Au fil des problèmes n° 532
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2019

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532-1 De bien des façons

\(\mathsf{ABC}\) est un triangle équilatéral, \(\mathsf{G}\) est son centre de gravité et \(\mathsf{D}\) est le point du côté \([\mathsf{AB}]\) tel que \(\mathsf{AD}=\mathsf{AG}\). La droite \((\mathsf{DG})\) coupe le côté \([\mathsf{AC}]\) en \(\mathsf{E}\) et la droite \((\mathsf{BC})\) en \(\mathsf{F}\).

Établir que \(\mathsf{E}\) est le milieu du segment \([\mathsf{DF}]\).

532-2 L’unité en 2019 ?

Le nombre \(11\) possède une propriété particulière, en effet: \[11 = 2 + 3 + 6\quad\text{ et }\quad \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1\]

De même, \(2019\) peut-il s’exprimer comme une somme d’entiers distincts dont la somme des inverses vaut \(1\) ?

532-3 Un problème pas du tout bidon (Jean-Christophe Laugier – Rochefort)

On dispose de deux récipients A et B initialement vides, non gradués, de contenances respectives \(a\) et \(b\) litres (\(a\) et \(b\) entiers premiers entre eux, non nuls, \(1\leqslant a < b\)) et d’un robinet pouvant fournir de l’eau à volonté. Il s’agit d’écrire et de justifier un algorithme qui, par une suite de remplissages, de vidages d’un récipient, ou de transvasements d’un récipient dans l’autre, permette d’isoler \(q\) litres d’eau (\(q\) entier, \(0\leqslant q\leqslant a+b\)). L’algorithme pourra fournir également la quantité totale d’eau utilisée et le nombre de manipulations nécessaires pour isoler ces \(q\) litres.

532-4 (Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans)

Marie-Nicole Gras propose un joli énoncé de géométrie classique, plus technique :

On considère un triangle ABC et trois demi-droites issues de A, B et C qui coupent les côtés [BC], [CA] et [AB] respectivement en D, E et F. On désigne par M, N et P les milieux respectifs de [EF], [FD] et [DE]. Montrer que si les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes, alors les droites (AM), (BN) et (CP) sont aussi concourantes.