Matériaux pour une documentation N° 527

© APMEP Mars 2018

Toutes les mathématiques du monde. Flammarion, 2017
de Hervé Lehning

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Le titre peut faire sursauter. « Toutes les mathématiques du monde » ? Vraiment ? Certes l’ouvrage est assez volumineux, mais bien évidemment il ne s’agit pas d’une encyclopédie complète de mathématiques puisque, comme le dit l’auteur, on reconnaît symboliquement à Poincaré le fait d’être le dernier homme à connaître l’ensemble des mathématiques, tant leur extension et leur diversité sont devenues considérables.

Il s’agit là d’une large visite guidée d’une très grande richesse dans le temps et l’espace du monde mathématique.

Pour ce faire, Hervé Lehning raconte des histoires, incarnées par les nombreux mathématiciens, les personnages, les cultures, les époques, autant d’occasions qui ont permis la construction des concepts mathématiques. Au travers de nombreux contextes historiques, variés, avec une part importante et très intéressante des mathématiques dans la société contemporaine, on mesure à quel point les mathématiques sont le fruit d’interrogations, de rencontres, de curiosités, de nécessités, de problèmes concrets ou idéologiques, mais aussi de blocages, d’incompréhensions, d’erreurs, de piétinements.

Le livre contient quatre parties :

1. Les origines
2. La naissance de l’abstraction
3. Au cœur des mathématiques
4. Des mathématiques partout?

On retrouve évidemment les éléments les plus célèbres comme le papyrus Rhind, Ératosthène, la quête des nombres premiers, le zéro et la construction des entiers par Péano, Euler, le théorème de Gödel, les problèmes de Hilbert, etc., mais on découvre aussi des éléments plus rarement évoqués comme l’organisation biologiquement pertinente de la société aborigène pour éviter les consanguinités, le duel entre Tartaglia et Del Fiore à travers des défis mathématiques, ou la flèche des ponts himalayens et des lignes à haute tension par exemple.

Si la première partie suit à peu près un ordre chronologique classique, dans les trois dernières, chaque chapitre est consacré à un thème, souvent posé comme une question ou un problème rencontré : « Le vertige de l’impossible », « Quand l’infini s’invite dans les calculs », « Les défis de l’informatique », « Dompter le hasard et le chaos », « Les mathématiciens sont-ils tous platoniciens ? », « Le vrai, le beau, le bien et le mal chez les mathématiciens », « Les erreurs : bêtises ou clefs du progrès ? », « Peut-on vraiment évaluer l’espérance de vie d’un nourrisson ? », « Les mathématiques financières sont-elles criminelles ? », pour ne citer que quelques exemples attestant de l’imbrication des mathématiques dans les sciences, la philosophie, la vie sociale…

Cette diversité, ainsi que les nombreuses références aux problématiques contemporaines démontrent la vivacité, la spécificité, et l’évolution permanente de cette discipline.

À qui s’adresse ce livre ?

La vulgarisation scientifique en général, et mathématique en particulier, est un exercice particulièrement aigu, nécessitant de faire des choix sur les renoncements que l’on va concéder, sur le style à adopter, sur le niveau des connaissances et les compétences des lecteurs visés.

Dans cet ouvrage, la volonté de l’auteur de balayer un très large contenu et un grand éventail de questions mathématiques (d’où le titre du livre), le tout en 450 pages, rajoute une contrainte forte. Enfin, écrire un livre sur les mathématiques sans donner une place importante au raisonnement et aux démonstrations eût été évidemment impensable.
De tout cela, il en ressort un style souvent très dense et ramassé. On devine l’effort que l’auteur a fourni pour chercher à synthétiser en un minimum de phrases, en particulier les démonstrations : il en est parfois donné simplement l’idée principale ; lorsqu’elle est complète, elle manque singulièrement d’explicitations pour qu’un lecteur non familier du langage et des objets mathématiques puisse suivre facilement le raisonnement.
On observe également une assez grande hétérogénéité du niveau du discours adopté selon les chapitres. Il peut être quelquefois élémentaire avec un souci de définir le vocabulaire employé, ou au contraire dans un langage mathématique utilisé entre pairs. Le chapitre La délicate définition de la notion de fonction en est un exemple. C’est un choix compréhensible mais qui peut dérouter.

L’auteur le concède d’ailleurs dans son introduction :

« Gare au retournement de neurones ! Il faudra ponctuellement vous accrocher pour percevoir toute la beauté du monde mathématique. »
Mais, concernant les calculs, il rassure ensuite : « Cependant, comprendre toutes les subtilités des équations n’est pas nécessaire pour saisir le sens des concepts sous-jacents. Le texte est écrit pour rester compréhensible si on les prend comme de pures illustrations ». On peut regretter quand même que l’écriture n’ait pas cherché à être systématiquement pédagogique.

Globalement, le livre s’adresse aux lecteurs ayant déjà des connaissances en mathématiques, disons celles d’un élève de filière scientifique assez dégourdi, habitué aux formulations et au langage mathématique usuels.
Quant au professeur de mathématiques, il trouvera dans cet ouvrage une mine d’exemples pour contextualiser avec grand profit les mathématiques qu’il enseigne.

À la fin du livre figurent une bibliographie très riche et un index complet et bien utile.

Pour tous les lecteurs, l’ouvrage fait percevoir à quel point les mathématiques sont vivantes, et s’inscrivent totalement dans l’histoire de l’humanité et celle des idées. Il permet aussi aux citoyens curieux, de comprendre ce qu’est « La Mathématique », son essence, sa nature, sa vocation, sa multiplicité, faisant ainsi œuvre d’utilité publique pour la culture générale.

Rémy Coste

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