Au fil des problèmes n° 542
Solutions
Frédéric de Ligt
© APMEP Juin 2022
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542-1 Le triangle de Bottema
D’après une remarque de Jean-Pierre Boudine dans son dernier ouvrage L’appel des maths-2-Géométrie p. 160 aux éditions Cassini paru en 2020 :
Soit \(\mathsf{ABC}\) un triangle tel que la bissectrice extérieure de \(\widehat{\mathsf{B}}\) coupe la droite \((\mathsf{AC})\) en \(\mathsf{D}\) et la bissectrice extérieure de \(\widehat{\mathsf{A}}\) coupe la droite \((\mathsf{BC})\) en \(\mathsf{E}\). Si \(\mathsf{BD}=\mathsf{AE}=\mathsf{AB}\), que valent alors les angles \(\widehat{\mathsf{A}}\) et \(\widehat{\mathsf{B}}\) ?
542-2 Une inégalité genre olympiades
Prouver que, pour tous réels strictement positifs \(x\), \(y\) et \(z\), on a : \[\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \right)^2 \geq \left( x+y+z \right) \left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\]
542-3 La onzième médiété
Origine de la question : une médiété est une suite constituée de trois termes positifs, distincts deux à deux, telle qu’avec deux d’entre eux et deux de leurs différences on peut obtenir deux rapports égaux. Pappus d’Alexandrie ( IVe siècle après J.-C.), dans son Synagogè, recense à un moment les différentes médiétés possibles et en compte au total dix (la Décade sacrée des pythagoriciens !). Mais en épuisant les différentes combinaisons et en ne retenant que celles qui sont pertinentes, on en trouve en fait onze.
Voici la médiété que Pappus a ignorée (volontairement ?) :
avec \(0< a< b< c\) on doit avoir \(\dfrac{\mathstrut c-a}{b-a\mathstrut }=\dfrac{c\mathstrut }{a\mathstrut }\cdotp\)
Comme exemple d’une telle médiété on peut donner 6, 8, 9.
On tire de cette égalité que \(c=\dfrac{a^2}{2a-b}\cdotp\)
La question : on considère alors la suite \(\left(u_n\right)_{n\geq 0}\), récurrente d’ordre 2, définie par \(u_{n+2}=\dfrac{u_n^2}{2u_n-u_{n+1}}\) avec \(u_0=1\) et \(u_1=a\).
Pour quelles valeurs de \(a\) la suite converge-t-elle vers une limite strictement positive ?
Vos solutions
542-4 Tiré d’un vieux numéro du Journal de mathématiques élémentaires (Alain Bougeard – Les Lilas)
Un triangle isocèle \(\mathsf{ABC}\) étant donné, trouver sur sa base \([\mathsf{BC}]\) deux points \(\mathsf{D}\), \(\mathsf{E}\), et sur les côtés \([\mathsf{AB}]\) et \([\mathsf{AC}]\) deux points \(\mathsf{F}\), \(\mathsf{G}\), tels que le pentagone \(\mathsf{AFDEG}\) ait ses côtés égaux.
