Une ressource pour l’option
mathématiques complémentaires
Vous enseignez en mathématiques complémentaires en Terminale ou dans le Supérieur ? Charlotte Derouet présente une ressource en ligne à tester sans modération avec vos élèves.
Charlotte Derouet
© APMEP Décembre 2022
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L’enseignement optionnel de mathématiques complémentaires en Terminale, en vigueur depuis la rentrée 2020, propose une entrée non pas par les contenus mathématiques mais par les thèmes d’étude :
- modèles définis par une fonction d’une variable ;
- modèles d’évolution ;
- approche historique de la fonction logarithme ;
- calculs d’aires ;
- répartition des richesses, inégalités ;
- inférence bayésienne ;
- répétition d’expériences indépendantes, échantillonnage ;
- temps d’attente ;
- corrélation et causalité.
Comme précisé dans le programme de cet enseignement 
, les thèmes d’étude du programme proposent une approche nouvelle, avec des problèmes issus des autres disciplines ou internes aux mathématiques. Les compétences de modélisation et de communication sont particulièrement mises en valeur, mais toutes les compétences mathématiques sont mobilisées, notamment le raisonnement et la capacité à construire une démonstration.
Dans cet article, nous présentons brièvement la ressource en ligne1 « Une ressource pour l’option mathématiques complémentaires : une séquence articulant les thèmes “Calculs d’aires” et “Temps d’attente” » [1] .
Contexte de la conception
Cette ressource est le fruit d’un travail collaboratif réalisé de 2014 à 2022 entre une chercheuse en didactique des mathématiques et des enseignantes de mathématiques de lycée. Dans un premier temps, la séquence proposée a été conçue et expérimentée dans le cadre d’une thèse de doctorat en didactique des mathématiques [2]. Elle a été co-construite avec une enseignante de Terminale S au cours de l’année 2014-2015, puis a été testée par plusieurs enseignantes dans le cadre du programme de Terminale S de 2012. Depuis 2021, elle a été adaptée et expérimentée dans le cadre du programme de l’enseignement optionnel de mathématiques complémentaires de Terminale au sein du laboratoire de mathématiques du lycée Blaise Pascal de Colmar2. La version actuelle du site prend en compte le programme et le contexte de cette option.
Idée générale de la séquence
La séquence articule à la fois les notions mathématiques de lois à densité et de calcul intégral. Son objectif est de motiver l’apprentissage du calcul intégral et notamment le calcul d’aires sous une courbe, par le biais de l’étude de problèmes probabilistes. Deux problèmes de modélisation introduisent cette séquence, tous deux s’intéressant à des temps d’attente.
| Problème 1 |
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| Karine et Olivier décident de se retrouver au café de l’Hôtel de Ville entre 7 h et 8 h. Ils peuvent arriver à tout moment entre 7 h et 8 h. Que peut-on dire du temps d’attente du premier arrivé ? |
| Problème 2 |
|---|
| Le volcan Aso, situé sur l’île de Kyushu au Japon, est l’un des volcans les plus actifs au monde. On possède un relevé précis de ses éruptions, régulièrement tenues depuis le XIIIe siècle. Nous nous intéressons au temps écoulé entre deux éruptions successives. |
Le calcul intégral n’est pas un prérequis pour les lois à densité ; au contraire ce sont des problèmes probabilistes qui vont motiver le calcul intégral. Pour cela, l’enjeu de la séquence est de donner du sens à la notion de fonction de densité.
En mathématiques complémentaires, la séquence peut durer environ six semaines. Le plan de la séquence est présenté ci-dessous :
| Titre | Durée | Contenu | |
|---|---|---|---|
| En amont3 : quelques semaines/mois avant (anticipations), au moment des équations différentielles. | Fonctions exponentielles décroissantes. | Allure des représentations graphiques des fonctions exponentielles décroissantes. | |
| En amont : peut être fait quelques semaines/mois avant (anticipations), après l’étude des suites. | Paradoxe de l’infini fini. | 2 h | Aborder la problématique de l’aire finie d’un domaine infini. |
| 1 | Histogramme. | 2 h | Nouvelle rencontre avec les histogrammes. Identifier l’axe des ordonnées comme représentant la densité de fréquence. |
| 2 | Problème du point mobile. | 1 h–1 h 30 | Première rencontre avec une variable aléatoire continue. Loi uniforme sur un intervalle. Identification d’une «courbe de tendance». |
| 3 | Problème de la rencontre. | 2 h–3 h | Introduction de la notion de fonction de densité. Calculs de probabilités/calculs d’aires élémentaires. |
| 4 | Problème du volcan Anso. | 2 h–3 h | Réinvestissement des propriétés de la fonction de densité. Calculs de probabilités/calculs approchés d’aires. Méthode des rectangles. |
| 5 | Cours et exercices. |
Nous ne présentons pas ici plus précisément le contenu des séances. Pour cela, vous pouvez vous rapporter au site mais aussi à [3] ou à [4].
L’approche choisie met en avant la compétence Modéliser en partant systématiquement de situations concrètes. De plus, la compétence Communiquer (particulièrement à l’oral) est fortement mobilisée, notamment avec des mises en commun après un temps de recherche se déroulant comme un Grand Oral, de reformulations d’une démarche, d’échanges interactifs, de débats… Les compétences Chercher, Raisonner et Représenter sont aussi sollicitées ; en revanche, la compétence Calculer, bien que présente, n’est pas l’objectif principal contrairement à l’approche traditionnelle du calcul intégral.
Que trouve-t-on sur le site ?
Sur le site, après l’introduction et la présentation générale de la séquence, vous trouverez une rubrique par problème. Pour chacun d’entre eux, nous avons détaillé les objectifs, présenté son analyse a priori et fait une ou des propositions de déroulement. Différents déroulements ont effectivement pu être testés.
Pour que la ressource soit utile et utilisable par les enseignants, nous avons essayé de varier les supports, de mettre à disposition l’ensemble des documents nécessaires pour les élèves et les enseignants, de mettre des vidéos d’explication…
Vous trouverez aussi une bibliographie en lien avec le sujet.
Un des défis de concevoir une ressource est d’en dire suffisamment pour outiller l’enseignant mais pas trop pour ne pas le décourager ! Nous espérons avoir réussi à trouver cet équilibre et souhaitons que cette ressource pourra être une source d’inspiration pour enseigner en classe de mathématiques complémentaires.
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Cette ressource en ligne a été créée dans le cadre du projet Co@Diff (2018-2020) soutenu par le GIS Éducation et Formation de l’INSPÉ de Strasbourg.
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Les collègues du laboratoire de mathématiques impliquées dans ce projet sont Anne-Élise Ratel et Élise Reich.
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Les problèmes 1 et 2 présentés ci-dessus ne peuvent vivre en classe que si les séances en amont ont bien eu lieu.
Références
- C. Derouet. Une ressource pour l’option mathématiques complémentaires : une séquence articulant les thèmes «Calculs d’aires» et «Temps d’attente». . 2022.
- C. Derouet. « La fonction de densité au carrefour entre probabilités et analyse en Terminale S. Étude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d’introduction articulant lois à densité et calcul intégral ». Thèse de doctorat. Université Paris Sorbonne Cité, Université Paris-Diderot, 2016.
- C. Derouet. « L’histogramme sous une autre facette ». In : Au fil des maths – Le Bulletin de l’APMEP n°528 (2018), p. 33-37.
- C. Derouet, S. Alory. « Une séquence d’enseignement articulant les lois de probabilité à densité et le calcul intégral en Terminale S ». In : Repères IREM n° 113 (2018). p. 45-80.
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Charlotte Derouet est maîtresse de conférences en didactique des mathématiques à l’INSPÉ de l’académie de Strasbourg et membre du LISEC (Laboratoire Interuniversitaire des Sciences de hbox{l’Éducation} et de la Communication).
Une réflexion sur « Une ressource pour l’option mathématiques complémentaires »
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