Au fil des problèmes n° 544

Frédéric de Ligt

© APMEP Juin 2022

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544-1 – Problème de dénombrement et takuzu (Patrick David – Cergy)¹

Le takuzu, jeu de la famille du sudoku auquel on peut jouer en ligne sur l’internet, se joue dans un carré de dimension paire \((2n\), \(n\in \mathbb{N}^{\ast})\) dans lequel figurent déjà dans quelques cases des \(0\) ou des \(1\). Le but du jeu est de remplir ce carré en ajoutant des \(0\) et des \(1\) et en respectant les trois règles suivantes.

1. Sur toute ligne ou colonne, il doit y avoir autant de 0 que de 1.

2. Il ne peut y avoir plus de deux \(0\) (ou \(1\)) consécutifs sur les lignes ou les colonnes.

3. Les lignes doivent être toutes différentes, ainsi que les colonnes (cette dernière règle n’est nécessaire que dans les grilles assez difficiles).

En principe, les \(0\) et \(1\) placés initialement permettent de trouver une solution unique. Cela amène à se poser les questions suivantes.

1. Sur une ligne de takazu de longueur \(2n\), combien y a-t-il de dispositions différentes valides, c’est-à-dire vérifiant les règles 1 et 2 ?

2. Si \(v_n\) est le nombre de lignes valides pour une ligne de longueur \(2n\), montrer que \(\displaystyle\lim_{n
   \to+\infty}\dfrac{v_n}{2^{2n}}=0\).

3. Donner une majoration au plus proche de \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\cdotp\)

544-2 – Pour les amateurs de second degré

Trouver le trinôme du second degré \(x^2+px+q\) (\(p\) et \(q\) étant réels) pour lequel \(\max\limits_{x \in [-1;1]} \left|x^2+px+q\right|\) est minimum.

544-3 – Un hexagone inscrit (Michel Sarrouy – Mende)

Soit, sur un cercle de rayon \(1\), un point fixe \(\mathsf{A}\) et un point variable \(\mathsf{B}\) tel que \(\mathsf{AB}<\sqrt{3}\). Appelons direct le sens de rotation de \(\mathsf{A}\) vers \(\mathsf{B}\) sur le petit arc de cercle \(\overset{\displaystyle\frown}{\mathsf{AB}}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{AB})\) par la rotation de centre \(\mathsf{B}\) et d’angle 120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{C}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{BC})\) par la rotation de centre \(\mathsf{C}\) et d’angle 120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{D}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{CD})\) par la rotation de centre \(\mathsf{D}\) et d’angle  120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{E}\).

• L’image de la droite \((\mathsf{DE})\) par la rotation de centre \(\mathsf{E}\) et d’angle  120° dans le sens indirect recoupe le cercle en \(\mathsf{F}\). On joint \(\mathsf{F}\) et \(\mathsf{A}\).

Montrer que :

1. les points \(\mathsf{C}\) et \(\mathsf{E}\) sont fixes ;

2. le segment \([\mathsf{FA}]\) a même longueur que les segments \([\mathsf{DE}]\) et \([\mathsf{BC}]\) ;

3. les angles en \(\mathsf{F}\) et en \(\mathsf{A}\) de l’hexagone \(\mathsf{ABCDEF}\) valent 120°.

544-4 – Le problème de Hadwiger-Nelson sous contrainte

« Combien de couleurs sont nécessaires au minimum pour que deux points du plan, séparés par une distance égale à \(1\), soient toujours de couleurs différentes ? » est une question encore non complètement résolue ; même si, depuis 2018, grâce à Aubrey de Grey, on sait que ce nombre est compris entre \(5\) et \(7\).

Plus modestement, on peut se demander ce qu’il advient de la question si on se restreint à un carré unité, intérieur et frontière comprise, au lieu de considérer le plan.

À propos des problèmes parus précédemment

542-1 Le triangle de Bottema

Deux cas étaient à considérer selon que les points \(\mathsf{D}\) et \(\mathsf{E}\) étaient ou non de part et d’autre de la droite \((\mathsf{AB})\). Dans un cas on trouvait que les angles en \(\mathsf{A}\) et en \(\mathsf{B}\) valaient tous deux 36°, solution trouvée par Alain Bougeard (Les Lilas) et Ludovic Jany (Bolquère), et dans l’autre qu’ils valaient 12° et 132°, solution trouvée par Jacques Vieulet (Ibos), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Stéphane Carvalho (Le Perreux-sur-Marne) et Hervé Chastand (Saint-Aubin-de-Lanquais). Dans tous les cas, leur travail portait uniquement sur les angles à partir d’une figure illustrant un des cas. Pierre Renfer en abordant le sujet par les coordonnées barycentriques, a pu obtenir les deux solutions.

542-2 Une inégalité genre olympiades

Pour établir cette inégalité, Stéphane Carvalho (Le Perreux-sur-Marne) utilise deux fois l’inégalité de Cauchy-Schwarz ; Jean-Christophe Laugier (Rochefort) passe une seule fois par l’inégalité de Cauchy-Schwarz mais aussi par l’inégalité arithmético-géométrique ; Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) reste uniquement sur la comparaison des moyennes arithmétiques, géométriques et quadratiques. Patrick David (Cergy) et Jacques Vieulet (Ibos) se ramènent à l’étude d’une fonction de deux variables sur le carré \([0;1]^2\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Ils concluent en prouvant que le minimum absolu en \((1 ;
1)\) vaut \(0\). Par ailleurs Patrick David montre à l’aide de contre-exemples que toute généralisation de cette inégalité au-delà de trois variables est vaine.

542-3 La onzième médiété

Seul Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) a répondu complètement à cette question en considérant la suite auxiliaire \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\cdotp\) Il examine dix cas selon les valeurs possibles de \(u_1\) et obtient finalement que la suite \((u_n)\) converge vers une limite strictement positive quand \(u_1\) est compris strictement entre \(\dfrac{1}{\varphi^2}\) et \(\varphi\) où \(\varphi\) désigne le nombre d’or.

542-4 Tiré d’un vieux numéro du Journal de mathématiques élémentaires

L’énoncé demandait la construction d’un pentagone équilatéral inscrit dans un triangle isocèle \(\mathsf{ABC}\) de sommet principal \(\mathsf{A}\). Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) aborde le problème par les longueurs tandis que Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) utilise, comme à son habitude, les coordonnées barycentriques. Il ressort trois cas de leurs deux études. Si la base \(\mathsf{BC}\) est inférieure à la moitié de \(\mathsf{AB}\) ou de \(\mathsf{AC}\), il n’existe pas de pentagone équilatéral inscrit ; en revanche, si la base \(\mathsf{BC}\) est strictement comprise entre la moitié et le double de \(\mathsf{AB}\) ou \(\mathsf{AC}\), alors il est possible de construire un tel pentagone ; de plus, celui-ci sera unique si le triangle n’est pas équilatéral. Alain Bougeard (Les Lilas), Jacques Vieulet (Ibos) et Hervé Chastand (Saint-Aubin-de-Lanquais), quant à eux, proposent la même construction que celle présentée le 15 mars 1886 dans le Journal des Mathématiques Élémentaires dont est issu le problème. Cela consiste, à partir des côtés \([\mathsf{AB}]\) et \([\mathsf{AC}]\), à construire un pentagone équilatéral puis à le réduire par une homothétie convenable. Alain Bougeard et Hervé Chastand vont plus loin et examinent l’existence de pentagones équilatéraux croisés. Alain Bougeard a observé, à l’aide de GeoGebra, que le problème, à partir d’un triangle quelconque, engendre une discussion sur un grand nombre de possibilités.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.