Au fil des problèmes n° 540

Frédéric de Ligt

© APMEP Juin 2021

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540 – 1 Un défi niveau Terminale (François Denizou – Villeurbanne)

Un élève a proposé ce petit défi. La difficulté est d’arriver à répondre à la question uniquement avec des outils de terminale, sinon c’est beaucoup plus facile. Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) vérifiant: \[(\text{e}^{2x}-1)^2 f(x)=4-4\cos\left(\frac{\pi}{2}\,x\right).\] Déterminer la valeur de \(f(0)\).

540 – 2 Une double représentation (Vincent Thill – Migennes)

Trouver tous les nombres premiers \(p<q<r\) tels que \(A=(r-p)(r-q)(q-p)+1\) et \(B=3p+5q\) représentent le même nombre premier.

540 – 3 Curiosité numérique (Michel Lafond  2020)

On calcule \(\dfrac{{1000}}{{998001}}\) et l’on trouve: \[\dfrac{{1000}}{{998001}}={0,001002003004005}\dots{996997999000001002}\dots\]

En y regardant de plus près, les \({2994}\) premières décimales regroupées par \(3\), sont \(001\), \(002\), \(003\), …, \(996\), \(997\), \(999\) c’est-à-dire tous les entiers consécutifs depuis \(001\) jusqu’à \(999\) sauf \(998\). Il y a un truc, lequel ?

540 – 4 Crescendo

1. Robert Ferréol – Paris

   Déterminer les triangles rectangles dont la médiane issue de l’angle droit soit aussi une trisectrice.

2. Djelloul Sebaa

   Dans un triangle isocèle ou équilatéral la bissectrice peut être médiane (au minimum). Par analogie, pour quels triangles une trisectrice peut-elle être une médiane ?

À propos des problèmes parus précédemment

538 -1 Partage de pizza

Quatre chemins de longueurs inégales ont mené à la solution. Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) utilise des coordonnées barycentriques dans le repère affine \((\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})\) qu’il fait correspondre à des aires de triangles; Jacques Vieulet (Ibos) et Ludovic Jany (Bolquère) se placent dans un repère orthonormé et calculent des distances; Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) établit une relation entre l’aire d’un triangle blanc et les distances de \(\mathsf{P}\) aux côtés du triangle équilatéral puis se sert du théorème de Viviani; enfin Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg) et Didier Trotoux (Caen) parviennent très élégamment au résultat sans aucun calcul: ils tracent les parallèles aux côtés passant par le point \(\mathsf{P}\), ceci faisant apparaître trois parallélogrammes et trois triangles équilatéraux, chacun partagé en deux triangles d’aires égales et de couleurs différentes.

Jean-Pierre Friedelmeyer demande s’il existe une méthode simple pour prouver que la propriété se généralise aux polygones convexes.

538-2 Sangaku hyperbolique

Il fallait trouver \(100\pi\) comme aire maximale pour les deux disques. Pour cela, Bernard Coutu (Quint- Fonsegrives) observe qu’il faut d’abord rendre maximum l’aire du petit disque, le grand disque étant alors contraint. Le rayon du petit disque est alors celui du cercle osculateur à l’hyperbole en \((1;1)\) dont une formule est connue. Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) n’utilisent pas cette formule mais retrouvent les coordonnées de son centre en résolvant des équations du second degré. Des solutions reçues aussi de Michel Sarrouy, de Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg) et de Jacques Vieulet (Ibos).

538 – 3 Somme de puissances

Comme le rappelle Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), \(\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)^{\ast}\) est un groupe multiplicatif qui possède au moins un générateur \(g\) de classe différente de \(1\), ce dernier est aussi un générateur du groupe additif \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\). En remplaçant les \(i^k\) par \((g^{i-1})^k\) ou \((ig)^k\) dans la somme selon le point de vue, on n’en modifie pas globalement les termes modulo \(p\). Après factorisation, la divisibilité est atteinte. C’est aussi la voie suivie par Marie- Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives), Yannick Vincent (Pantin) et M. Emeillat.

Jacques Vieulet (Ibos) attaque le problème par la combinatoire, ce qui mobilise quelques signes sommes et coefficients binomiaux, et prouve finalement par récurrence que la somme donnée est bien divisible par \(p\).

538 – 4 Un peu d’algèbre pour finir

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Jacques Vieulet (Ibos) établissent que les sommes \(S_n\) des puissances \(n\)-ièmes des trois nombres, pour \(n\) entier relatif, sont les termes d’une suite qui vérifient une relation de récurrence linéaire d’ordre \(3\). L’expression génère clairement des termes qui sont des entiers relatifs. Par divers arguments, il est ensuite montré que ces termes sont en fait uniquement des entiers naturels.

Ludovic Jany (Bolquère) suit une autre idée et introduit une suite auxiliaire. À l’aide d’une même démonstration par récurrence qui joue à la fois sur les termes de la suite \((S_n)\) et sur ceux de la suite auxiliaire, il parvient à la conclusion. Il complète son courrier en déterminant les valeurs exactes de \(x\), \(y\) et \(z\).

J’ai reçu de plus des réponses exactes mais pour \(n\) seulement entier naturel de Bernard Coutu (Quint- Fonsegrives), de François Denizou (Villleurbanne) et de M. Emeillat.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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