Au fil des problèmes n° 546

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2022

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546-1 Un triangle bien élevé

Un triangle à côtés entiers est appelé « bien élevé » si la somme de deux de ses côtés est égale à la somme du troisième côté et de la hauteur relative à ce côté.

• Vérifier que le triangle ci-dessous est bien élevé.
  
• Trouver tous les triangles bien élevés.

546-2 Pour bien commencer l’année

Montrer que \(\dfrac{(2022^2)!}{(2022!)^{2023}}\) est un entier.

546-3 Une extension de l’inégalité de Nesbitt

Soit $a$, $b$ et $c$ des réels strictement positifs, montrer l’inégalité :
\(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\geqslant \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\cdotp\)

546-4 Heptasection d’un triangle (Jacques Chayé – Poitiers)

ABC est un triangle quelconque.

• M est le barycentre de (B,2) et (C,1).
• N est le barycentre de (C,2) et (A,1).
• P est le barycentre de (A,2) et (B,1).
• Les droites (AM) et (BN) se coupent en I.
• Les droites (BN) et (CP) se coupent en J.
• Les droites (CP) et (AM) se coupent en K.

Il n’est pas trop compliqué d’établir que l’aire du triangle IJK est égale au septième de l’aire du triangle ABC. Mais peut-on se passer de la géométrie analytique pour parvenir au résultat ?

À propos des problèmes parus précédemment

Vous pourrez retrouver sur le site d’Au fil des maths les très riches contributions de Daniel Perrin aux problèmes 542-4, 543-1, 543-2, 543-3 et 543-4. Je vous engage à aller les consulter car elles apportent de nombreux compléments et d’intéressantes généralisations.

544-1 Problème de dénombrement et Takuzu

Ludovic Jany (Bolquère) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) font tous deux référence aux résultats obtenus par Vaclac Kotesovec concernant cette suite et qui se trouvent sans démonstration sur le site de l’OEIS (A177790).

En particulier madame Gras utilise la relation de récurrence vérifiée par la suite, son terme général et un équivalent quand la longueur de la ligne tend vers l’infini. L’étude du rapport de l’équivalent de la suite et de \(2^{2n}\) lui permet de conclure à une limite nulle pour le rapport de la suite et de \(2^{2n}\) quand \(n\) tend vers l’infini. Son étude du rapport des équivalents de deux termes consécutifs de la suite l’amène à déterminer la limite du rapport de deux termes consécutifs qui se trouve être le carré du nombre d’or. Le fait que ce dernier rapport reste inférieur à cette limite a pu être vérifié jusqu’au dix milliardième terme de la suite, mais la preuve générale est encore manquante.

Monsieur Jany ne va pas si loin mais établit la limite nulle précédente avec une observation simple. Le nombre de lignes différentes comportant \(2n\) chiffres au takuzu est inférieur à la valeur du coefficient binomial central \(\dbinom{2n}{n}\), et la limite du rapport de ce coefficient et de \(2^{2n}\) est nulle.

544-2 Pour les amateurs de second degré

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Ludovic Jany (Bolquère) et Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), ont envoyé une réponse à cet énoncé.

Madame Gras part de la solution à obtenir, à savoir la fonction \(\text{P}\) définie par \(\text{P}(x) = x^2 – 0,5\), et montre qu’une fonction polynôme du second degré, pour \(x\) appartenant à l’intervalle \([-1\,; 1]\), dont les valeurs absolues des images seraient inférieures ou égales à \(0,5\), coïncidera alors nécessairement avec la fonction \(\text{P}\).

Monsieur Jany, après avoir exprimé les extremums locaux sur \([-1\,; 1]\) de la fonction polynôme \(f\) définie par \(f(x) = x^2 + px + q\), montre que si \(q\) est différent de \(-0,5\) et si \(p\) est différent de \(0\) alors \(\displaystyle\max_{ x\in]-1\,;1[}|f(x)| \) est strictement supérieur à \(0,5\) alors que pour \(q = -0,5\) et \(p = 0\) on a \(\displaystyle\max_{ x\in]-1\,;1[}|f(x)|=0,5 \).

Enfin, monsieur Renfer étudie de son côté les images \(J\) des intervalles de longueur \(2\) de la fonction de référence \(\text{Q}\) définie par \(\text{Q}(x) = x^2\) telles que la longueur de \(J\) soit minimale. Il parvient alors à une longueur de \(0,5\), pour un intervalle qui doit être obligatoirement \([-1\,; 1]\) et, par translation selon l’axe des ordonnés, donne la solution attendue.

544-3 Un hexagone inscrit

La géométrie classique attire toujours autant. Cinq réponses reçues. Celles de Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Ludovic Jany (Bolquère), Pierre Renfer (Saint-Georges d’Orques), Michel Sarrouy (Mende), et Pierre Sallard (Paris).

Tous ces auteurs, à l’exception de monsieur Jany, utilisent le théorème de l’angle inscrit et parfois de l’angle au centre. Messieurs Jany et Renfer introduisent de plus une rotation d’angle 120° afin de pouvoir disposer de ses propriétés. À noter que monsieur Jany introduit un repère dans la question 1 et conclut à l’aide du théorème du sinus et que monsieur Sallard pour cette même question prouve que l’unique hexagone régulier construit à partir de A possède un sommet sur deux en correspondance avec des sommets de l’hexagone proposé.

544-4 Le problème de Hadwiger – Nelson sous contrainte

Une seule proposition de solution parvenue pour cet énoncé mais malheureusement inexacte. Voyez-vous pourquoi ? La question est toujours sans réponse. À vos crayons de couleur !

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.