Au fil des problèmes n° 545

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2022

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545-1 – Château d’eau

Le château d’eau Les Pialoux 1 dans la Drôme est un objet géométrique intéressant. On peut le décrire ainsi : il s’agit d’une structure d’hyperboloïde à une nappe construite avec des poutres d’acier droites.
Le cercle supérieur est tourné de 90° par rapport au cercle de base.
En l’absence de renseignements supplémentaires, on note \(d\) le diamètre de la base circulaire, \(D\) le diamètre de la partie supérieure et \(h\) la hauteur de la construction (longueurs exprimées en m). Donner alors l’expression du volume total du château d’eau en m\(^3\).

545-2 – Trouvé sur la toile (Vincent Thill – Migennes)

Soit \(x\), \(y\) et \(z\) trois réels, tous différents de \(0\), vérifiant \(xy + xz + yz = 0\).
Que vaut \(\dfrac{(x+y)}{z} + \dfrac{(x+z)}{y} + \dfrac{(y+z)}{x}\) ?

545-3 – Inspiré par l’exercice 543-1 (Patrick David et Julien Sautier – Cergy)

Soit \((\mathsf{ABC})\) un triangle non aplati d’aire \(\mathcal{S}\).
Construire à la règle (non graduée) et au compas un triangle équilatéral d’aire \(\mathcal{S}\).

545-4 – Équarrissage des bois

Dans le corps de l’article Équarrissage (bois) de Wikipédia, on pouvait lire¹ : « Les arbres sont rarement cylindriques à base circulaire ou à base elliptique, ils approchent cependant plus ou moins ces deux formes ; celle qui présente le plus d’avantages est la forme circulaire parce que le plus grand rectangle qu’on peut inscrire dans une ellipse est toujours moindre que le carré inscrit dans un cercle dont la surface serait la même que celle de l’ellipse. »

Une affirmation à vérifier tout de même !

À propos des problèmes parus précédemment

543-1 Archimède encore

Question 1. De nombreuses réponses reçues pour ce problème de coniques.
Certains, comme Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Ludovic Jany (Bolquère) ou Jacques Vieulet (Ibos), traitent la question en se plaçant dans un repère orthonormé. D’autres, comme Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) ou Pierre Jullien (Meyreuil), se contentent d’un simple repère affine. Et puis il y a enfin Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques) qui passe par les coordonnées barycentriques. Presque tous utilisent le fait que la médiane issue de \(\mathsf{A}\) du triangle \(\mathsf{ABC}\) est parallèle à l’axe de la parabole et, à partir des contraintes imposées, obtiennent à leur manière une équation unique de la parabole. Jacques Vieulet, de son côté, prouve l’existence et l’unicité de la parabole par des considérations géométriques et non calculatoires.

Question 2. Les propriétés de conservation des transformations affines sont utilisées pour ramener l’étude au cas particulier du triangle équilatéral par Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), Patrick David (Cergy) et Julien Sautier, ou d’un triangle isocèle par Ludovic Jany (Bolquère). En revanche, Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) et Jacques Vieulet (Ibos) travaillent dans un triangle quelconque et utilisent les rapports découverts par Archimède entre l’aire d’un secteur parabolique et les aires de certains triangles obtenus à partir de la parabole pour parvenir à exprimer chacune des sept aires comme une fraction de l’aire du triangle \(\mathsf{ABC}\). Tous parviennent finalement aux fractions \(\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut27}\), \(\dfrac{\mathstrut17}{\mathstrut81}\) et \(\dfrac{\mathstrut5}{\mathstrut81}\cdotp\)

543-2 Un classique revisité

Robert March (Paris), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) et Ludovic Jany (Bolquère) suivent le même raisonnement qui consiste à éliminer les différentes possibilités au fur et à mesure des réponses de Sophie et de Germain, pour établir que les âges des deux filles sont cinq et six ans.

543-3 Une équation diophantienne

Une seule réponse parvenue pour cette équation diophantienne, celle de Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans). Trouver deux petites solutions avec des entiers relatifs est aisé mais l’obtention de solutions positives est une autre affaire bien plus délicate. Marie-Nicole Gras, après un changement de variable ramène le problème à l’étude d’une équation de courbe elliptique. À l’aide de la loi de groupe qu’il est possible de définir sur l’ensemble des points rationnels de la courbe, on part d’un de ses points \(\mathsf{P}\), obtenu grâce à une des petites solutions précédentes et, en calculant jusqu’à \(9\mathsf{P}\), on aboutit à un point de la courbe. Avec ce dernier point, en revenant à nos inconnues initiales, on obtient une solution pour \(a\), \(b\) et \(c\) qui comporte alors autour de quatre-vingt chiffres pour chacun des trois nombres. Et c’est la plus petite solution en nombres entiers positifs !

543-4 Somme de fractions égyptiennes

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) a complètement résolu cette question en utilisant des propriétés de divisibilité. Elle parvient à établir que les entiers qui conviennent sont ceux qui sont pairs ou qui possèdent un diviseur premier congru à \(3\) modulo \(4\). Elle rappelle pour finir la conjecture d’Erdös-Strauss qui n’est toujours pas démontrée : pour tout entier \(n\) plus grand ou égal à \(2\) il existe des entiers \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(\dfrac{4}{n}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\cdotp\)

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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1. Wikipédia article Équarrissage (bois) version du 5 avril 2022.

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