Au fil des problèmes n° 535

Frédéric de Ligt

© APMEP Mars 2020

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535-1 Binero

Vous connaissez peut-être le Binero, ce jeu est de la même famille que le sudoku.

Il s’agit de remplir une grille incomplète, en général de dimensions \(6\times6\) à \(14\times14\), avec les quatre contraintes suivantes :

• la grille ne doit comporter que des 0 et des 1 ;

• chaque ligne et chaque colonne doit contenir autant de 0 que de 1 ;

• sur chaque ligne et chaque colonne, il n’y a pas plus de deux nombres identiques à la suite ;

• il n’y a pas deux lignes ou deux colonnes identiques.

Combien de lignes différentes de longueur \(2n\) existe-t-il ?

Avant	Après

535-2 Triangulation numérique

Le \(n\)-ième nombre triangulaire \(\Delta_n\) s’obtient en ajoutant \(n\) au précédent et donc est la somme des entiers de 1 à \(n\). On a \(\Delta_1 = 1\) ; \(\Delta_2 = 3\) ; \(\Delta_3 = 6\) ; \(\Delta_4 = 10\) ; \(\Delta_5 = 15\) ; …

Par exemple, il est possible d’écrire 7 comme une combinaison des cinq premiers nombres triangulaires avec des coefficients valant \(+1\) ou \(-1\) :

\[\begin{aligned}
7& = -1-3+6-10+15\\
& = (-1)\Delta_1+(-1)\Delta_2 + (+1)\Delta_3+(-1)\Delta_4 +(+1)\Delta_5.
\end{aligned}\]

Plus généralement, il faudrait montrer que pour tout entier relatif \(N\) il existe un entier naturel \(n\) tel que \(N\) peut s’écrire comme une combinaison à coefficients \(+1\) ou \(-1\) des \(n\) premiers nombres triangulaires.

535-3 Avec Fibonacci et Lucas (Vincent Thill-Migennes)

On définit les suites \((F_n)\) et \((L_n)\) de Fibonacci et de Lucas par les relations de récurrence : \[F_{n +2} = F_{n +1} + F_n\text{ avec }F_1 = F_2 = 1\quad ;\quad
L_{n +2} = L_{n +1} + L_n\text{ avec }L_1 = 1\text{ et }L_2 = 3.\] Montrer que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} L_i = \sum_{i=1}^{n} F_i + 2 F_{n+1}-2\).

535-4 Un peu de géométrie tout de même

0.6 \(\mathsf{ABC}\) est un triangle, \(\mathsf{H}\) est le pied de la hauteur issue de \(\mathsf{C}\), \(\mathsf{E}\) est un point du côté \(\mathsf{[AC]}\) et \(\mathsf{D}\) un point du côté \(\mathsf{[BC]}\) tels que les segments \(\mathsf{[EB]}\) et \(\mathsf{[DA]}\) se coupent sur la hauteur \(\mathsf{(CH)}\) en un point \(\mathsf{F}\).

Montrer que la hauteur \(\mathsf{(CH)}\) se trouve alors être aussi la bissectrice intérieure de l’angle \(\widehat{\mathsf{EHD}}\).

À propos des problèmes parus précédemment

Pour les énoncés proposés dans le numéro 533 :

533-1 In memoriam archimedis

La plupart des solutions reçues, notamment celles de Jacques Chayé (Poitiers), Patrick Radoszycki (Albi), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Jean-Paul Thabaret (Thonon-Les-Bains), Marc Roux (Nîmes) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) font intervenir le calcul d’une intégrale. Seul Marc Roux propose aussi une démonstration qui utilise le résultat obtenu en son temps par Archimède, à savoir que l’aire d’un segment de parabole, limité par les points A et B, vaut les quatre tiers de l’aire du triangle ABC où C est le point de la parabole dont la tangente est parallèle à (AB), méthode que Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), l’auteur de l’énoncé, a utilisé dans la solution qui accompagnait son envoi.

533-2 Découpage

Trois réponses sont parvenues de Marc Roux (Nîmes), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans). Elles procèdent toutes de la même démarche. Le dodécagone est partagé en 5 quadrilatères convexes qui se partagent chacun de deux manières en deux triangles. Marc Roux propose aussi un complément et une généralisation du problème.

533-3 Sommation

Une démonstration par récurrence est intervenue à un moment ou à un autre dans les solutions de Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Alain André (Guipavas), Bernard Ouillon (Nice) alors que Patrick Radoszycki (Albi) et Jacques Vieulet (Tarbes) établissent des relations de récurrence qui leur permettent d’accéder à la forme générale. Enfin Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) emprunte la même voie que celle de Michel Lafond (Dijon), l’auteur de l’énoncé, c’est-à-dire par diverses sommations.

533-4 À vérifier

Marie-Nicole Gras (Le Bourg-d’Oisans) et Patrick Radoszycki (Albi) établissent par comptage une relation de récurrence linéaire d’ordre \(5\) avec second membre vérifée par le nombre de listes de taille \(n\) faisant apparaître au moins cinq chiffres 0 ou 1 identiques, alors qu’Alain André (Guipavas) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) passent par les probabilités conditionnelles : le premier utilise une matrice de transition tandis que le second obtient une relation de récurrence linéaire d’ordre \(4\) vérifiée par la probabilité qu’au cours de \(n\) tirages n’apparaissent à aucun moment une succession de cinq valeurs identiques.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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