Petites récréations

« Le lecteur s’étonnera peut-être que je me sois amusé à des choses de si petite conséquence, et demandera : À quoi bon ce livre ?
Si ces pages plaisent à quelques savants, si elles intéressent quelques gens du monde, si elles inspirent à quelques jeunes intelligences le goût du raisonnement et le désir des jouissances abstraites, je serai satisfait », disait Édouard Lucas dans la préface de Récréations mathématiques (Paris, mai 1891). Dans cet esprit, Mireille Génin nous propose ici quelques petites récréations réjouissantes !

Mireille Génin

© APMEP Mars 2018

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Avec 45

Trouver le plus petit nombre entier naturel qui est divisible par 45, dont la somme des chiffres est 45 et dont l’écriture décimale se termine par 45.

Vous avez dit produit ?

Leo utilise mal sa calculatrice : au lieu de multiplier, il divise, au lieu de soustraire, il additionne.

Son professeur lui donne deux nombres entiers qui ont au moins 2 chiffres et lui demande d’ôter 255 du produit de ces deux nombres. Par chance, Leo trouve le bon résultat. Quel est-il ?

Trouver ☼

Chaque symbole représente un chiffre.

Somme et produit ?

a et b sont deux nombres entiers strictement positifs tels que a + b + ab = 90, trouver leur produit ab.

Question de logique

D’après la revue Diagonales n°4 2000–2001

Deux nombres a et b sont entiers et strictement positifs. Parmi les quatre affirmations suivantes, trois sont vraies et une est fausse :

• a + 1 est divisible par b,
• a est égal à 2b + 5,
• a + b est divisible par 3,
• a + 7b est premier.

Quels sont les couples (a ; b) possibles ?

Les caméléons

D’après la revue Diagonales n°3 1998–1999

45 caméléons dans une île peuvent prendre l’une de ces trois couleurs : jaune, gris, bleu. Au départ, il y a 17 jaunes, 15 gris et 13 bleus. Lorsque deux d’entre eux sont ensemble, ils cherchent à être de la même couleur :

• ou bien ils ont déjà la même couleur : ils se regardent et voyant qu’ils ont la même couleur, ils la gardent ;
• ou bien ils ont des couleurs différentes : en tel cas, ils prennent tous les deux la troisième couleur. Par exemple deux caméléons de couleur jaune et bleue deviennent gris après leur rencontre.

Est-il possible qu’après un certain nombre de rencontres, les caméléons aient tous la même couleur ?