Mathématiques et épidémies

Mathématiques et épidémies

Nicolas Bacaër
Éditeur : Cassini
Parution : octobre 2021
15,1\(\times\)22,6 cm
308 pages
Prix : 28 €
ISBN : 978-2-84225-279-3

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L’utilisation des mathématiques pour analyser et mieux comprendre la propagation d’une épidémie n’est pas une idée nouvelle. Au XVIII^e siècle, la variole ou « petite vérole » était redoutée car un tiers de ceux qui avaient contracté la maladie en mouraient et ceux qui survivaient étaient généralement défigurés. Une technique pourtant, celle de la variolisation, offrait la perspective de créer une certaine immunisation contre la maladie. Elle consistait à inoculer une forme moins virulente de la maladie à une personne en espérant la protéger. Le résultat restait cependant aléatoire et risqué, le taux de mortalité pouvant atteindre 1 ou 2%. La question se posait donc de savoir s’il fallait ou non développer cette technique. C’est pour répondre à cette question que le médecin, physicien et mathématicien suisse Daniel Bernoulli (1700-1782) a publié en 1766 un article intitulé Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole, et des avantages de l’inoculation pour la prévenir¹ qui démontrait que le bilan de l’inoculation serait finalement bénéfique à la nation. Daniel Bernoulli est arrivé à cette conclusion après avoir mobilisé toutes les ressources du calcul différentiel et intégral de son époque². Après une période d’oubli, la modélisation mathématique des épidémies n’est revenue au premier plan que dans la première moitié du XX^e siècle.

Comme on pouvait s’y attendre, elle a connu un nouvel essor avec l’irruption d’une nouvelle pandémie, celle du Covid-19.

Une introduction à la modélisation mathématique des épidémies

Docteur ès sciences, chargé de recherches à l’IRD en biomathématiques, Nicolas Bacaër est un spécialiste de la dynamique des populations et de la modélisation des épidémies. Il a déjà publié, en 2008, aux éditions Cassini, une Histoire de mathématiques et de population. Il publie aujourd’hui, toujours aux éditions Cassini, un livre intitulé Mathématiques et épidémies. Cet ouvrage, qui se veut une introduction à la modélisation mathématique des épidémies, comporte 308 pages et 19 chapitres qui peuvent être lus presque indépendamment les uns des autres. Chaque chapitre débute par un résumé qui permet au lecteur de se faire une idée de son contenu.

En fait, le livre se divise en trois parties. La première, qui comprend les cinq premiers chapitres, traite des modèles qui ont été élaborés dans la première moitié du XX^e siècle. La seconde qui s’étend du chapitre 6 au chapitre 16, étudie les effets de la saisonnalité, avec des applications au chikungunya, à la leishmaniose et à une épidémie historique de peste en Inde.

La dernière partie ajoute aux effets de la saisonnalité la prise en compte du hasard, nécessaire pour les petits effectifs et pour estimer le temps d’extinction d’une épidémie.

À l’exception de la première partie, la lecture du livre suppose chez le lecteur des connaissances du niveau d’un master première année de mathématiques.

Que peut apporter la modélisation d’une épidémie ?

Fondée sur des hypothèses réalistes, la modélisation mathématique des épidémies apporte des réponses argumentées aux questions qu’on se pose nécessairement à leur sujet : quels sont les paramètres qui influent sur sa propagation ? Comment une épidémie se termine-t-elle ? Au bout de combien de temps ? Une épidémie connaît-elle nécessairement une phase de décroissance ? Y a-t-il un ou plusieurs pics épidémiques ? Quelle fraction de la population totale sera touchée par l’épidémie ?

Par la force des choses, les modèles mathématiques reposent toujours sur des hypothèses simplificatrices qui doivent donc être validées par la confrontation des résultats obtenus avec la réalité. S’ils sont en accord avec l’expérience, les modèles permettent alors aux pouvoirs publics comme aux spécialistes de santé de justifier les mesures qui sont prises, confinement, gestes barrières ou vaccination par exemple.

Un modèle simple mais riche, le modèle S\(-\)I\(-\)R

Pour que le lecteur découvre comment est élaboré un modèle mathématique d’une épidémie, nous suivrons Nicolas Bacaër dans la présentation qu’il fait d’un modèle relativement simple, le modèle \(S{-}I{-}R\) qui trouve son origine dans les travaux effectués en 1927 par le biochimiste William Kermack (1898–1970) et par le médecin Anderson McKendrick (1876–1943), tous les deux écossais.

Le modèle S\(-\)I\(-\)R
On considère une population rigoureusement homogène de taille importante dont l’effectif \(N\) reste néanmoins constant sur toute la période étudiée. Cette population, qui connaît le début d’une épidémie, est partagée à chaque instant en trois groupes disjoints appelés compartiments : le groupe \(S\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(S(t)\), comprend toutes les personnes saines et susceptibles d’être contaminées ; le groupe \(I\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(I(t)\), comprend toutes les personnes infectées et contagieuses ; le groupe \(R\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(R(t)\), comprend toutes les personnes qui ne participent plus au processus de contamination parce qu’elles sont immunisées ou décédées ou encore placées en confinement (recovered en anglais). On suppose qu’il n’existe aucune immunité au temps \(t=0\). On suppose également qu’une personne qui a été infectée une première fois et qui est guérie ne sera pas contaminée une seconde fois ! L’évolution de ces trois groupes dans le temps dépend de deux paramètres accessibles à des mesures expérimentales : le paramètre \(a\), avec \(a> 0\), appelé taux de contact, est le produit du nombre de contacts par unité de temps par la probabilité de transmission de la maladie lors d’un contact entre une personne saine et une personne infectée ; le paramètre \(b\), avec \(b> 0\), désigne le taux de passage du groupe \(I\) au groupe \(R\). Dans le modèle \(S{-}I{-}R\), le nombre \(\mathscr{R}_0\), que l’auteur appelle reproductivité, est par définition égal à \(\dfrac{\mathstrut a}{\mathstrut b}\cdotp\) Ce paramètre ³ représente le nombre de personnes qu’une personne infectée peut contaminer au début de l’épidémie. Comme l’effectif total de la population est suffisamment grand, on peut considérer que les effectifs des trois compartiments sont des fonctions continues du temps et caractériser leur évolution par le système d’équations différentielles suivant ⁴ : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \dfrac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}& =& -aS(t)\dfrac{I(t)}{N}\\[8pt] \dfrac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}& =& aS(t)\dfrac{I(t)}{N}-bI(t)\\[8pt] \dfrac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}& =& bI(t)\\[8pt] S(t)+I(t)+R(t)& =& N \end{array}\right.\] Comme il se doit, les solutions d’un tel système dépendent des conditions initiales qui sont \(S(0)=N-I(0)\), \(I(0)\) et \(R(0)=0\). En général, \(I(0)\) est un nombre relativement petit. Après avoir développé les calculs ⁵ nécessaires à la prévision du comportement dans le temps des trois fonctions \(t\longmapsto S(t)\), \(t\longmapsto I(t)\) et \(t\longmapsto R(t)\), l’auteur présente un exemple détaillé. Après avoir choisi \(N=65\times10^5\), \(I(0)=1\), \(a={0,5}{\text{ jour}}^{-1}\) et \(b=\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut4}\) par jour, il montre les courbes qui représentent les fonctions \(S\), \(I\) et \(R\) pour \(t\) variant de \(0\) à \(+\infty\). La construction de ces courbes a été faite avec le logiciel libre Scilab après traitement du système différentiel. Une simulation du modèle S−I−R avec en abscisse le temps t en jours. On observe sur cet exemple que les effectifs des compartiments \(S\) et \(R\) tendent vers une limite tandis que, après avoir connu un pic, l’épidémie régresse et disparaît puisque l’effectif du compartiment \(I\) tend vers \(0\). On peut interpréter facilement les paramètres \(a\) et \(b\) : puisque \(\dfrac{1}{a}=2\) c’est qu’une personne infectée en contamine une autre en moyenne tous les deux jours et puisque \(\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut b}=4\) c’est que la durée moyenne d’infection est 4 jours. Il en résulte que, dans cet exemple, \(\mathscr{R}_0=\dfrac{\mathstrut a}{\mathstrut b}=2\). Remarque : on obtient des modèles plus complexes en ajoutant de nouveaux compartiments qui seront alors accompagnés de nouvelles hypothèses. Par exemple, dans le modèle \(S{-}E{-}I{-}R\) on ajoute au modèle \(S{-}I{-}R\) un quatrième compartiment \(E\) qui regroupe les personnes saines en phase de latence avant de devenir contagieuses.

Le modèle S\(-\)I\(-\)R

On considère une population rigoureusement homogène de taille importante dont l’effectif \(N\) reste néanmoins constant sur toute la période étudiée. Cette population, qui connaît le début d’une épidémie, est partagée à chaque instant en trois groupes disjoints appelés compartiments :

le groupe \(S\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(S(t)\), comprend toutes les personnes saines et susceptibles d’être contaminées ;
le groupe \(I\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(I(t)\), comprend toutes les personnes infectées et contagieuses ;
le groupe \(R\), dont l’effectif à l’instant \(t\) est \(R(t)\), comprend toutes les personnes qui ne participent plus au processus de contamination parce qu’elles sont immunisées ou décédées ou encore placées en confinement (recovered en anglais).

On suppose qu’il n’existe aucune immunité au temps \(t=0\). On suppose également qu’une personne qui a été infectée une première fois et qui est guérie ne sera pas contaminée une seconde fois !

L’évolution de ces trois groupes dans le temps dépend de deux paramètres accessibles à des mesures expérimentales :

le paramètre \(a\), avec \(a> 0\), appelé taux de contact, est le produit du nombre de contacts par unité de temps par la probabilité de transmission de la maladie lors d’un contact entre une personne saine et une personne infectée ;
le paramètre \(b\), avec \(b> 0\), désigne le taux de passage du groupe \(I\) au groupe \(R\).

Dans le modèle \(S{-}I{-}R\), le nombre \(\mathscr{R}_0\), que l’auteur appelle reproductivité, est par définition égal à \(\dfrac{\mathstrut a}{\mathstrut b}\cdotp\) Ce paramètre ³ représente le nombre de personnes qu’une personne infectée peut contaminer au début de l’épidémie.

Comme l’effectif total de la population est suffisamment grand, on peut considérer que les effectifs des trois compartiments sont des fonctions continues du temps et caractériser leur évolution par le système d’équations différentielles suivant ⁴ : \[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{d}t}& =& -aS(t)\dfrac{I(t)}{N}\\[8pt]
\dfrac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}& =& aS(t)\dfrac{I(t)}{N}-bI(t)\\[8pt]
\dfrac{\mathrm{d}R(t)}{\mathrm{d}t}& =& bI(t)\\[8pt]
S(t)+I(t)+R(t)& =& N
\end{array}\right.\]

Comme il se doit, les solutions d’un tel système dépendent des conditions initiales qui sont \(S(0)=N-I(0)\), \(I(0)\) et \(R(0)=0\). En général, \(I(0)\) est un nombre relativement petit.

Après avoir développé les calculs ⁵ nécessaires à la prévision du comportement dans le temps des trois fonctions \(t\longmapsto S(t)\), \(t\longmapsto I(t)\) et \(t\longmapsto R(t)\), l’auteur présente un exemple détaillé. Après avoir choisi \(N=65\times10^5\), \(I(0)=1\), \(a={0,5}{\text{ jour}}^{-1}\) et \(b=\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut4}\) par jour, il montre les courbes qui représentent les fonctions \(S\), \(I\) et \(R\) pour \(t\) variant de \(0\) à \(+\infty\). La construction de ces courbes a été faite avec le logiciel libre Scilab après traitement du système différentiel.

Une simulation du modèle S−I−R avec en abscisse le temps t en jours.

On observe sur cet exemple que les effectifs des compartiments \(S\) et \(R\) tendent vers une limite tandis que, après avoir connu un pic, l’épidémie régresse et disparaît puisque l’effectif du compartiment \(I\) tend vers \(0\).

On peut interpréter facilement les paramètres \(a\) et \(b\) : puisque \(\dfrac{1}{a}=2\) c’est qu’une personne infectée en contamine une autre en moyenne tous les deux jours et puisque \(\dfrac{\mathstrut1}{\mathstrut b}=4\) c’est que la durée moyenne d’infection est 4 jours. Il en résulte que, dans cet exemple, \(\mathscr{R}_0=\dfrac{\mathstrut a}{\mathstrut b}=2\).

Remarque : on obtient des modèles plus complexes en ajoutant de nouveaux compartiments qui seront alors accompagnés de nouvelles hypothèses. Par exemple, dans le modèle \(S{-}E{-}I{-}R\) on ajoute au modèle \(S{-}I{-}R\) un quatrième compartiment \(E\) qui regroupe les personnes saines en phase de latence avant de devenir contagieuses.

Conclusion

L’ouvrage de Nicolas Bacaër est le premier livre en français qui présente en détail ce que sont les modèles mathématiques des épidémies. Il est clair et rigoureux. On ne peut que le conseiller à tous ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances dans ce domaine des mathématiques appliquées. Il faut conseiller au moins la lecture des cinq premiers chapitres à tous les professeurs de mathématiques, qu’ils enseignent dans un collège ou au lycée.

La possibilité de « discrétiser » le modèle \(S{-}I{-}R\) fait qu’on peut utiliser un tableur ou un langage de programmation pour construire un modèle et en faire varier les paramètres. Le lecteur intéressé par cette possibilité pourra consulter le texte Mathématiques et épidémies composé en 2015 par des élèves de Quatrième et de Troisième, dans le cadre d’un atelier Maths en jeans : .

On pourra lire également dans le HS n°27 du magazine Tangente, Le temps, le compte rendu d’un TPE, La propagation de la peste : un modèle de système dynamique, rédigé en 2005-2006 par des élèves de Première S avec l’aide de Norbert Verdier.

Michel Rousselet

Voir l’article de Nicolas Bacaër Daniel Bernoulli et la modélisation de la variole dans Tangente HS 58 Maths et médecine.↩︎
Il faudra attendre 1796 pour que le médecin anglais Edward Jenner (1749-1823) mette au point un vaccin contre la variole.↩︎
Une épidémie ne peut pas se propager si \(\mathscr{R}_0\) est strictement inférieur à 1. ↩︎
Dans des modèles plus complexes, on pourra avoir des équations aux dérivées partielles.↩︎
On démontre par exemple que la fraction maximum r de la population qui sera touchée par l’épidémie est la solution approchée de l’équation 1 − r = exp(− \(\mathscr{R}_0\) × r) si N est assez grand. Cette équation possède toujours la solution τ = 0 mais admet une autre solution pour \(\mathscr{R}_0\) > 1.↩︎

Pour citer cet article : Rousselet M., « Mathématiques et épidémies », in APMEP Au fil des maths. N° 543. 17 janvier 2022, https://afdm.apmep.fr/rubriques/temps/mathematiques-et-epidemies/.

Une introduction à la modélisation mathématique des épidémies

Que peut apporter la modélisation d’une épidémie ?

Un modèle simple mais riche, le modèle S\(-\)I\(-\)R

Conclusion

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