Vous avez dit SUITES…
Sur le remarquable site du CNRS « Images des Mathématiques la recherche mathématique en mots et en images », la tribune DÉMARRAGE TROMPEUR fait rebondir Mireille Genin qui nous conte une recherche originale d’un de ses élèves sur la suite présentée…
Mireille Génin
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© APMEP Mars 2023
Voici des extraits de cette tribune du 1er mars 2022 écrite par Patrick Popescu-Pampu 
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Quel est le terme suivant de la suite 2, 4, 8, 16 ? Vous croyez savoir ? Pas si vite… Dessinons un cercle et prenons deux points dessus, puis traçons la corde qui les relie :
En combien de régions cette corde divise-t-elle le cercle ? En 2 régions, évidemment. Prenons maintenant 3 points sur un cercle, et traçons toutes les cordes qui les joignent :
En combien de régions le cercle se trouve-t-il subdivisé par ces cordes ? Ce n’est pas bien dur de les compter : il y en a 4. Prenons ensuite 4 points… Cette fois on obtient 8 régions :
Et si on prenait 5 points ? On a une suite qui démarre par 2, 4, 8, il y a fort à parier que le terme suivant est 16… Eh oui, il y en a bien 16… Bon, alors, si on a \(n\) points sur le cercle et qu’on les relie de toutes les manières possibles, on donnera probablement naissance à \(2^{n-1}\) régions, et cela doit sûrement se prouver par récurrence, sans trop de difficulté… En tout cas, c’est la réaction qu’ont eue les collègues mathématiciens à qui j’ai montré la suite de figures précédente. Ils n’étaient pas bien intéressés… Attendez, leur répondis-je, et comptez les régions lorsqu’on prend 6 points sur le cercle… … 32 ? Eh non, il y en a bien seulement 31. |
L’auteur présente ensuite sa source pour ce problème : « Le livre des nombres » de John H. Conway et Richard K. Guy, puis le théorème donnant le nombre de régions cherché ici et termine son article par :
| Êtes-vous d’accord avec moi que cela ferait un joli thème de réflexion dans un club mathématique de lycéens ? |
Ce problème est effectivement un joli thème de réflexion dans un club de maths (ou atelier) en lycée : les élèves (et les profs) y disposent de temps pour chercher, pour mettre en place des méthodes et laisser libre cours à des initiatives. Ils utilisent parfois des méthodes qui ne nous seraient pas venues à l’idée en classe, ou que l’on aurait rejetées a priori.
Je me souviens que Julien, élève de Terminale, très actif en atelier, s’était obstiné sur ce nombre de régions, 2, 4, 8, 16 puis 31 ! Ayant refait plusieurs fois le dessin du cercle et des régions dans le cas où il n’y a pas 32 régions mais seulement 31, il cherchait à obtenir « expérimentalement » une formule pour la démontrer ensuite par récurrence.
Voici la méthode de Julien :
Connaissant les 5 premiers termes de la suite, il place les points de coordonnées \((n ; u_n)\) dans un repère et observe le graphique obtenu. Pourrait-on trouver une courbe « intéressante » passant par ces 5 points ?
Sa première idée ? Une parabole. Il écrit d’abord \(y = ax^2 + bx + c\) mais voit vite qu’il n’y pas de solution respectant les données.
Au vu de la forme de la courbe qu’il trouve « plate » au démarrage, il décide d’augmenter le degré du polynôme. Il évite le degré 3 car « la courbe ne ressemble pas à la représentation d’une fonction cubique » et teste le degré 4. Il écrit \(y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) et reporte cinq fois les couples \((n ; u_n)\) connus, pour obtenir un système d’équations où les inconnues sont les coefficients du polynôme.
Comme sa calculatrice propose la résolution de systèmes linéaires à 5 inconnues, il précise : « Il n’y plus qu’à la faire mouliner pour trouver les coefficients du polynôme ». Et ça marche ! Il teste même que la formule obtenue fonctionne pour les deux termes suivants.
La démonstration par récurrence ne sera pas ensuite très facile mais la méthode de Julien pour établir une conjecture m’a parue originale et intéressante. Elle peut être reproduite dans un grand nombre de situations pour établir une conjecture sur l’écriture du terme général d’une suite avant la démonstration par récurrence.
Par exemple pour la somme des carrés (polynôme de degré 3), la somme des carrés des premiers entiers pairs, impairs, la somme des cubes (degré 4)…
Julien a su faire le lien entre des outils mathématiques qui sont parfois « rangés » dans des « boîtes » et cloisonnés dans les programmes. L’autonomie laissée aux clubs et ateliers permet très souvent de sortir » des sentiers battus, de décloisonner les outils…et de développer les prises d’initiatives et le plaisir de chercher.
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Mireille Génin, enseignante de mathématiques retraitée, reste active au sein de la régionale de Nantes de l’APMEP et fait partie de l’équipe d’Au fil des maths.
Une réflexion sur « Vous avez dit SUITES… »
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