Au fil des problèmes n° 533
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2020

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533-1 In memoriam Archimedis (Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg)

On se donne deux paraboles \((P_O)\) d’équation \(y = x^2\) et \((P_S)\) d’équation \(y = x^2 + a\) relativement à un repère orthonormé (\(a\) réel strictement positif donné). La tangente (TM) en un point M quelconque de \((P_S)\) coupe \((P_O)\) en deux points A et B.

Démontrer que l’aire limitée par la corde [AB] et la parabole \((P_O)\) est constante lorsque M décrit \((P_S)\).

533-2 Découpage (Pierre Legrand)

Dans le prochain numéro d’Au fil des maths, un article de Pierre Legrand sera consacré aux découpages de polygones ; pour vous mettre en jambes, pouvez-vous résoudre le problème suivant : combien y a-t-il de découpages différents de ce dodécagone non convexe, sachant que les morceaux sont triangulaires et que les côtés de ces triangles sont soit des côtés soit des diagonales intérieures du dodécagone (une diagonale du dodécagone est intérieure si elle relie deux de ses sommets en restant complètement à l’intérieur de celui-ci) ?

533-3 Sommation (Michel Lafond)

On considère l’ensemble \(E_n\) de tous les nombres entiers positifs qui s’écrivent dans le système décimal uniquement avec les chiffres \(1\) et \(2\), et qui ont au plus \(n\) chiffres.

Exemple : \(E_2 = \{1, 2, 11, 12, 21, 22 \}\).

Démontrer que la somme \(S_n\) de tous les éléments de \(E_n\) vaut \(\dfrac{10\times 20^n – 19 \times 2^n +9}{57}\cdotp\)

533-4 À vérifier

À propos de la difficulté de notre cerveau à produire une suite de nombres vraiment aléatoires, dans le petit ouvrage de vulgarisation intitulé « Jeux mathématiques et vice versa » (éditions Le Pommier-2017 ) au chapitre intitulé « Le jeu du bonneteau » écrit par Benoît Ritteau, on peut lire p. 113 : « On peut montrer que la probabilité qu’une liste de cent 0 et 1 constituée à partir de tirages aléatoires successifs indépendants les uns des autres contienne quelque part une séquence de la forme 00000 ou 11111 est supérieure à 97 % ». Une preuve de cette affirmation n’avait pas sa place dans ce type d’écrit mais en revanche nos lecteurs seront peut-être curieux d’en chercher une.