiques récréatives ». Chacune des quatre parties du livre est composée de deux ou trois études et se termine par des références bibliographiques et par une « page pratique » destinée plus particulièrement à l’enseignant ou au formateur.

La première partie aborde la place des jeux dans la société en examinant la diffusion dans l’espace et dans le temps du jeu des 15 croyants et des 15 infidèles. Apparu en Europe au Moyen-Âge mais inspiré d’un très ancien problème rapporté par Flavius Josèphe, ce casse-tête consiste à placer 15 chrétiens et 15 turcs sur un cercle pour éliminer un à un tous les Turcs en les comptant de 9 en 9 et éliminer chaque neuvième. Naturellement, pour ôter son caractère violent et raciste à ce jeu, on le proposera avec des pions de couleur !

La deuxième partie nous fait découvrir les récréations mathématiques proposées au XVII^e siècle par Didier Henrion (15 ? ?–vers 1640), puis par Auguste Delannoy (1833–1915) et par Charles-Ange Laisant (1841–1920). L’auteur du chapitre sur Henrion s’intéresse particulièrement à un problème de poursuite — un chien court après un lapin — et à une configuration géométrique qui concerne des cercles tangents deux à deux. Au XIX^e siècle, le polytechnicien et militaire de carrière Delannoy a beaucoup travaillé en collaboration avec Édouard Lucas (1842–1891), l’auteur des Tours de Hanoï, un casse-tête resté célèbre. De nombreuses études concernent les déplacements de pièces sur un échiquier ou sur un damier ou sur d’autre support. Peut-on placer, par exemple, huit reines sur un échiquier de telle façon qu’aucune ne puisse en prendre une autre ? Ou encore, quelle est la solution du jeu du Solitaire ?

Lui aussi polytechnicien puis militaire, Laisant s’est intéressé aux carrés magiques ainsi qu’à la possibilité de trouver des circuits hamiltoniens sur des réseaux de lignes. On peut noter qu’en 1906, il a présenté le célèbre paradoxe de Lewis Caroll, « \(64=65\) ». Ce paradoxe illustre parfaitement le propos des auteurs pour qui les récréations et les jeux mathématiques peuvent déboucher sur une authentique réflexion mathématique.

Bien qu’ils semblent avoir été formés par les mêmes pièces exactement, le carré et le rectangle ont des aires qui diffèrent de un carreau. Pour résoudre le paradoxe, on peut faire appel à la trigonométrie ou au théorème de Thalès ou encore aux équations de droites. Chose intéressante, on peut généraliser le problème si on connaît la suite de Fibonacci !

La troisième partie contient trois chapitres. Le chapitre 6 décrit un jeu appelé « rithmomachie » qui est né au XI^e siècle. Le jeu oppose deux adversaires qui déplacent sur un plateau de jeu, et selon des règles assez compliquées, des pièces qui portent des numéros. Le chapitre 7 approfondit l’étude des carrés magiques ainsi que les algorithmes qui ont été utilisés pour les construire par Bachet de Méziriac, Bernard Frénicle de Bessy et Édouard Lucas. Les travaux de Mikhail Frolow et de Lucas sur la combinatoire des carrés magiques d’ordre 4 sont expliqués.

Dans la dernière partie, le chapitre 9 propose des petits problèmes qu’on attribue à Alcuin (735–804) qui fut l’un des conseillers de Charlemagne pour l’éducation. Cette étude historique se termine par une analyse didactique d’expérimentations réalisées avec les élèves. Le chapitre 10 porte sur quelques récréations du Liber abacci de Fibonacci et se termine par une analyse didactique du problème du verger.

Pour mieux comprendre les relations qui doivent exister entre le jeu mathématique et l’apprentissage de la discipline, étudions en particulier le problème d’Alcuin qui porte le numéro 18.

Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d’un fleuve ; un passeur doit les transporter sur l’autre rive mais, sa barque étant trop petite, il ne peut transporter qu’un seul d’entre eux à la fois. Comment doit-il procéder afin de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loup et la chèvre, ainsi que la chèvre et le chou ?

Pour résoudre ce « casse-tête », les élèves procèdent par tâtonnements mais cette démarche se heurte vite à la difficulté de noter les résultats qui sont explorés mais surtout au fait qu’aucune méthode de résolution connue ne semble être utilisable !

Quelle notation peut-on trouver ? On peut représenter¹ le passeur par la lettre \(\mathsf{P}\), le loup par la lettre \(\mathsf{L}\), la chèvre par la lettre \(\mathsf{C}\), le chou par la lettre \(\mathsf{X}\). La notation \(\mathsf{(PCX,L)}\) signifie alors que le passeur est sur la rive \(\mathscr{A}\) avec la chèvre et le chou (qui sont donc sous surveillance) alors que le loup est sur l’autre rive. La notation \(\mathsf{(XL,PC)}\) signifie que le chou et le loup sont sur la rive \(\mathscr{A}\) tandis que le passeur et la chèvre sont sur la rive \(\mathscr{B}\). Une fois éliminées certaines situations comme \(\mathsf{(PL,CX)}\), \(\mathsf{(CX,PL)}\), \(\mathsf{(LC,PX)}\) ou \(\mathsf{(PX,LC)}\), qui seraient désastreuses pour le chou ou pour la chèvre, il ne reste plus que dix situations à examiner². Le problème peut maintenant être modélisé par un graphe dont les sommets correspondent à des positions possibles pour \(\mathsf{P}\), \(\mathsf{X}\), \(\mathsf{C}\) et \(\mathsf{L}\). Une arête relie deux sommets lorsque le passeur \(\mathsf{P}\) peut aller d’une rive à l’autre. Par exemple, en transportant la chèvre, le passeur passe du sommet \(\mathsf{(PCX,L)}\) au sommet \(\mathsf{(X,PCL)}\). Chaque arête du graphe ne relie donc qu’un sommet où le passeur est sur une rive à un autre où il est sur la rive opposée.

Une fois le graphe dessiné, on peut constater qu’il existe un chemin qui va de la situation initiale \(\mathsf{(PCXL,-)}\) à la situation finale \(\mathsf{(-,PCXL)}\). La solution du casse-tête a permis de découvrir l’intérêt des graphes pour résoudre certaines questions.

En conclusion, voici un livre remarquable qui va utilement contribuer à la formation des enseignants. Il est d’une lecture aisée tant son écriture et sa présentation sont soignées. L’intérêt de sa lecture se double du plaisir de découvrir son immense intérêt pédagogique. Il peut être utilisé aussi bien au collège qu’au lycée. C’est un livre indispensable à la bibliothèque du professeur de mathématiques !

Michel Rousselet

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Le théorème du parapluie
ou l’art d’observer le monde dans le bon sens.

Mickaël Launay

Flammarion

978-2-0814-2752-5, 295 pages, 20 €.

Pas de suspens, ce livre est, à mon goût, un excellent ouvrage de vulgarisation ! Mickaël Launay fait passer au fil des cinq chapitres de nombreuses idées scientifiques simples et profondes. Le style est alerte et rend l’ouvrage facile à lire. Le livre comporte cinq parties, globalement indépendantes les unes des autres. Chacune d’elles contient cinq à six sous-parties permettant une respiration. Si chacune des parties peut être lue dans un ordre quelconque, l’auteur n’hésite cependant pas à faire écho ponctuellement aux parties précédentes pour renforcer son propos.

Mais au fait que trouve-t-on dans ce « Théorème du parapluie » ? La partie I (La loi des supermarchés) nous plonge dans le monde du logarithme en y entrant par la loi de Benford qui régit la répartition des premiers chiffres des nombres que l’on peut voir un peu partout. Quelques détours historico-mathématiques plus loin et nous voilà aux côtés de John Napier. Évidemment un prof de maths pourra être un peu frustré devant le choix de l’auteur de ne présenter aucun calcul. Mais n’est-ce pas le principe d’un livre de vulgarisation ? Un élève motivé y trouvera, quant à lui, sûrement de quoi le faire rêver et éveiller sa curiosité. La partie II (Des pommes et des lunes) aborde la question de la gravitation au fil de détours tout à fait intéressants. La partie III (Les méandres de l’infini) relie l’infini et les questions de dimension en passant par les fractales. La partie IV (L’art du flou) évoque l’axiomatisation des mathématiques et le postulat d’Euclide sur les parallèles. Enfin la dernière partie (Les abysses de l’espace et du temps) convoque Einstein et ses théories de la relativité. Pour terminer, un appendice « Pour aller plus loin » propose des conseils de lecture.

Bref une saine lecture à laquelle s’ajoutent les superbes illustrations en noir et blanc de Chloé Bouchaour qui renforcent formidablement bien le texte.

Et au fait, pourquoi ce titre ? Rendez-vous au chapitre 2 pour le savoir !

Vincent Beck

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Circulation :
mathématiques, histoire, enseignement

Coordination éditoriale de Jérôme Auvinet, Guillaume Moussard, Xavier Saint Raymond

Presses Universitaires de Limoges, collection Savoirs scientifiques & ; Pratiques d’enseignement

978-2-8428-7725-5, 262 pages, 23 €.

Cet ouvrage collectif est issu des journées scientifiques en l’honneur d’Évelyne Barbin, professeure émérite d’histoire des mathématiques (université de Nantes). Considérer le savoir mathématique d’une manière dynamique, du point de vue de sa circulation, voilà l’ambition de cet ouvrage : circulation d’un texte mathématique dans l’histoire, entre les lieux et les époques, circulation d’une théorie mathématique entre diverses communautés, de savants ou de praticiens, circulation également entre d’une part les textes qui forgent l’histoire des mathématiques et d’autre part l’enseignement de cette discipline.

La diversité d’horizon des auteurs, reflet des liens féconds qu’a su créer Évelyne Barbin entre les personnes et les institutions au fil de sa carrière, nous conduit à des objets scientifiques très variés : l’intégrale chez Lebesgue, Radon, Perron ; la tentative de synthèse entre les géométries descriptive et projective chez Wilhelm Fiedler ; la gravure des figures géométriques au XIX^e siècle ; les méthodes graphométriques de la balistique ; la métrologie historique et ses prolongements ; la cristallographie et la théorie des groupes ; le « style » géométrique cartésien et le dialogisme historique (une approche bakhtinienne des textes d’histoire des sciences) ; le calcul des probabilités et le rôle des enseignants dans son développement ; les mathématiques arabes et leur appropriation par l’Europe médiévale ; la quadrature du cercle et le théorème de Fermat, sources de conflit entre amateurs et professionnels.

En épilogue, le dernier chapitre expose une synthèse théorique démontrant comment les travaux d’Évelyne Barbin amènent toutes les personnes qui s’intéressent aux mathématiques, à leur enseignement et leur histoire à repenser leurs interrelations dans un esprit d’ouverture et de dépaysement.

En conclusion, la diversité du contenu, tant dans les domaines des mathématiques que dans les niveaux abordés, rédigés en anglais ou en français selon les auteurs, font que cet ouvrage offre des niveaux de lecture très variés. Bien que n’offrant pas de situations à exploiter directement en classe, il est source de réflexion pédagogique et devrait trouver sa place dans les bibliothèques des laboratoires de maths des établissements du secondaire ou du supérieur, notamment au sein des INSPE.

Hombeline Languereau

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