Exprimer la multiplication au cycle 2

Dans cet article, Serge Petit s’intéresse aux enjeux de l’apprentissage de la multiplication en cycle 2, notamment en regard des registres des représentations sémiotiques. Il présente également des pistes pour aborder cette notion en classe. Sur ce sujet, l’équipe de rédaction vous conseille également la lecture de l’article de Jean Toromanoff « Les débuts de la multiplication à l’école ».

Serge Petit

© APMEP Mars 2018

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Ces quelques pages ne constituent pas un article scientifique sur la multiplication. Elles n’ont qu’un seul objectif : passer en revue quelques représentations possibles de la multiplication en cycle 2.

Le premier registre sémiotique permettant de l’exprimer étant celui de la langue naturelle, l’article commence par quelques précisions lexicographiques, par d’autres types de représentations et analyse sommairement les liens entre ces représentations.

Afin de permettre au lecteur de se forger une représentation de la manière d’aborder ces notions en classe, on trouvera, au fil de l’article, quelques propositions et réflexions.

Un sens donné par les mots

Étudier un concept, c’est le désigner : par des mots, par d’autres signes. La langue naturelle est le premier registre de signes utilisé pour exprimer un concept. Il précède l’utilisation de signes plus « mathématiques ». Aussi convient-il, dans un premier temps, de s’interroger sur le sens du mot multiplication.

Étudier un mot, c’est tout d’abord regarder le mot dans le contexte dans lequel il apparaît afin d’essayer de déterminer le sens qu’il prend dans ce contexte, puis chercher des mots qui lui ressemblent, qui ont en commun certains éléments de mots. Cette deuxième activité relève de la morphologie lexicale et peut être pratiquée très tôt à l’école.

• Des mots « qui commencent comme… »
  Le sens de mots comme multicoque, multicolore, multiforme permet aisément de déduire le sens de l’élément de mot multi-, qui signifie « plusieurs » ou « nombreux ».

• Des mots « qui se terminent comme… »
  Le mot multiplication peut rapidement amener des mots qui se terminent par –ation. Cet élément qui se situe en fin de mot, est formé du suffixe -ion et de l’augment –at-, il est très fréquent et indique une action ou le résultat d’une action (équation, égalisation, agitation, qualification, unification, etc.). Cette action est définie par les éléments qui le précèdent dans l’écriture du mot. Dans la liste d’exemples ci-dessus, on perçoit aisément un verbe sous-jacent dans les quatre premiers noms, le radical : égaliser, agiter, qualifier, unifier.

• L’élément manquant
  L’étude n’est pas terminée car, au cœur du mot multiplication, figurent quelques lettres p, l, i, c. Ces quatre lettres, et il est difficile de le deviner, constituent un élément de mot, élément que l’on retrouve par exemple dans duplication. Un outil de référence pour l’enseignant devient nécessaire, comme par exemple un dictionnaire tel Brio aux éditions Le Robert. La recherche de ­-plic- renvoie à –(u)pl- et le dictionnaire précise « nombre de fois ». En fait, -(u)pl- signifie davantage « fois » que « nombre de fois ». Ainsi le mot triple veut dire « trois fois », le mot quadruple veut dire « quatre fois », etc. Le mot multiple veut dire « plusieurs fois ». Un autre mot courant, le mot double, ne semble pas être construit de la même manière. Rapprochons-le du mot douze, de doublon, etc. Une conjecture est permise : l’élément de mot dou- signifie « deux », l’élément -ble est une autre forme de -ple. Et le mot double, qui signifie bien « deux fois », est formé comme le mot triple aux altérations, aux éléments allomorphes près.

• Sens morphologique du mot multiplication
  Le mot multiplication indique donc le résultat d’un processus qui consiste à répéter plusieurs fois quelque chose. Le verbe multiplier, qui l’a précédé d’environ un siècle  dans le vocabulaire français, signifie « réaliser plusieurs fois ». Ces deux mots ne sont pas apparus en langue française dans le contexte mathématique, mais davantage dans un contexte religieux : « croissez, multipliez-vous » qui signifie simplement « augmenter en nombre ». D’où un travail nécessaire à effectuer en classe à propos de la polysémie de ces deux mots, multiplier et multiplication.

Cette petite étude lexicale donne un sens lexical au mot multiplication, mais ne donne pas totalement le sens de ces mots. Elle ouvre toutefois une porte à l’étude de la multiplication, dont il faut encore préciser davantage le sens en mathématique, puisqu’il ne s’agit pas d’augmenter en nombre, mais bel et bien de répéter plusieurs fois…

Mathématiquement, la multiplication est une application de \(\mathbb{N}
\times \mathbb{N}\) vers \(\mathbb{N}\), qui, à tout couple d’entiers (a ; b), fait correspondre un nombre entier noté a × b défini par a × b = b + b + ⋯ + b, expression dans laquelle on répète b exactement a fois.

Le mot multiplication n’indique pas qu’il s’agit de la réitération d’une addition.

Nous proposons, en classe, de faire reposer le sens de la multiplication sur la répétition d’une action induite par le mot « fois », provenant de l’élément de mot -(u)ple-.

Nous donnons un exemple d’introduction possible ci-dessous¹.

Une telle situation, ou toute autre situation analogue mettant en évidence la réalisation d’un certain nombre de fois une action, qui permet d’écrire le résultat sous forme additive, introduit de fait le concept de multiplication et précise le sens du verbe multiplier et du substantif multiplication.

Une question essentielle est posée : la multiplication est-elle commutative ? La réponse à cette question peut être apportée par d’autres représentations de la multiplication que la représentation verbale.

Un sens représenté de manière analogique

Les expressions « huit fois trois » et « trois fois huit » se représentent par des tas : huit tas de trois pour la première, trois tas de huit pour la seconde.

Cette représentation, si elle met bien en évidence la répétition et le mot « fois », ne permet pas de répondre à la question de la commutativité. Bien sûr, il serait possible d’établir les correspondances sagittales entre ces deux représentations pour atteindre le résultat attendu, mais ce serait fastidieux et peu lisible.

Il est possible d’organiser autrement les représentations. Les tableaux constituent d’autres outils pour organiser les données afin de mieux les visualiser.

Pour ce faire, il suffit d’aligner les points de chacun des tas « verticalement » et « horizontalement ». Ce qui donne les deux représentations suivantes :

L’observation, par changement de point de vue de l’observateur (tourner l’axe de vue d’un quart de tour), montre que ces deux représentations contiennent le même nombre de points.

On peut en effet dire que la première représentation vue « Sud-Nord » est constituée de huit colonnes de trois objets et, après un quart de tour de la deuxième, que cette dernière est également constituée de huit colonnes de trois objets.

On établit ainsi par les représentations (et/ou par une reformulation en langue française) que les deux représentations représentent le même nombre de points et qu’en conclusion on a l’égalité : huit fois trois égale trois fois huit.

Les expressions sont longues à écrire. L’introduction du signe × peut se faire à ce moment-là afin de disposer d’une traduction de l’expression en langue naturelle huit fois trois dans le registre des écritures symboliques mathématiques.

On a alors les égalités suivantes :
8 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 (égalité définitoire)
3 × 8 = 8 + 8 + 8 (égalité définitoire)
et l’égalité 8 × 3 = 3 × 8, qui traduit une propriété essentielle de la multiplication : la commutativité.

Cette propriété que ne montre pas l’organisation en « tas », mais que montre bien l’organisation en tableaux, est un des points d’appuis essentiels pour les calculs multiplicatifs.

Petit retour terminologique

Les résultats des deux opérations a × b et b × a sont les mêmes quels que soient les entiers a et b. Pour désigner ce résultat, il n’est donc pas nécessaire de distinguer un ordre (un agent, un patient ; un nombre acteur et un nombre qui subit, ou un multiplicateur et un multiplicande). Un seul terme permet de désigner ce résultat commun : le produit (de pro- « idée d’aller vers l’avant » et de -duit qui vient de du(ct) qui donne l’idée de « mener, faire aller »²). Ainsi, ce terme est très général et aurait très bien pu être appliqué de la même manière au résultat d’une addition.

Certains auteurs utilisent des expressions comme « a multiplié par b ». Cette expression, tout comme d’ailleurs « a fois b » indique l’idée agent/patient. Il s’agit alors de ne pas se tromper.

En effet, s’il y a congruence³ entre la représentation ci-dessous :

et l’expression huit fois trois, congruence qui s’établit aussi avec l’action commise (aller huit fois acheter trois pains), il n’y a pas congruence avec l’expression trois multiplié par huit, ce qui peut se dire aussi huit multiplie trois, expression qui traduit les huit tas de trois pains.

Cette erreur est produite dans la Méthode de Singapour, CE2⁴, voir ci-dessous :

Nous considérons donc qu’il est raisonnable de se limiter au début des apprentissages à l’expression « fois ».

Le produit de deux entiers peut ainsi se représenter par des tableaux rectangulaires dans lesquels chaque case représente une unité. Les décompositions additives que l’on peut réaliser sur les dimensions des tableaux permettent de simplifier les calculs et de mettre en œuvre de manière pragmatique la distributivité de l’addition sur la multiplication, permettant ainsi une nouvelle simplification des calculs.

Discussion à propos du mot multiplication

Ce terme est utilisé en dehors de l’application de \(\mathbb{N}\times \mathbb{N}\) vers \(\mathbb{N}\), il s’agit alors d’un prolongement de la multiplication. Il ne s’agit plus de la même opération. Le sens véhiculé par « fois » permet encore de représenter deux tiers comme étant un tiers plus un tiers, donc deux fois un tiers, prolongement naturel, mais peut-on dire que un sixième est égal à un tiers fois un demi ? Quel est le sens que l’on peut donner à un tiers de fois ? Aucun. Le mot « multiplier », qui repose sur cette notion de « fois » ne convient pas non plus, au sens strict. En revanche, le mot produit, qui donne le résultat d’un processus qu’il convient de définir (par extension de la notion) peut encore convenir puisqu’il a un sens très large.

Une difficulté didactique surgit rapidement dès que l’on étend le concept de produit de deux nombres aux fractions notamment : si le produit de deux nombres entiers, mis à part lorsque le facteur 0 apparaît, augmente le nombre, ce n’est plus le cas si l’on élargit le domaine de définition. Le sens de multiplier « croissez, multipliez-vous » est alors mis en défaut.

Conclusion

Un travail sur les concepts en mathématiques n’est pas dissociable d’un travail sur les modes de représentations des concepts, que ce soit dans le registre de la langue naturelle, dans un registre figural ou dans le registre des écritures symboliques mathématiques.

L’analyse des mots utilisés peut favoriser à la fois la construction des concepts mathématiques et la construction, chez les élèves, de connaissances lexicales. Ces activités interdisciplinaires apportent leur concours symétriquement aux deux disciplines.

Serge Petit est formateur honoraire en mathématiques à l’IUFM d’Alsace et à l’Université de Strasbourg.