Au fil des problèmes n° 536

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Frédéric de Ligt

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536-1 Une figure sans paroles

Ce qui est à établir est en pointillés.

Source :

536-2 Un bonneteau gagnant (Ivan Riou)

Voilà une variante du bonneteau qui peut enfin s’avérer favorable au joueur.

Trois cartes sont alignées devant le joueur face cachée : la dame de cœur et les rois de pique et de trèfle. Le joueur doit miser un nombre entier d’euros, tant qu’il lui reste de l’argent, trois fois de suite sur une carte qui n’a pas été retournée. À chaque fois, la carte choisie est retournée. Si c’est la dame de cœur qui apparaît, le joueur gagne le montant de sa mise, sinon il perd sa mise. Le joueur dispose d’un capital initial de \(n\) euros, \(n\) entier non nul.

Quelle stratégie permet au joueur de s’enrichir ? Quelle est sa stratégie optimale en terme de gain ? Si le joueur adopte une stratégie optimale, de combien d’euros, au minimum, doit-il disposer au début de la partie pour être sûr d’être bénéficiaire et si tel est le cas, quel est alors son bénéfice en fonction de \(n\) ?

536-3 Peut-être dû à George Pólya (Pierre Legrand)

On désigne par \(x\) un entier au moins égal à \(10\) dont l’écriture décimale ne comporte aucun zéro et par \(P(x)\) le produit de ses chiffres. Comparer \(P(x)\) et \(x^\gamma\), où \(\gamma\) est le logarithme décimal de \(9\).

536-4 Clin d’œil à Robert Desnos

Un triangle pythagorique

Avec ses médianes entières

Ça n’existe pas, ça n’existe pas.

Et pourquoi pas ?

À propos des problèmes parus précédemment

Pour l’énoncé 532-4 proposé par Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), vous pouvez consulter les solutions de Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône) et de Jacques Vieulet (Ibos) ainsi que celle de l’auteure.

Pour les énoncés proposés dans le numéro 533, quelques solutions reçues plus tardivement ou qui s’étaient égarées dans les spams :

533-1 In memoriam archimedis

Les solutions de Bernard Ouillon (Nice) et de Fabrice Laurent (Académie de Nancy-Metz) utilisent aussi un calcul intégral.

533-3 Sommation

Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône) emprunte la même voie que celle de Michel Lafond (Dijon), l’auteur de l’énoncé.

533-4 À vérifier

Pierre Carriquiry (Clichy) résout la question dans un cadre plus général et calcule la probabilité que dans une suite de \(n\) tirages indépendants on trouve une séquence de \(k\) zéros ou \(k\) uns consécutifs.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

Pour les énoncés parus dans le numéro 534 :

534-1 Pour les algorithmophiles

Six réponses reçues à cette recherche d’algorithme accompagnées de l’écriture du programme associé.

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), François Denizou (Villeurbanne), Jacques Vieulet (Ibos), Nicolas Patrois et Jean Couzineau (Pantin) décrivent une procédure permettant de localiser dans quelle série d’entiers à \(p\) chiffres se trouve la \(N\)-ième décimale cherchée. Notamment en exprimant en fonction de \(p\) le rang \(N_p\) du premier chiffre de la série d’entiers à \(p\) chiffres. Une division euclidienne de \(N – N_p\) par \(p\) permet ensuite de déterminer l’entier de cette série contenant la \(N\)-ième décimale ainsi que la place occupée par cette décimale dans l’entier trouvé. Un algorithme particulier admettant en entrée cet entier et le rang de la décimale dans cet entier permet alors d’obtenir la décimale proposée.

Olivier Pontini (Madrid) procède différemment. Il fait une lecture, entier par entier, des nombres concaténés qui fournissent les décimales du nombre de Champernowne tout en comptant le rang du chiffre des unités de ces entiers. Une fois que l’entier contenant la \(N\)-ième décimale cherchée a été isolé, un petit algorithme permet de calculer cette dernière.

Olivier Pontini et François Denizou fournissent en plus les programmes en Python de leur solution.

534-2 One-to-one

Trois réponses reçues à ce problème de Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Alain Bougeard (Les Lilas) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans). Toutes trois procèdent de la même façon que celle proposée par l’auteur de l’énoncé, Michel Lafond, à savoir par disjonction de cas selon que le réel \(x\) est entier ou non entier, positif ou strictement négatif.

534-3 De bien des façons (bis)

Huit courriers nous sont parvenus pour répondre à cet « exercice de style » à la Raymond Queneau.

Pour le niveau Troisième, Maurice Bauval (Versailles), Vincent Beck (Tours), Jacques Vieulet (Ibos), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Denis Roussillat (Vénissieux) proposent un calcul algébrique.

Pour le niveau Première, Vincent Beck, Jacques Vieulet et Maurice Bauval passent par la géométrie vectorielle alors que Marie-Nicole Gras, Alain Bougeard (Les Lilas) et Vincent Thill (Migennes) résolvent une équation du second degré.

Pour le niveau Terminale, Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Denis Roussillat et Marie-Nicole Gras utilisent les nombres complexes.

Pour le niveau L1/L2, Denis Roussillat est seul à se servir d’une inégalité de convexité ou de la diagonalisation d’une matrice symétrique.

Pour le niveau L2, Jacques Vieulet, Marie-Nicole Gras, Jean Couzineau (Pantin) et Denis Roussillat utilisent la méthode de Gauss pour obtenir une décomposition en carrés de formes linéaires.

534-4 Encore une propriété du triangle équilatéral

Alain André (Guipavas) se place dans le plan complexe pour travailler plutôt avec des affixes et des modules.

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) se placent dans un repère pour étudier le signe de l’expression :

\[(\mathsf{MA}+\mathsf{MB}+\mathsf{MC})(-\mathsf{MA}+\mathsf{MB}+\mathsf{MC})(\mathsf{MA}-\mathsf{MB}+\mathsf{MC})(\mathsf{MA}+\mathsf{MB}-\mathsf{MC})\]

et ainsi atteindre la propriété.

Marie-Nicole Gras va plus loin et montre aussi qu’il s’agit d’une propriété caractéristique du triangle équilatéral. Par ailleurs elle observe que l’aire du triangle dont les côtés mesurent \(\mathsf{MA}\), \(\mathsf{MB}\) et \(\mathsf{MC}\) ne dépend que du carré de la longueur qui sépare le point \(\mathsf{M}\) du centre du triangle équilatéral.

Enfin, Jacques Vieulet (Ibos) utilise le régionnement du plan par les médiatrices des côtés du triangle équilatéral ainsi que l’inégalité de Ptolémée.