Des problèmes dans nos classes

Pensez à nous envoyer une solution proposée par vos élèves ; nous la publierons dans la revue numérique.

Valérie Larose

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Cycle 3

Créé il y a dix ans, EurêkaMaths (précédemment Math’Isère) est un défi mathématique entre classes de même niveau qui renouvelle et valorise l’image des mathématiques auprès des élèves. À l’occasion de la Semaine des mathématiques, une énigme a été proposée chaque jour, du lundi 6 au vendredi 10 mars 2023.
L’énigme ci-dessous permet de réinvestir la notion de multiple.

549-E1 Énigme n°5
Jouons ensemble aux mathématiques Le propriétaire d’un appartement en location dépose la clé dans une boîte qui s’ouvre à l’aide d’un digicode¹ à neuf chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. • Le code est composé de quatre chiffres tous différents. • Le code ne comprend pas de chiffre multiple de trois². • Le code est un multiple de cinq. Quel est le nombre de codes différents possibles ? Source : EurêkaMaths Solution : sur le même site

549-E1 Énigme n°5

Jouons ensemble aux mathématiques

Le propriétaire d’un appartement en location dépose la clé dans une boîte qui s’ouvre à l’aide d’un digicode¹ à neuf chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
• Le code est composé de quatre chiffres tous différents.
• Le code ne comprend pas de chiffre multiple de trois².
• Le code est un multiple de cinq.

Quel est le nombre de codes différents possibles ?

Source : EurêkaMaths
Solution : sur le même site

Collégiens (4^e, 3^e) et lycéens (Seconde)

Un sujet qui permet aux élèves de réinvestir une notion vue au collège mais loin d’être parfaitement assimilée en Seconde. . .

549-E2 Une course entre amis
Sur le plan ci-dessus figurent des parcours de course empruntés par trois amis. Le triangle ABC est rectangle en B, AB = 200 m et BC = 150 m. Le point D est situé sur le demi-cercle de diamètre [AC]. Le triangle ACD est rectangle en D et isocèle. Victor parcourt le trajet A–B–C à vélo, à la vitesse moyenne de 15 km/h. Rachel va directement de A à C en roller, à la vitesse moyenne de 12 km/h. Ils partent en même temps du point A. Qui, de Rachel ou de Victor, arrivera le premier ? Carl est un athlète entraîné. Les trois amis repartent du point A. Carl court en suivant le demi-cercle. Quelle doit être la vitesse moyenne minimale de Carl pour qu’il parvienne en C avant Victor et Rachel ? Victor parcourt le segment [AD] à la vitesse de 15 km/h et Carl l’arc AD à la vitesse de 17 km/h. Ils partent en même temps du point A. Qui arrive le premier ? Source : concours René Merckhoffer sur le site de l’académie de Versailles. Solution : sur le même site.

549-E2 Une course entre amis

Sur le plan ci-dessus figurent des parcours de course empruntés par trois amis.
Le triangle ABC est rectangle en B, AB = 200 m et BC = 150 m.
Le point D est situé sur le demi-cercle de diamètre [AC]. Le triangle ACD est rectangle en D et isocèle.

Victor parcourt le trajet A–B–C à vélo, à la vitesse moyenne de 15 km/h.
Rachel va directement de A à C en roller, à la vitesse moyenne de 12 km/h.
Ils partent en même temps du point A.

Qui, de Rachel ou de Victor, arrivera le premier ?
Carl est un athlète entraîné. Les trois amis repartent du point A. Carl court en suivant le demi-cercle.

Quelle doit être la vitesse moyenne minimale de Carl pour qu’il parvienne en C avant Victor et Rachel ?
Victor parcourt le segment [AD] à la vitesse de 15 km/h et Carl l’arc AD à la vitesse de 17 km/h. Ils partent en même temps du point A.

Qui arrive le premier ?

Source : concours René Merckhoffer sur le site de l’académie de Versailles.

Solution : sur le même site.

Première/Terminale

Deux questions du concours Kangourou 2022, sujet S (élèves de Première ou Terminale avec la spécialité mathématiques et post-bac).

Question n° 9
$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels non nuls. On sait que $−2a^4b^3c^2$ et $3a^3b^5c^4$ sont de même signe. Laquelle des affirmations ci-dessous est sûrement vraie ? $ab > 0$ $b < 0$ $c > 0$ $bc > 0$ $a < 0$

Question n° 9

$a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels non nuls. On sait que $−2a^4b^3c^2$ et $3a^3b^5c^4$ sont de même signe.

Laquelle des affirmations ci-dessous est sûrement vraie ?

$ab > 0$
$b < 0$
$c > 0$
$bc > 0$
$a < 0$

Question n° 23
La suite de réels $(u_n)$ est telle que $0 < u_1 < 1$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{2n} = u_2u_n + 1, u_{2n+1} = u_2u_n − 2$. Sachant que $u_7 = 2$, combien vaut $u_2$ ? $u_2 = u_1$ $2$ $3$ $4$ $5$

Question n° 23

La suite de réels $(u_n)$ est telle que $0 < u_1 < 1$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{2n} = u_2u_n + 1, u_{2n+1} = u_2u_n − 2$.

Sachant que $u_7 = 2$, combien vaut $u_2$ ?

$u_2 = u_1$
$2$
$3$
$4$
$5$

Sujet complet sur le le site du Kangourou.

Solution sur le même site.

NDLR : plus précisément, un digicode dont le clavier de saisie comporte neuf chiffres.
NDLR : plus précisément, aucun des chiffres utilisés ne représente un nombre multiple de trois.

Valérie Larose enseigne les mathématiques au lycée de Vaison-la-Romaine. Elle est membre de l’équipe de rédaction d’Au fil des maths.

Pour citer cet article : Larose V., « Des problèmes dans nos classes – n° 549 », in APMEP Au fil des maths. N° 549. 25 octobre 2023, https://afdm.apmep.fr/rubriques/recreations/des-problemes-dans-nos-classes-n-549/.