Matériaux pour une documentation
N° 533

© APMEP Septembre 2019

Probablement approximativement correct

  Leslie Vaillant, Éditions Cassini, 2018

Imprécis de vocabulaire mathématique

  Léo Larroche, Les éditions d’Athénor, 2018

Les oscillations de Joseph Fourier

  Emmanuel Marie et Emmanuel Cerisier, Éditions Petit à Petit, 2018

Qu’est-ce que les mathématiques ?

  Richard Courant et Herbert Robbins, Éditions Cassini, 2005

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Probablement approximativement correct

Leslie Vaillant, Éditions Cassini, 2018

ISBN 978-2-84225-235-9, 288 pages, 18 €.

Leslie Vaillant est professeur d’informatique théorique à l’université d’Harvard. Il a reçu de nombreux prix, dont le prix Turing récompensant une personne pour ses apports majeurs et durables à la communauté informatique.

Dans cet ouvrage, l’auteur propose une analyse et une synthèse générale de ce qu’il y a d’algorithmique et de processus relevant du calcul dans le domaine du vivant, que ce soit dans les mécanismes complexes de l’évolution, de l’adaptation, de l’apprentissage, de la constitution de concepts, de l’intelligence. Il définit ce qu’il appelle des écorithmes, formes d’algorithmes qui diffèrent des algorithmes « mathématiques » par le fait qu’ils ne reposent pas sur un cadre théorique construit préalablement. Il en résulte que, à l’inverse des algorithmes mathématiques, l’efficacité des écorithmes et la certitude de leur aboutissement ne peut pas être validée ou démontrée a priori par une preuve indiscutable. Pour autant, la performance de ces mécanismes interagissant avec l’environnement est, de façon étonnante, particulièrement remarquable, d’où le titre du livre. Au point que, sans remettre en cause la théorie de Darwin dans laquelle l’aléatoire est essentiel, Leslie Vaillant estime qu’elle est insuffisante pour expliquer cet étonnant « élan vers la complexité » comme disait Albert Jacquart. Il faut donc comprendre les mécanismes et les interactions automatiques qui opèrent, les écorithmes. Au passage, l’auteur décrit la manière de classer les problèmes par des critères de complexité. À de nombreuses reprises l’œuvre de Turing est évoquée pour soutenir de nombreux arguments, et on comprend à cette occasion combien ce scientifique a été un pionner visionnaire.

Au cours de son ouvrage, Leslie Vaillant brasse un grand nombre de concepts : l’induction, le bon sens, l’inné et l’acquis, la calculabilité, l’intelligence artificielle, etc. À la fin du livre, il se livre à des spéculations scientifiques et philosophiques sur les machines expertes, l’intelligence artificielle et l’avenir de l’homme qui suscitent beaucoup d’interrogations. Le tout donne un ouvrage dont la lecture est assez dense, d’autant que les exemples qui pourraient la rendre plus fluide sont assez peu nombreux. Cependant, il mérite de s’accrocher tant les questions abordées sont essentielles et la thèse établissant le lien entre l’évolution des espèces et l’intelligence artificielle surprenante.

Rémy Coste

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Imprécis de vocabulaire mathématique

Léo Larroche,
dessins de Jean-Pierre Larroche

Les éditions d’Athénor, 2018
ISBN 978-2-9554919-2-5, 132 pages, 22 €

Bien curieux ouvrage que celui-ci !

Terriblement original et qui ne s’apparente à aucun genre connu, ou — ce qui revient au même — qui peut être rattaché à de multiples genres :

  • ouvrage d’art comme en atteste le grammage du papier, le bicolorisme esthétique et le style des pages de dessin ;

  • ouvrage de linguiste comme en atteste son déguisement en dictionnaire, avec des entrées par les mots (des adjectifs en fait) sagement rangés en ordre alphabétique;

  • pièce de théâtre puisque chaque mot est décrit à travers une saynète légèrement surréaliste où, par la bouche de personnages (qui peuvent être des objets, des animaux, des personnes… et beaucoup d’autres choses encore.), on assiste à une conversation de mathématiciens autour d’un des mots de leur vocabulaire.

Ce livre est né de la rencontre entre les mathématiciens du laboratoire Jean Leray de l’Université de Nantes et une compagnie de théâtreux « les ateliers du spectacle ». Le livre est issu de la curiosité quasi zoologique engendrée chez ces artistes par cette rencontre avec les mathématiciens. En sont nés aussi un spectacle, « l’apéro mathématique », ainsi que des « impromptus scientifiques », mi-causerie, mi-échange avec le public.

Les mots qui sont au cœur de ce livre ne sont pas les mots du type de ceux qui suivent le mot DÉFINITION, dans un cours de mathématiques classique. Ce sont les autres. Quels autres ? Ceux qu’on trouve fréquemment dans la bouche des mathématiciens professionnels, qu’ils utilisent couramment entre eux avec un certain consensus et qui étonnent le spectateur occasionnel.

J’illustrerai mon propos par quelques exemples. Vous avez fait des études de maths, donc vous avez déjà rencontré dans la bouche d’un de vos professeurs l’adjectif « élégante » attribué à une preuve, ou « triviale », ou « lourde ». Vous avez entendu parler d’un « beau » théorème ou encore d’un exemple « pathologique ». C’est à partir de dialogues autour de ce genre d’adjectifs qu’est construit l’ouvrage. En décortiquant pour le lecteur un certain nombre de ces mots qui traînent leurs syllabes dans les laboratoires de mathématiques, les auteurs nous font entrer à leur suite dans un monde qui, visiblement, les a fascinés.

Mais à qui donc s’adresse ce livre ? Pas franchement au grand public, auprès duquel il risque de renforcer certains stéréotypes du matheux, à savoir un être étrange et vraiment pas comme tout le monde, tortueux au point de s’être bâti, en sus du langage indispensable à sa discipline, un langage supplémentaire que seuls ses pairs savent interpréter. Il s’adresse plutôt à ceux qui, à un moment donné, ont côtoyé le monde des mathématiques en création. Par exemple, nous, les profs de maths et tous ceux qui furent à nos côtés sur les bancs de l’université. Et c’est peut-être là son plus gros défaut : il incite à faire naître un entre soi de bon aloi, le réconfortant sentiment des gens qui se comprennent… Et là où ça devient désagréable, c’est quand on ne comprend plus. Certains points me sont restés assez obscurs — en particulier les choix faits pour les personnages incarnant les mathématiciens et représentés dans le grand tableau central de la « galerie des rôles ». Et, de ce fait, je me suis sentie à mon tour du côté des exclus. Même si j’ai (vaguement) perçu les intentions dans certains cas, je suis incapable d’en interpréter la plupart, sauf à juste penser que c’est de l’art. Certes c’est rigolo de choisir de faire converser autour des habitudes de langage des mathématiciens un entier et son double, un pantalon de soie et une chemise à fleurs, l’œuf avec la poule ou un rhumatologue avec un cardiologue et un pneumologue. Cela donne lieu à de belles illustrations. Mais cela prend le risque de laisser le lecteur (moi en l’occurrence) se sentir bête, ce qui ne lui fait pas plaisir.

Ainsi, l’objectif de faire rentrer un lecteur lambda dans le monde merveilleux des laboratoires de mathématiques ne me semble donc pas complètement atteint. En revanche, on peut recommander ce livre pour faire rire ceux qui, comme nous, ont tangenté ce monde à un certain moment de leur existence et sans doute aussi faire réfléchir ceux qui vivent dans ce cadre professionnel un peu particulier. La qualité de la présentation et l’originalité de la tentative méritent qu’on s’y arrête.

Claudie Asselain-Missenard

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Les oscillations de Joseph Fourier

Emmanuel Marie et Emmanuel Cerisier,

Éditions Petit à Petit, 2018

ISBN 979-10-95670-77-3, 64 pages, 16,90 €.

Les oscillations de Joseph Fourier, réalisé sous la direction scientifique de Hervé Pajot, est édité par la maison d’édition Petit à Petit .

Comme son titre l’indique, cet ouvrage est consacré à la vie du mathématicien Joseph Fourier (1768-1830).

La structure du livre peut surprendre les lecteurs : il ne s’agit ni d’une bande dessinée, ni d’un livre d’histoire, ni d’une BD assortie d’une annexe explicative mais d’un « docu-BD » alternant les deux types d’expression.
La vie de Fourier a ainsi été découpée en dix chapitres, chacun traité au moyen d’une bande dessinée de trois pages et de deux pages documentaires donnant des repères chronologiques, le contexte historique et des éléments d’explication des concepts scientifiques évoqués  : le problème des cordes vibrantes, celui de la propagation de la chaleur et, bien sûr, la décomposition de Fourier.

La partie dessinée, œuvre d’Emmanuel Marie pour le scénario et d’Emmanuel Cerisier pour le dessin, est agréable à lire; elles est réalisée dans un style assez classique de BD historique, rappelant par son graphisme et ses choix chromatiques l’Arno d’André Juillard, pour ne citer qu’une référence.

Les pages documentaires sont aussi plaisantes, elles précisent le paysage historique dans lequel s’inscrit la vie du héros. On regrettera cependant le choix éditorial d’une taille de caractères nécessitant l’achat d’une loupe puissante ou réservant la lecture aux heureux lecteurs disposant de l’acuité visuelle d’un pilote de chasse. La rédaction de chaque chapitre a été confiée à un auteur différent. Il résulte de ce choix une certaine variété des approches mais aussi quelques redites, non gênantes.

Il ne faut pas attendre de cet ouvrage une présentation approfondie des travaux de Fourier. La dimension historique du personnage est clairement privilégiée. Il faut dire que la destinée de Joseph Fourier est pour le moins étonnante : né sous Louis XV, mort sous Charles X, la Révolution le soustrait à un avenir de moine bénédictin; il suivra Bonaparte en Égypte, sera préfet de l’Isère, fondateur et recteur de l’Université de Grenoble, sociétaire de l’Académie des Sciences, de l’académie Française et de la Royal Society, et évidemment l’un des plus grands mathématiciens de son temps. Fourier fut le contemporain et l’ami de Champollion et de Sophie Germain.

Cet ouvrage constitue un livre plaisant, instructif, qui a évidemment sa place dans tous les CDI et qui constitue une très bonne idée de cadeau ou de prix pour un concours mathématique.

Pol Le Gall

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Qu’est-ce que les mathématiques ?
Une introduction élémentaire aux idées et aux méthodes

Richard Courant et Herbert Robbins.

Éditions Cassini, 2005.
ISBN 978-2-84225-204-5, 576 pages, 24 €.

En 1941, les mathématiciens américains Richard Courant (1887-1972) et Herbert Robbins (1915-2001) ont unis leurs efforts pour écrire et publier un livre intitulé What is mathematics ? An elementary approach to ideas and methods. Ce livre, qui s’appuyait sur les supports de cours de Richard Courant, est devenu un très grand classique de l’édition mathématique et a été traduit dans de nombreuses langues.

En 2015, les éditions Cassini en ont proposé une édition française basée sur l’édition de 1947. Cette édition contient également les notes ajoutées par le mathématicien britannique Ian Stewart à l’édition de 1996 pour montrer les changements intervenus en mathématique depuis 1941. La traduction (remarquable !) a été assurée par Marie Anglade et Karin Py.

Comme le titre le laisse entendre, l’ouvrage est une introduction aux mathématiques et à ses méthodes. Ses deux auteurs visent à donner à leurs lecteurs une « compréhension réelle des mathématiques comme un tout organique et comme le fondement de la pensée et de l’action scientifique ». Bien que très rigoureux, le livre s’adresse à un public très large. La préface de l’édition de 1941 contient ces lignes qui éclairent le projet des auteurs : « ce livre est écrit pour les débutants et pour les érudits, pour les étudiants et pour les enseignants, pour les philosophes et pour les ingénieurs, pour la salle de classe et pour la bibliothèque. Dans la mesure où il ne suppose aucune autre connaissance que celles que délivre un bon lycée, on peut le considérer comme un bon livre de vulgarisation. Mais il ne constitue en aucun cas une concession à cette tendance qui vise à bannir tout effort. ». Trois quarts de siècle plus tard, on peut affirmer que le pari a été réussi et que le livre tient toujours ses promesses.

Le livre de Richard Courant comprend une introduction, huit chapitres, une bibliographie (six pages) et un index (neuf pages). Les chapitres se suivent dans un ordre bien déterminé « mais il n’est absolument pas nécessaire que le lecteur le lise page après page, chapitre après chapitre. Les chapitres sont en grande partie indépendants les uns des autres. Les débuts de section sont le plus souvent faciles d’accès puis cela se complique progressivement, les fins de chapitre et leurs compléments pouvant être assez ardus ». Le tableau qui suit donne une idée de la structure et du contenu des chapitres.

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N° du chapitre Titre du chapitre Aperçu du contenu
Introduction Qu’est-ce que les mathématiques ? Introduction historique et philosophique.
I

Théorie des nombres.

Les entiers naturels. Les nombres premiers.
Les congruences. L’algorithme d’Euclide et ses conséquences.

II

Le système des nombres.
L’algèbre des ensembles.

Les nombres rationnels, les nombres irrationnels, les nombres complexes, les nombres algébriques et transcendants.

III

Constructions géométriques.
Corps de nombres.

Les constructions géométriques à la règle et au compas. Nombres constructibles et corps de nombres. L’inversion géométrique.

IV

Géométrie projective.
Axiomatique.

Coniques et quadriques. Axiomatique et géométrie non euclidienne. La géométrie en dimension supérieure à trois.

V Topologie.

Propriétés topologiques des figures. La classification topologique des surfaces. Le théorème des cinq couleurs.

VI Fonctions et limites.

Définition précise de la continuité. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues.

VII Maxima et minima.

Points stationnaires et calcul différentiel. Existence d’un extremum. Le calcul des variations.

VIII Le calcul infinitésimal.

L’intégrale. La dérivée. Le théorème fondamental de l’analyse. Équations différentielles. Les séries.

Cet ouvrage a reçu de nombreux commentaires élogieux. On peut citer ceux d’Albert Einstein1, d’Hermann Weyl2 et, plus près de nous, de Cédric Villani3.

En raison de ses qualités exceptionnelles, Qu’est-ce que les mathématiques ? devrait être présent dans la bibliothèque de chaque enseignant de mathématique et figurer dans les CDI des lycées. Sa lecture, bien qu’un peu difficile pour les lycéens, doit leur être vivement conseillée ainsi qu’aux élèves des classes préparatoires.

Michel Rousselet

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    1. « Une présentation lumineuse des notions et des méthodes fondamentales de l’ensemble des mathématiques ».

    2. « C’est une œuvre proche de la perfection. Il est étonnant de voir à quel point Qu’est-ce que les mathématiques ? réussit à rendre claires au moyen d’exemples très simples toutes les idées fondamentales et toutes les méthodes que nous mathématiciens considérons comme le fluide vital de notre science ».

    3. « Voici, enfin disponible en français, une fresque à nulle autre pareille, pleine de souffle et parsemée de joyaux étincelants, qui a résisté à l’épreuve du temps ».

Pour citer cet article : Asselain-Missenard C., Coste R., Le Gall P. et Rousselet M., « Matériaux pour une documentation – 533 », in Au Fil des Maths (APMEP), 28 décembre 2019, https://afdm.apmep.fr/rubriques/temps/materiaux-pour-une-documentation-533/.

Une réflexion sur « Matériaux pour une documentation – 533 »

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