Hommage à Brigitte Bardot

Cette énigme, qui repose en partie sur la preuve par 9, date des alentours de 1960. Chacune des lettres représente un chiffre différent, autre que zéro.

Pierre Legrand

© APMEP Septembre 2018

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• De \(\overline{SEX}\times\overline{SEX}\geqslant123\,456\), on tire \(\overline{SEX}\geqslant\sqrt{123\,456}\), puis \(\overline{SEX}\geqslant352\).

• Utilisons la preuve par \(9\) : \((S+E+X)^2\equiv B+A+R+D+O+T\pmod{9}\).

  Observons que les neuf lettres figurant dans l’équation sont forcément les neuf chiffres de \(1\) à \(9\), dont la somme est \(45\). En posant \(S+E+X=u\), il vient : \(u^2\equiv45-u\pmod{9}\). Donc \(9\) divise \(u(u+1)\) et, comme \(u\) et \(u+1\) sont premiers entre eux, \(9\) divise l’un des deux. En outre \(u\leqslant9+8+7\), ce qui prouve que \(S+E+X\) ne peut valoir que \(8\), \(9\), \(17\) ou \(18\).

• Aucun des nombres \(S\), \(E\), \(X\) ne vaut \(1\), car le produit de \(\overline{SEX}\) par chacun d’entre eux a quatre chiffres. Le plus petit triplet a priori possible est donc \(\{2,3,4\}\), ce qui exclut déjà \(S+E+X=8\) ; si ce triplet est valable, on a donc \(S+E+X=9\) et \(\{S,E,X\}=\{2,3,4\}\). Comme \(\overline{SEX}\geqslant352\), cela donne \(S=4\). Mais \(432\) est à exclure, car \((432)^2\) a \(4\) pour chiffre des unités et on aurait \(S=T\). Et \(423\) est aussi à exclure, car \(423\times2\) n’a que trois chiffres. On aboutit ainsi à une impossibilité.

  Finalement \(S+E+X\) ne peut valoir que \(17\) ou \(18\).

• Supposons que \(B=1\). On aurait \(\overline{BARDOT} <200\,000\) donc \(\overline{SEX}<200\sqrt{5}\), c’est-à-dire \(\overline{SEX}\leqslant447\), d’où \(S\leqslant4\). On aurait aussi \(E\times\overline{SEX}<2\,000\), donc \(E<\dfrac{2\,000}{352}\), ce qui donne \(E\leqslant5\). Le même raisonnement appliqué à \(X\) donne \(X\leqslant5\). Il en résulterait \(S+E+X\leqslant4+5+5<17\), ce qui est impossible.

  Ainsi \(B\geqslant2\) et \(\overline{SEX}\geqslant\sqrt{213\,456}\), ce qui donne \(\overline{SEX}\geqslant462\).

• Supposons que \(S=4\). De \(462^2\leqslant\overline{SEX}^2<500^2\) on tire \(213\,444\leqslant\overline{BARDOT}<250\,000\). On aurait donc \(B=2\), ce qui donnerait \(2\,000<\overline{SEX}\times X<3\,000\) (la première inégalité est stricte, car \(2\,000=\overline{SEX}\times X\) impliquerait \(X\times X\equiv0\pmod{10}\)) ; Donc \(X>\dfrac{2\,000}{500}\), soit \(X>4\). Mais \(X\) ne peut valoir ni \(5\) ni \(6\), sinon on aurait \(X=T\) (comparer le chiffre des unités de \(\overline{SEX}\) et celui de \(\overline{BARDOT}\)). Finalement \(X\geqslant7\). Mais de \(\overline{SEX}\times X<3\,000\) on tirerait \(\overline{SEX}<\dfrac{3\,000}{7}\), donc \(\overline{SEX}<428\), alors que \(\overline{SEX}\geqslant462\).

  Ainsi \(S\geqslant5\).

• \(E\times\overline{SEX}\) et \(X\times\overline{SEX}\) ont tous deux une écriture du type \(\overline{B*\quad*\quad*\quad}\), donc leur différence est inférieure à \(1\,000\), donc \(|X-E|<\dfrac{1\,000}{\overline{SEX}}<\dfrac{1\,000}{500}\), ce qui prouve que \(|X-E|=1\).

• Le détail de la multiplication montre que le premier chiffre à gauche dans l’écriture de \(S\times\overline{SEX}\) est au plus égal à \(B\). Si c’était \(B\), le même raisonnement que dans le paragraphe précédent donnerait \(|S-E|=1\) et \(|S-X|=1\). Les différences deux à deux de \(S\), \(E\) et \(X\) seraient toutes égales à \(1\), ce qui est impossible. L’écriture de \(S\times\overline{SEX}\) commence donc par un chiffre inférieur à \(B\), donc \(S<X\) et \(S<E\).

• Nous avons \(\left\{\begin{array}{rcl}
  S+E+X&\leqslant&18\\
  S&\geqslant&5
  \end{array}\right.\), donc \(E+X\leqslant13\). Mais \(X\) et \(E\) sont supérieurs à \(S\), donc valent au moins \(6\). En outre, \(X\) ne peut valoir \(6\) (on aurait \(X=T\)). On arrive donc à \(E=6\), \(X=7\). La seule valeur possible de \(S\), qui leur est inférieur, est \(5\), d’où \(\overline{SEX}=567\).

• Il reste à montrer que cette valeur convient bien (voir ci-dessous).

Sitographie

1. Récréomath.  Ce site donne cent cryptarithmes additifs faciles. Un seul défaut : la plupart des problèmes ont plusieurs solutions.

2. Cryptarithms Online.  Les réponses sont données tout à la fin, sans justification. De bons problèmes additifs et multiplicatifs, classés par ordre de difficulté. Éviter les problèmes de division : les notations anglo-saxonnes de la division sont déroutantes.

3. Truman Collins’ Index Page . Donne plusieurs centaines de cryptarithmes additifs, avec une indication sur la difficulté (note de 1 à 5 dans le sens croissant). Les réponses sont données par un puzzle solver, mais pas le raisonnement. Se limiter aux notes 1 ou 2, exceptionnellement 3. Le lecteur sceptique quant à cette restriction pourra se faire les dents sur l’exemple ci-après, de difficulté 4 : DEGAS + INGRES + MANET + MATISSE = ARTISTS.

4. Site de Nicolas Graner. Site français qui donne une soixantaine de cryptarithmes additifs assez difficiles. Les réponses sont données.

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Pierre Legrand a depuis longtemps un rôle actif au sein de l’APMEP, il a écrit de nombreux articles dans le Bulletin Vert.