Vous prendrez bien un Petit Vert ?

Le Petit Vert, revue de la régionale de Lorraine, publie régulièrement dans ses pages des défis pour les élèves (de primaire, collège, lycée). Il existe même un document rassemblant un grand nombre des défis parus depuis le début du Petit Vert (avec des solutions !). Voici deux exemples de défis qui devraient vous permettre d’y prendre goût !

Daniel Vagost

© APMEP Juin 2020

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Défi 1 : « Petits L »

Rectangles et « Petits L »

On dispose de nombreux « Petits L » semblables à ceux dessinés ci-dessous.

Six « Petits L » permettent la réalisation d’un rectangle \(6\times3\) dans lequel sont visibles trois rectangles \(3\times2\) formés de deux pièces assemblées (image ci-dessous).

En assemblant des « Petits L », est-il possible de construire un rectangle dans lequel ne sera visible aucun rectangle \(3\times2\) formé de deux pièces assemblées ?

Carrés et « Petits L »

Un carré \(6\times6\) est aisément recouvert avec douze « Petits L » (on « colle » deux rectangles \(6\times3\) du paragraphe précédent). Comment caractériser les carrés recouvrables par des « Petits L » ?

Défi 2 : des nombres « à dire »

Dans le tableau Hardy’s Taxi d’Eugen Jost on trouve ces deux nombres : 1 031 223 314 et 10 213 223 .

Ces deux nombres ont la particularité suivante : le premier s’écrit avec : un ’0’, trois ’1’, deux ’2’, trois ’3’, un ’4’, ce que l’on peut énoncer « 1 0, 3 1, 2 2, 3 3, 1 4 » ; on retrouve bien le nombre 1 031 223 314. Le décompte des chiffres doit se faire dans l’ordre : d’abord les ’0’, puis les ’1’, puis les ’2’, etc. Il en est de même pour le second nombre, 10 213 223.

Par exemple, si l’on prend comme nombre initial 1, on obtient successivement : 11, 21, 1 112, 3 112, 211 213, 312 213, 212 223, 114 213, 31 121 314, 41 122 314, 31 221 324, 21 322 314, 21 332 314, … On constate que la suite « stagne » à partir d’un certain moment. Les deux nombres évoqués ci-dessus « stagnent » également.

Quelle est la suite que l’on obtient si on part de 10 ?
Réponse :

Voici le défi que nous vous proposons :

1. Tous les nombres initiaux donnent-ils une suite qui finit par « stagner » ?

2. Trouver le nombre initial qui permettait d’obtenir 1 031 223 314 et 10 213 223.

3. Si vous êtes en lycée : écrire un algorithme qui permette, à partir d’un nombre entier \(n\) quelconque, d’écrire la liste des nombres obtenus.

Envie de vérifier vos solutions ? Voir les « défi collège 123 », « défi lycée 123 » et « défi 125-b » sur le site de la régionale de Lorraine .

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Daniel Vagost est professeur retraité. Depuis très longtemps actif au sein de l’APMEP,