Au fil des problèmes n° 538

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2020

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538-1 Partage de pizza (Jean-Pierre Friedelmeyer – Stasbourg)

La pizza \(\mathsf{ABC}\) a la forme d’un triangle équilatéral. Le point \(\mathsf{P}\) est un point quelconque à l’intérieur. La pizza est découpée par les segments \([\mathsf{PA}]\), \([\mathsf{PB}]\) et \([\mathsf{PC}]\) et les perpendiculaires aux côtés, \([\mathsf{PH}]\), \([\mathsf{PG}]\) et \([\mathsf{PK}]\). On prend une part sur deux, alternativement.

Démontrer l’égalité en aire de la somme des parties en orange et de la somme des parties en blanc.

Pour voir d’autres partages équitables de pizzas d’autres formes, n’hésitez pas à aller lire l’article de Jean-Pierre Friedelmeyer .

538-2 Sangaku hyperbolique (d’après une idée de Walter Mesnier – Poitiers)

Calculer l’aire des deux disques sachant qu’elle est maximale et que la branche d’hyperbole est d’équation \(y=\dfrac{1}{x}\) dans un repère orthonormé.

Ce que l’on voit sur la figure fait office de données. Les cercles sont bien tangents entre eux. Le petit est tangent à la branche d’hyperbole en un seul point et le grand en deux points.

538-3 Somme de puissances (Terence Tao – Los Angeles)

Soit \(p\) un nombre premier impair et \(k\) un entier naturel non nul et non divisible par \(p-1\). Montrer que :

\[1^k+2^k+3^k+\cdots+(p-1)^k \text{ est divisible par }p.\]

538-4 Un peu d’algèbre pour finir

Si trois nombres \(x, y\) et \(z\) vérifient le système d’équations :

\[
\left\{\begin{array}{*{7}{c}}
x& +& y& +& z& =& 1\\
x^2& +& y^2& +& z^2& =& 5\\
x^3& +& y^3& +& z^3& =& 4
\end{array}\right.\]

Alors, pour tout entier relatif \(n\), la somme \(x^n+y^n+z^n\) est toujours un entier naturel non nul.

À propos des problèmes parus précédemment

Des solutions aux exercices 535-2 et 535-3 apportées par Thomas Blanc (académie d’Aix-Marseille) peuvent être retrouvées ici.

536-1 Une figure sans paroles

Cinq correspondants sont parvenus à faire parler cette figure : Maurice Bauval (Versailles) et Jacques Vieulet (Ibos) partent de la propriété suivante, souvent utilisée seulement dans le sens direct : dans un triangle, une bissectrice partage le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents, et réciproquement une droite issue d’un sommet qui partage le côté opposé dans le rapport des côtés adjacents est bissectrice. Puis ils achèvent l’exercice en utilisant seulement les propriétés des angles.

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) propose une solution essentiellement basée sur des calculs de longueurs.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), quant à lui, passe par les coordonnées barycentriques dans le repère affine (\(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\), \(\mathsf{C}\)) et des calculs de longueurs. Lucette Lonjaret (Paris), peut-être la doyenne de nos abonnés puisque sa première adhésion remonte aux années 1950, a envoyé une solution qui ne fait intervenir que les angles. Elle fait aussi remarquer que si \(\mathsf{L}\) est l’intersection de \((\mathsf{AB})\) avec la parallèle à \((\mathsf{CK})\) menée par \(\mathsf{J}\), le triangle \(\mathsf{IJL}\) est équilatéral.

536-3 Peut-être dû à Georges Pólya

Seule Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) est venue à bout de cette question. Elle établit que si l’entier strictement supérieur à \(9\) est constitué uniquement du chiffre \(9\) alors on a l’inégalité \(P(x)> ;x^\gamma\) alors que s’il comporte un chiffre différent de \(9\) dans son écriture décimale l’inégalité s’inverse et on a \(P(x)< ;x^\gamma\). Ce deuxième cas est plus difficile à prouver. Pour cela, Marie-Nicole Gras démontre en deux temps que \(P(x)/ x^\gamma < ; P(89 \ldots 9)/ 89 \ldots 9^\gamma < ; 1\).

536-4 Clin d’œil à Robert Desnos

Deux réponses à ce délicat problème d’arithmétique qui parviennent heureusement toutes deux à la même conclusion, à savoir l’inexistence d’un tel triangle. Marie-Nicole Gras ((Le Bourg d’Oisans) part bien sûr des solutions classiques de l’équation diophantienne \(b^2+c^2=a^2\) et, en travaillant avec trois triangles rectangles de la figure, en vient à considérer l’équation diophantienne \(x^4-x^2y^2+y^4\). Elle s’appuie alors sur un résultat, trouvé dans l’ouvrage de L.J. Mordell, Diophantine Equations, qui montre que cette équation n’a que des solutions triviales aboutissant à rendre nul un des côtés du triangle initial.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) prend le même départ que Marie-Nicole Gras mais travaille ensuite sur des équations en nombres rationnels pour terminer par traiter une équation diophantienne par disjonction de cas et conclure à l’absence de solution modulo 8 dans chacun des cas.

À signaler une réponse décalée de Ludovic Jany (Boquière) qui prouve l’existence d’un triangle ayant les caractéristiques demandées en géométrie non euclidienne.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.

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