Haricots en suite…

La situation que nous présente Sébastien Corneau a été construite dans l’optique d’introduire les suites au lycée, en confrontant les élèves à la complexité de codage et décodage de leur expression. Récit d’une séance de classe, avec au menu : manipulation, verbalisation… et des patterns !

Sébastien Corneau

© APMEP Mars 2023
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Première séance de l’année sur les suites

À travers cette séance, j’ai avant tout voulu construire une situation qui confronte rapidement les élèves de Première spécialité mathématiques, comme ceux de Première STMG, à la complexité du codage et du décodage des expressions liées aux suites, tout en m’appuyant sur un « pattern¹ manipulatoire ».

Avant l’entrée des élèves dans la salle

L’arrivée des élèves

Chaque élève rejoint son îlot. S’ensuit une phase de découverte du matériel et de la question, tout cela en autonomie. Personnellement, je me contente de gérer l’accueil des élèves et d’observer leurs réactions. Autour de moi, j’entends : « C’est quoi tout ce bazar ? », « C’est quoi ce truc ? », « On peut commencer Monsieur ? », « Il faut faire quoi ? ». Et je vois aussi des élèves qui bavardent tout en s’amusant avec les haricots. Puis, petit à petit et sans que je n’intervienne, le calme s’installe et je constate que l’ensemble des groupes commence à déposer des haricots dans les assiettes…

Premier questionnement

C’est l’instant que je choisis pour placer mon premier temps de concertation. Je demande alors à l’un des élèves ayant produit la suite de haricots ci-dessus de venir au tableau pour présenter la démarche de son groupe. Pour faciliter les échanges, je projette une photo des assiettes du groupe et de la justification proposée.

Afin de confronter son point de vue à celui des autres, s’ensuit une courte présentation des réponses apportées par trois autres groupes : le prétexte idéal pour faire verbaliser la problématique du « saut de rang » et faire apparaître les différents modes de rédaction utilisés par les élèves, sans pour autant émettre un jugement sur ceux-ci.

Au fur et à mesure des présentations, la classe se met d’accord sur le fait qu’il faut « imaginer » qu’il y a des assiettes qui ne sont pas là mais qu’il faut les prendre en compte. Au final, cette première question a donc engendré une réflexion sur les notations de type « \(\mathsf{A}_{n}\) » et sur le codage et décodage du rang.

Deuxième questionnement

La recherche de la « régularité » pose plus de difficultés : un groupe n’a d’ailleurs pas réussi à identifier une procédure de « remplissage » des assiettes. Ci-dessous quelques productions :

À travers la verbalisation des autres groupes, on voit bien que l’utilisation du codage « \(\mathsf{A}_{n}\) » soulève un certain nombre de problèmes en lien avec la différenciation de la notion de terme et de rang. Pour permettre à chacun de progresser dans la compréhension des notations, je demande donc à un élève de venir nous expliquer ce que représente pour lui \(\mathsf{A}_{4}\). À partir de son explication, la classe produit collectivement le schéma ci-dessous :

Lors de cette étape, je ne cherche toujours pas à valider ou invalider les expressions proposées : je me contente de faire émerger un mode de communication en lien avec les \(\mathsf{A}_{0}\), \(\mathsf{A}_{1}\), \(\mathsf{A}_{2}\)… que j’avais moi-même écrits sur les assiettes.

Troisième questionnement

Les élèves sont fortement déstabilisés par cette question (c’était d’ailleurs mon but…). Le fait d’être en groupes permet néanmoins aux plus fragiles d’envisager une démarche pour compléter les assiettes. Plus des deux tiers des groupes fait le lien entre cette expression et l’équation \(x+1=2x-1\) où \(\mathsf{A}_{n}\) joue le rôle de l’inconnue. Ils se lancent alors dans des résolutions qui finissent généralement par \(\mathsf{A}_{n}=2\). Pour les plus convaincus, deux haricots sont placés dans chacune des assiettes vides. En m’approchant de l’un des groupes, j’entends une élève dire que « cela ne fonctionne pas, car il y a trois haricots dans la première assiette, donc ce n’est pas logique ». En passant dans les différents groupes, je constate que la présence de ces trois haricots a « grippé » la jolie mécanique de l’équation. Globalement, c’est l’impasse pour eux. En prêtant l’oreille, j’identifie un groupe qui, sous l’influence d’un élève, a décodé le \(\mathsf{A}_{n+1}\) comme étant « l’assiette d’après ». Cependant, le groupe n’arrive pas à aller plus loin car il bloque lui aussi sur ce statut du signe « égal ». Effectivement, le statut du signe « égal » doit être identifié comme celui de l’affectation, ce qui est loin d’être évident pour les élèves car ce statut est assez peu mobilisé hors du champ algorithmique. À ce moment de l’activité, il me semble essentiel que la problématique de l’équation soit abordée devant la classe. Je donne donc la parole au groupe qui a produit la chose ci-dessous :

Après avoir expliqué la résolution de ladite équation au tableau, l’élève indique: « On n’est pas trop sûr car il y a trois haricots au départ ». Je m’approche du tableau, j’écris l’équation \[x+1=2x-1\] et demande à l’élève : « C’est bien cette équation que tu voulais résoudre ? ». Il hésite mais finit par confirmer. Je me tourne vers la classe et demande qui a effectivement cherché à résoudre une équation. De nombreuses mains se lèvent. Je me tourne alors vers l’élève qui a identifié « l’assiette d’après » et lui demande de venir nous expliquer comment son groupe a interprété \(\mathsf{A}_{n+1}=2 \times \mathsf{A}_{n}+1\). Il commence par faire référence à la taille du « \(+1\) » : « C’est un petit \(+1\) en bas. Pour nous, cela veut dire qu’on avance d’une assiette ». Je lui demande alors ce que voulait dire \(\mathsf{A}_{n}-1\). Il hésite. Un élève de son groupe répond « C’est l’assiette d’avant ». Je fais remarquer que c’est un « grand \(-1\) ». L’élève au tableau reprend la parole: « C’est moins un haricot ».

Je relance la recherche et très rapidement les assiettes se remplissent de nouveau. Je projette la proposition d’un groupe et fais verbaliser devant la classe la traduction de l’expression en faisant noter au tableau : « Le nombre de haricots de l’assiette d’après est égal au double du nombre de haricots de l’assiette en cours moins un ».

Pour finir

Les élèves traitent assez vite cette question. Plus de la moitié des groupes traduit ce codage par « Le nombre de haricots de l’assiette d’après est égal au double du nombre de haricots de l’assiette en cours moins un. » en décidant de partir de zéro haricot. Cependant, deux groupes réussissent à l’interpréter correctement. Je décide donc de projeter leur travail et de demander à un élève de venir expliquer leur démarche. Voici un extrait des échanges :

Élève

« On a fait comme pour une fonction et cela donne cela. »

Moi

« Pourquoi n’avez-vous pas fait comme pour la question n°3 ? »

Élève

« Il n’y a pas de \(+1\) et on n’utilise que le numéro de l’assiette pour calculer. »

Moi

« Pourquoi dis-tu qu’on n’utilise que le numéro de l’assiette ? »

Élève

« Il n’y a pas la lettre \(\mathsf{A}\) à droite du égal. »

La classe valide la réponse et comme la fin de l’heure est très proche, je projette la diapo ci-dessous pour synthétiser nos échanges.

Conclusion

La situation que je viens de vous présenter est loin d’être révolutionnaire en tant que telle, mais elle a le mérite d’avoir initié une dynamique d’apprentissage chez mes élèves !

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Sébastien Corneau est professeur de mathématiques et de NSI (Numérique et sciences informatiques), ainsi que formateur dans l’académie d’Orléans-Tours.