Barycentres

Un auteur géomètre qui met en avant les coordonnées barycentriques, un relecteur qui s’empare du sujet et voici un très long article sur le barycentre ! Bonne lecture.

François Boucher, Guy Gauthier et la collaboration de Vincent Beck

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Les barycentres apparaissent de nouveau dans les programmes et c’est une bonne nouvelle pour les amateurs de géométrie mais pas seulement. Le sujet ayant disparu des programmes de CAPES depuis presque dix ans, il nous a paru pertinent, en particulier à destination de nos jeunes collègues, de faire une petite revue du sujet en deux partie. La première partie a un caractère franchement théorique et plaide pour l’utilisation des combinaisons linéaires de points dont l’efficacité est mise en œuvre. Les quatre sous-parties remettent en particulier au goût du jour différents travaux d’IREM sur les barycentres. La deuxième partie quant à elle, propose un certain nombre de thèmes, classiques, illustrant le fait que le concept de barycentre ne se limite pas à la géométrie et intervient dans de nombreux secteurs des mathématiques du lycée et qu’il n’est pas nécessaire d’attendre les approfondissements de Terminale pour les rencontrer. Ces thèmes peuvent être abordés dans des ordres variés au gré de sa curiosité !

Partie 1 : Un peu de théorie

La théorie des barycentres est exposée sommairement, à destination d’enseignants qui en éprouveraient le besoin.

1.1 L’exposé classique sur les barycentres

1.2 Interprétation vectorielle des points massifs

1.3 Quelques illustrations

1.4 Le barycentre en géométrie euclidienne

Partie 2 : Quelques thèmes autour des barycentres

Dans les années après la seconde guerre mondiale, des mathématiciennes et mathématiciens se préoccupant d’enseignement des mathématiques ont proposé des thèmes d’étude transversaux plus susceptibles de favoriser un apprentissage par résolution de problèmes, défis, observations du réel; citons Hans Freudenthal (1905-1990), Caleb Gattegno (1911-1988) et Emma Castelnuovo (1913-2014). Emma Castelnuovo s’est en particulier intéressée aux barycentres ([8] ou [9]). Nous proposons une courte promenade avec comme fil rouge les barycentres sans entrer nécessairement dans les détails, ces derniers étant d’ailleurs le plus souvent fort simples¹⁶.

2.1 La dimension 1

2.2 Moyennes en probabilités/statistique

2.3 Un peu de physique

2.4 Géométrie dans l’espace

2.5 Coordonnées barycentriques dans le plan

2.6 Courbes de Bézier

2.7 Un peu d’infini

Références

La bibliographie est sommaire ; une recherche sur Publimath ramène plus de 300 références dont une bonne partie sont accessibles en ligne. Les ouvrages d’enseignement jusqu’en 2009 ont abondamment traité le thème des barycentres.

[1] Daniel Perrin. Mathématiques d’école. Cassini, 2011.
[2] Groupe Géométrie. La notion d’équilibre. Accessible via Publimath. IREM de Bordeaux, 1990.
[3] Thierry Hamel, François Lachaux et Luc Sinègre. Équilibres. Barycentres associés. Accessible via Publimath. IREM de Rouen, 1989.
[4] IREM de Strasbourg. Le livre du problème volume 5. Calcul barycentrique. Accessible via Publimath. CEDIC, 1975.
[5] Marcel Berger. Géométrie, tome 1. Réédité en 2016 chez Cassini. CEDIC, Nathan, 1977.
[6] Rémi Goblot. Thèmes de géométrie. Masson, 1998.
[7] Jean-Denis Eiden. Géométrie analytique classique. Calvage & Mounet, 2012.
[8] Emma Castelnuovo. « Différentes représentations utilisant la notion de barycentre ». In : Educational studies in mathematics 2 (1969), pp. 307-332.
[9] Emma Castelnuovo et Mario Barra. La mathématique dans la réalité. CEDIC, 1980.
[10] Robert Ferréol. « Addition des cancres, suites de Brocot et friandises associées ». In : Quadrature 36 (1999). Accessible sur le site de l’auteur , pp. 13-24.
[11] Jean-Paul Delahaye. « L’embarrassant paradoxe de Simpson ». In : Pour la science 429 (2013). Accessible sur le site de l’auteur .
[12] Louis Guerber et Paul-Louis Hennequin. Initiation à la statistique. Accessible via Publimath. APMEP, 1967.
[13] Richard Farebrother. Fitting Linear Relationships, A history of the calculus of observations 1750-1900. Springer, 1999.
[14] La pluridisciplinarité dans les enseignements scientifiques, Tome 2 : place de l’expérience. Accessible sur Eduscol. MEN Eduscol, 2003.
[15] Claudine Schwartz et Jacques Treiner. « Incertitudes des mesures de grandeurs ». In : (2002). Accessible sur l’internet .
[16] Paul Sandori. Petite logique des forces. Seuil, 1983.
[17] Jacques Lubczanski. Comment réussir le triangle quelconque. . . et douze autres friandises. CEDIC, 1986.
[18] David Treeby. « Optimal block stacking and combinatorial identities via Archimedes’ method ». Accessible sur ResearchGate . Thèse de doct. Monash University, 2018.
[19] Simon Stevin. L’art pondéraire ou de la statique. Réédition de la traduction d’Albert Girard de 1634. ACL-éditions, 1987.
[20] Groupe analyse et géométrie. Barycentre. IREM de Lyon, 1978.
[21] Paul Couderc et Augustin Balliccioni. Premier livre du tétraèdre. Gauthier-Villars, 1935.
[22] Yvonne Sortais et René Sortais. Géométrie de l’espace et du plan. Hermann, 2000.
[23] Nathan Altshiller-Court. Modern pure solid geometry. Chelsea, 1979.
[24] Jean-Pierre Pouget et Gilbert Demengel. Modèle de Bézier, des B.Splines et des NURBS, mathématiques des courbes et des surfaces. Ellipses, 1998.
[25] Jean-Pierre Pouget et al. Courbes de Bézier et B-Splines : une introduction à la modélisation géométrique. IREM de Paris-Nord, 1992.
[26] Jean-Pierre Pouget. « Modélisation géométrique : modèle de Bézier et modèle de B-Spline ». In : Repères-IREM 114,115 (1994).
[27] Daniel Perrin. Les courbes de Bézier. Accessible sur la page de l’auteur à l’université Paris-Saclay .
[28] Commission Inter-IREM Épistémologie et Histoire des mathématiques. Contribution à une approche historique de l’enseignement des mathématiques, Actes d’université d’été sur l’Histoire des mathématiques. IREM des Pays de La Loire, 1999.
[29] Évelyne Barbin et al. De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet. Vuibert, Adapt-Snes, 2009.
[30] Groupe Aha. Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. De Boeck, 2000.
[31] Jean-Paul Delahaye. « Surplombs maximaux ». In : Pour la science (1999). Accessible sur le site de la revue .

Nous omettons d’aborder la convexité, sujet nouveau et vaste, qui mérite un article spécifique.↩

Pour citer cet article : Beck V., Boucher F. et Gauthier G., « Barycentres », in APMEP Au fil des maths. N° 536. 2 juillet 2020, https://afdm.apmep.fr/rubriques/ouvertures/barycentres/.