Enseignement Scientifique de la classe de Première
et mathématiques

En réponse à l’article de Thomas Hausberger, « Les mathématiques dans l’enseignement scientifique de Première et Terminale : un véritable enjeu », Remi Belloeil propose une analyse détaillée du programme de Première. Il montre que ce programme s’appuie sur des notions mathématiques mais ne permet pas de les traiter ni par les limites qu’il impose, ni par le temps d’étude prévu. Pourtant, selon lui, ces mêmes notions permettraient des ouvertures vers d’autres situations issues d’autres contextes ou de disciplines non scientifiques.
Sa crainte est alors que « les maths demeurent des boîtes noires » dont la compréhension est réservée à une élite.
Son analyse se termine par une proposition de programme qui nécessiterait au moins 1 heure hebdomadaire et un programme explicite.

Rémi Belloeil

© APMEP Mai 2019

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Le programme de cet enseignement publié en janvier 2019, est essentiellement orienté vers des connaissances de Physique Chimie et de Sciences et Vie de la Terre. Même si un paragraphe rappelle l’importance des Mathématiques, l’étude systématique des notions Mathématiques concernées est à chaque fois exclue dans les Prérequis et limites du programme. Nous ne discutons pas ici du choix des thèmes scientifiques retenus mais de leur faisabilité sans complément mathématique et de l’intérêt d’un programme de Mathématiques pour tous.

Ainsi, les élèves sont amenés à utiliser des procédures qu’ils ne peuvent maîtriser (sauf certaines pour ceux qui suivent l’enseignement de spécialité de Mathématiques). Et de façon plus regrettable encore, aucun transfert des méthodes utilisées n’est possible puisqu’elles n’ont pas été étudiées pour elles-mêmes.

L’essentiel de ce programme tourne actuellement autour des phénomènes exponentiels, sans utiliser la notion de dérivée. Il serait possible de faire un programme de mathématiques adapté à cet enseignement et qui ouvre la réflexion vers d’autres disciplines.

Le programme et ses limites

1 – Une longue histoire de la matière

Dans le cas de la radioactivité, on peut lire la colonne savoir-faire :

et dans les prérequis et limites :

Si \(A\) est le nombre initial de noyaux, le nombre de noyaux au bout de \(n\) demi-vies est \(\dfrac{A}{2^n}\) ou \(0,5^nA\). C’est précisément la formule d’une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\cdotp\) La connaissance mathématique commence par reconnaître le phénomène, lui donner un nom et généraliser le passage d’une demi-vie ou le nombre est divisé par \(2\), à la répétition de cette division et sa traduction par une puissance, mais les limites de ce programme semblent interdire d’évoquer la notion de suites. Les élèves ont, en principe, vu les pourcentages d’évolution au collège, et les ont revus en seconde. Mais d’une part, ils ne feront probablement pas le lien avec cette situation comme diminution de 50 %, d’autre part, ils n’ont pas étudié le cas de répétition de la même évolution ce qui est précisément l’objet de l’étude des suites géométriques.

Pour « estimer la durée nécessaire pour obtenir une certaine proportion de noyaux restants » en restant dans le cadre du cas discret, on ne peut utiliser que des puissances entières de \(2\) ou de \(0,5\). L’élève ne pourra que donner un encadrement dont la largeur est une demi-vie. Par exemple pour le Carbone 14, cité dans le programme, la demi-vie est de 5 730 ans, environ. L’estimation sera donc à 2 865 ans près. Il faut noter aussi que passer de la quantité de Carbone à la proportion dans un échantillon est aussi une difficulté supplémentaire. Pour faire les calculs, l’élève peut aussi utiliser un tableur, mais cela nécessite une réflexion sur l’utilisation du tableur et sur la notion de référence relative qui n’est pas maîtrisée en seconde.

L’utilisation graphique pour estimer une demi-vie peut paraître aisée. Mais les connaissances mathématiques de l’élève de seconde se limitent à :

Il est exclu qu’il trace lui-même la courbe et il pourra raisonnablement penser qu’elle est celle de la fonction inverse. Cela conduit à la confusion entre « inversement proportionnel » et « exponentiel décroissant » et pourquoi pas entre « exponentiel » et « inversement proportionnel » ?

Proposition

Pour accompagner ce programme, il faudrait, au minimum, étudier les suites géométriques. Pour enrichir le tronc commun, cette étude doit être reliée à la répétition d’une évolution en pourcentage (augmentation ou diminution). Cela permet de parler de tous les phénomènes exponentiels (sans utiliser la notion de dérivée). En particulier, cela ouvre cette notion vers les situations d’intérêts composés, la démographie, la croissance des bactéries…
Pour aller plus loin, et pouvoir faire des estimation entre deux demi-vies, il faudrait définir la fonction exponentielle de base \(\frac{1}{2}\) ou plus largement de base a avec a > 0, au moins pour tracer la courbe et faire des calculs d’encadrement par des décimaux ou des nombres rationnels.

Dans le chapitre sur les cristaux, il est écrit :

Il s’agit là d’utiliser des connaissances du collège.
L’étude des cristaux utilise la représentation en perspective qui n’est pas étudiée en Seconde. Les connaissances de Géométrie dans l’espace remontent au collège. En théorie, elles ont pu être réactivées en Seconde, mais la densité de ce programme laisse peu de place pour le faire. Un travail spécifique sur la géométrie dans l’espace (dimension 3) et sa représentation en perspective cavalière, liée aux coordonnées dans un repère cartésien, serait possible même s’il n’est pas indispensable.

Concernant le thème de la cellule, la question de l’ordre de grandeur n’est pas citée dans le programme de Seconde. Même si on y trouve un travail sur les puissances et le nombre de chiffres significatifs, il y aura beaucoup à faire dans cette classe entre l’arithmétique, les intervalles et le calcul algébrique et il restera peu de temps pour s’intéresser à la question de l’ordre de grandeur.

2 – Le Soleil, notre source d’énergie

Pour le rayonnement solaire, la formule de Wein, utilise la fonction exponentielle ou une puissance rationnelle du nombre e inconnu des élèves, mais apparemment, il ne s’agit que d’utiliser la loi du déplacement de Wein qui ne fait intervenir que la fonction inverse. Les élèves utiliseront des formules du types \(E=mc^2\) ou \(\lambda=\dfrac{hc}{a}=\dfrac{bK}{T}\cdotp\) Cela concerne la résolution d’équations étudiées en Seconde mais aussi l’interprétation d’une formule en termes de fonctions pour laquelle la maîtrise des élèves est très légère. Et par ailleurs, il s’agit de lire un graphique, pratique qui doit être entretenue pour être maîtrisée.
L’étude de « la puissance radiative reçue du Soleil » met enjeu des aspects géométriques dans l’espace avec la notion de normale, de maximum lié à un angle et finalement d’une grandeur qui dépend de 3 paramètres. Les élèves sont peu armés pour assimiler cette notion car la géométrie dans l’espace de dimension 3 est absente du programme de la classe de seconde.
Le savoir-faire « Comparer des distributions temporelles de températures » mériterait d’être précisé s’agit-il d’observer les variations et les extrémums ou plutôt une démarche statistique  avec l’écart interquartile ou l’écart type ? C’est assurément une occasion de réinvestissement des connaissances mathématiques.
Le bilan radiatif terrestre s’intéresse à la proportion de la puissance totale émise par le Soleil et reçue par la Terre et à l’effet de l’atmosphère pour retenir une partie de ce rayonnement électromagnétique.
L’étude la photosynthèse et celle du bilan thermique du corps humain sont davantage l’occasion de recherche documentaire et de mise en forme de schéma que d’occasion d’utiliser des Mathématiques.

Un travail mathématique utile pourrait porter sur les expressions proportionnel, inversement proportionnel, inversement proportionnel au carré… en lien avec des formules et des graphiques, et pourrait revenir sur la notion de grandeur quotient.

3 – La Terre, un astre singulier

L’étude de la forme de la Terre est l’occasion de calculs sur les triangles et sur les grands cercles d’une sphère. L’utilisation de la formule des sinus sans sa démonstration comporte le risque que des élèves croient que la nécessité d’un angle droit était inutile dans les calculs de Troisième, de plus, le sinus d’un angle obtus n’est pas défini. La longueur d’un arc de cercle et le lien avec les angles, la compréhension du repérage sur la sphère terrestre, ont déjà fait l’objet de travail par les élèves et peut être approfondi. Un programme de Mathématique sur ces sujets pourrait conduire aux définitions du radian et des fonctions trigonométriques.

L’histoire de l’âge de la Terre est davantage l’occasion de recherche documentaire et de mise en forme de schéma que d’occasion d’utiliser des Mathématiques.
Par contre, la réflexion sur la position de la Terre dans l’Univers peut être l’occasion d’une réflexion sur la question du choix du repère et ce qu’apporte un changement de repère. La position et l’apparence de la Lune fournissent aussi l’occasion d’un travail sur les sphères, les tangentes et les positions relatives des objets.

4 – Son et musique, porteurs d’information

Dans le chapitre sur le son, phénomène vibratoire, il est écrit :

Mais il est bien précisé :

Il est aussi écrit :

et les élèves devront acquérir le savoir-faire :

Mais comment et pourquoi définir une échelle logarithmique ? Pour cela, il faudrait que les élèves connaissent au moins les suites géométriques. Mais on a déjà vu que cela n’était pas au programme pas plus que le logarithme décimal utilisé pour les décibels.

Dans le chapitre « La musique ou l’art de faire entendre les nombres », on trouve des calculs nouveaux pour les élèves.

Avec le commentaire :

Il y aurait là une vraie occasion de définir les puissances rationnelles et de travailler sur les suites géométriques, mais les calculs proposés ne vont s’appuyer sur aucun travail de mathématique : définir proprement la racine douzième, justifier son existence, expliquer la notation rationnelle, montrer sa cohérence avec les règles usuelles sur les puissances… rien de cela ne sera fait. Précisons que si la racine carrée a une touche sur la calculatrice, ce n’est pas le cas de la racine douzième qui nécessite une manipulation un peu plus compliquée.

Dans les préambules, on trouve le paragraphe :

La phrase que nous avons marquée en gras est tout à fait hypocrite puisqu’à chaque occasion d’utiliser des connaissances mathématiques, des restrictions empêchent d’introduire les notions mathématiques nécessaires (suites numériques et en particulier géométriques, racine \(n\)-ième, fonction exponentielles, logarithme décimal…), et par ailleurs, aucun temps n’est prévu pour revenir sur des notions antérieures qui pourraient ne pas être maîtrisées (puissances, taux d’évolution, géométrie dans l’espace…).

En résumé, les élèves utiliseront des notions, des techniques ou des formules mathématiques mais jamais ne prendront le temps de les revoir, les définir ou les étudier pour elles-mêmes.
Les savoir-faire vont s’apparenter à l’utilisation de formules magiques dont les élèves ignoreront la signification et la maîtrise risque d’être insuffisante pour les non scientifiques.

Proposition

Manifestement, il manque dans l’Enseignement Scientifique un thème Mathématique (et au moins 1 heure hebdomadaire pour le traiter) qui comporterait en lien avec les autres paragraphes :

Et éventuellement un travail sur la géométrie dans l’espace de dimension 3 :

Il serait aussi possible d’introduire les radians et les fonctions sin et cos. D’une part pour travailler sur la triangulation, d’autre part pour définir les fonctions sinusoïdales dont il est question dans le chapitre « La musique ou l’art de faire entendre les nombres ».

Les chapitres ci-dessus correspondent aux connaissances mathématiques qui semblent nécessaires pour comprendre le programme de l’Enseignement Scientifique tel qu’il est écrit actuellement. Mais on peut s’interroger sur sa pertinence. Il laisse apparemment peu de place à l’expérimentation, mais laissons ce débat aux professeurs de Sciences. Par contre, est-il judicieux de travailler sur la triangulation, alors que les élèves ont si peu de connaissances en Géométrie plane et notamment sur les triangles ? Est-il opportun d’introduire les fonctions exponentielles et trigonométriques avant d’avoir travaillé sur le trinôme ? La géométrie dans l’Espace mériterait-elle davantage de développement ? Faudrait-il développer des notions utiles aux futurs professeurs des écoles (numération) ou à tous (statistique) ? Ce programme permet-il de développer les compétences habituellement dédiées aux Mathématiques ? Ou faut-il y voir une occasion de faire des Mathématiques autrement, c’est-à-dire plutôt une vulgarisation tout public ?