Jouons avec les nombres d’une suite de Fibonacci

Après un petit rappel historique sur la suite de Fibonacci, Dominique Souder nous présente trois tours de mathémagie sous forme de fiches « prêtes à l’emploi », où cette jolie suite vous fera briller à tous les coups.

Dominique Souder

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La suite de Fibonacci

À propos de la succession des nombres \(1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(13\), \(21\), \(34\), \(55\), \(89\), etc.

Vers l’an 1200, Leonardo Fibonacci se pose la question suivante : combien de couples de lapins pouvons-nous obtenir à la fin d’une année si, commençant en début du premier mois avec un seul couple, chacun des couples, après deux mois d’existence, produit chaque début de mois un nouveau couple ?

Si on note \(u_n\) le nombre de couples de lapins au début du mois \(n\) (\(n\geqslant1\)), l’énoncé dit que \(u_1=1\), \(u_2=1\), puis \(u_3=2\) (puisque le couple n° 1 va en produire un autre, appelé le couple n° 2, au début du troisième mois). Il suit \(u_4=2+1=3\) (le couple n° 1 produit un autre couple (couple n° 3), mais le couple n° 2 ne produit encore rien). Ensuite \(u_5\) est la somme du nombre de couples existant au début du quatrième mois augmenté du nombre de couples producteurs au début de ce cinquième mois, mais les couples producteurs sont ceux ayant au moins deux mois d’existence, c’est-à-dire \(u_3\), et ainsi \(u_5=u_4+u_3=3+2=5\). On peut généraliser ce raisonnement : à partir de \(n=3\), le nombre \(u_n\) est le total du nombre de couples existant déjà au début du \((n-1)\)-ième mois et du nombre de couples producteurs au début de ce \(n\)-ième mois ; or les couples producteurs sont ceux ayant au moins deux mois d’existence, c’est-à-dire \(u_{n-2}\), et ainsi : \(u_n=u_{n-1}+u_{n-2}\). En résumé, un effectif de couples de lapins est la somme des effectifs des deux mois précédents. En appliquant cette formule, on obtient après les termes précédents, successivement \(u_6=8\), \(u_7=13\), \(u_8=21\), \(u_9=34\), \(u_{10}=55\), \(u_{11}=89\), etc.

Cette suite n’est pas arithmétique (la différence entre deux termes successifs n’est pas constante), ni géométrique (le quotient d’un terme par le terme précédent n’est pas constant). Cependant ce dernier rapport \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) semble se «stabiliser» vers un nombre approximativement égal à \({1,618}\) : \(\dfrac{u_{2}\mathstrut}{u_{1}\mathstrut}=1\) ; \(\dfrac{u_{3}\mathstrut}{u_{2}\mathstrut}=2\) ; \(\dfrac{u_{4}\mathstrut}{u_{3}\mathstrut}=\dfrac{3}{2}={1,5}\) ; \(\dfrac{u_{5}\mathstrut}{u_{4}\mathstrut}=\dfrac{5}{3}={1,666}\dots\) ; \(\dfrac{u_{6}\mathstrut}{u_{5}\mathstrut}=\dfrac{8}{5}={1,6}\) ; \(\dfrac{u_{7}\mathstrut}{u_{6}\mathstrut}=\dfrac{13}{8}={1,625}\) ; \(\dfrac{u_{8}\mathstrut}{u_{7}\mathstrut}=\dfrac{21}{13}={1,615}\dots\) ; \(\dfrac{u_{9}\mathstrut}{u_{8}\mathstrut}=\dfrac{34}{21}={1,619}\dots\) ; \(\dfrac{u_{10}\mathstrut}{u_{9}\mathstrut}=\dfrac{55}{34}={1,617}\dots\) ; \(\dfrac{u_{11}\mathstrut}{u_{10}\mathstrut}=\dfrac{89}{55}={1,618}\dots\) ; \(\dfrac{u_{12}\mathstrut}{u_{11}\mathstrut}=\dfrac{144}{89}={1,617}\dots\)

On démontre que la limite en \(+\infty\) de \(\dfrac{u_{n+1}\mathstrut}{u_n\mathstrut}\) est le nombre d’or dont le développement décimal commence par \({1,6180339}\dots\) Autrement dit, pour \(n\) grand, la suite de Fibonacci est «presque» géométrique : on passe d’un terme au suivant en le multipliant par un nombre «presque» égal au nombre d’or. La valeur exacte du nombre d’or est \(\dfrac{1+\sqrt{5}\mathstrut}{2\mathstrut}\cdotp\)

Fiche de mathémagie 1

Les deux premiers nombres de votre «Fibo-suite» de 14 nombres

Le tour

Le magicien a préparé sur une feuille de papier une rangée de \(14\) cases vides dans lesquelles des nombres seront écrits par son spectateur préféré :

Le spectateur est invité à penser à deux nombres entiers strictement positifs et inférieurs ou égaux à \(9\) (ils peuvent être distincts ou non) puis, en cachette du magicien, à les écrire dans les deux premières cases de gauche. Ensuite, à partir de la troisième case, il doit écrire dans chaque case le total des nombres des deux cases précédentes (ce qui rappelle la construction de la suite de Fibonacci).

Voici un exemple, à partir du choix de départ \(7\) et \(3\) :

Sans voir ce qui est écrit, le magicien l’interroge :

«Quel est le nombre écrit dans la \(13\)^e case à partir de la gauche (l’avant-dernière à droite) sur cette première ligne ? Et dans la \(14\)^e case (la dernière à droite) ?»

Le magicien donne alors, dans l’ordre, les deux premiers nombres choisis par le spectateur (c’est-à-dire ici les nombres \(7\) et \(3\)).

Le «truc» du mathémagicien

Voici ce que fait le magicien quand le spectateur va lui donner la valeur de la \(13\)^e case : il additionne les chiffres du nombre. Dans notre exemple, à partir de \({1055}\), il trouve \(1+0+5+5=11\).

Il a ensuite deux façons de parvenir à «deviner» les nombres cherchés :

Option 1 :

Il construit la série d’entiers allant de \(9\) en \(9\), contenant ce \(11\), et compris entre \(1\) et \(72\). C’est-à-dire la série \(2\), \(11\), \(20\), \(29\), \(38\), \(47\), \(56\), \(65\). Il cherche le multiple de \(8\) qu’elle contient. Dans notre exemple, c’est \(56\).

Pour obtenir le premier nombre de la suite, il divise ce \(56\) par \(8\) et annonce «\(7\)».

Option 2 :

Il construit une série décroissante d’entiers allant de \(9\) en \(9\) en partant de ce \(11\) : \(11\), \(2\), \(-7\), \(-16\), … Pour obtenir le premier nombre choisi par le spectateur, il prend l’opposé du premier nombre strictement négatif de la série, et annonce donc «\(7\)».

Le magicien procède de la même façon à partir de la \(14\)^e case pour obtenir le deuxième nombre choisi par le spectateur. Ici, \(1+7+0+7=15\).

Option 1 :: Il construit la série \(6\), \(15\), \(24\), \(33\), \(42\), \(51\), \(60\), \(69\), dans laquelle le seul multiple de \(8\) est \(24\) qui vaut \(8\times3\).
Option 2 :: Il construit la série \(15\), \(6\), \(-3\), \(-12\), … dans laquelle le premier nombre strictement négatif est \(-3\).

Il annonce alors le deuxième nombre de la suite : «\(3\)».

Explication mathématique

Si on note \(a\) le premier nombre choisi et \(b\) le second, on peut calculer tous les nombres suivants en fonction de \(a\) et \(b\). Intéressons-nous à la case n° \(13\) qui vaut alors \((89a +144b)\) et à la case n° \(14\) qui vaut \((144a+233b)\). On sait qu’il est commode pour voir si un nombre entier est divisible par \(9\) de le remplacer par la somme de ses chiffres : si cette somme est divisible par \(9\) alors le nombre l’est aussi. De plus, quand le reste de la division par \(9\) n’est pas nul, le reste est le même que celui de la division de la somme des chiffres du nombre par \(9\). Remarquons que ce reste ne change pas quand on ajoute ou qu’on enlève \(9\) un certain nombre de fois. Ayons le courage d’écrire, après les deux premiers termes \(a\) et \(b\) de notre suite de Fibonacci, les quinze termes qui suivent, en enlevant de leur écriture des multiples de \(9\) ; on obtient ainsi une écriture simplifiée dans le tableau ci-dessous… Par exemple \((13a+21b)\) est simplifié en \((4a+3b)\) en soustrayant \(9a\) et \(18b\) qui sont des multiples de \(9\).

Numéro du terme	Valeur	Valeur simplifiée
\(1\)	\(a\)	\(a\)
\(2\)	\(b\)	\(b\)
\(3\)	\(a+b\)	\(a+b\)
\(4\)	\(a+2b\)	\(a+2b\)
\(5\)	\(2a+3b\)	\(2a+3b\)
\(6\)	\(3a+5b\)	\(3a+5b\)
\(7\)	\(5a+8b\)	\(5a+8b\)
\(8\)	\(8a+13b\)	\(8a+4b\)
\(9\)	\(13a+21b\)	\(4a+3b\)
\(10\)	\(21a+34b\)	\(3a+7b\)
\(11\)	\(34a+55b\)	\(7a+b\)
\(12\)	\(55a+89b\)	\(a+8b\)
\(13\)	\(89a+144b\)	\(8a\)
\(14\)	\(144a+233b\)	\(8b\)
\(15\)	\(233a+377b\)	\(8a+8b\)
\(16\)	\(377a+610b\)	\(8a+7b\)
\(17\)	\(610a+987b\)	\(7a+6b\)

Les valeurs simplifiées des \(13\)^e et \(14\)^e cases sont \(8a\) et \(8b\) et l’on rappelle que \(a\) et \(b\) sont des entiers compris entre \(1\) et \(9\). Il suffit de connaître le reste de la division euclidienne de \(a\) et \(b\) par \(9\) pour pouvoir les identifier.

En utilisant le critère de divisibilité par \(9\), il faut alors additionner les chiffres du nombre écrit dans la \(13\)^e case : dans notre exemple, \(1+0+5+5=11\). Ensuite, on obtient la série d’entiers strictement positifs, allant de \(9\) en \(9\), contenant \(11\) et inférieurs ou égaux à \(72\), soit la série \(2\), \(11\), \(20\), \(29\), \(38\), \(47\), \(56\), \(65\).

Deux possibilités de conclure à partir de là.

Option 1 :: Dans cette série, le seul nombre qui peut avoir la forme \(8a\) (le seul multiple de \(a\), avec \(a\) valant \(9\) au maximum) est \(56\) qui est égal à \(8\times7\). D’où la solution \(a=7\).
Option 2 :: On étend la série \(2\), \(11\), \(20\), \(29\), etc. aux entiers négatifs, en comptant toujours de \(9\) en \(9\) : \(-7\), \(-16\), etc. \(8a\) et \(-a\) diffèrent d’un multiple de \(9\), et \(-a\) est compris entre \(-9\) et \(-1\), donc le premier nombre strictement négatif de cette série est l’opposé de \(a\), ici \(-7\). Donc \(a=7\).

On procède de même pour déterminer \(b\) à partir du nombre de la \(14\)^e case, soit \({1707}\). Le magicien calcule \(1+7+0+7=15\).

Option 1 :

Il envisage la série \(6\), \(15\), \(24\), \(33\), \(42\), \(51\), \(60\), \(69\) dans laquelle le seul multiple de \(8\) est \(24\) qui vaut \(8\times3\) donc \(b=3\).

Option 2 :

Il envisage la série \(15\), \(6\), \(-3\) ; \(-b=-3\) donc \(b=3\).

Fiche de mathémagie 2

Les deux teen-agers et leur «Fibo-suite» de 16 nombres