Au fil des problèmes n° 536
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Décembre 2020

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536-1 Une figure sans paroles

Ce qui est à établir est en pointillés.

Source :

536-2 Un bonneteau gagnant (Ivan Riou)

Voilà une variante du bonneteau qui peut enfin s’avérer favorable au joueur.

Trois cartes sont alignées devant le joueur face cachée : la dame de cœur et les rois de pique et de trèfle. Le joueur doit miser un nombre entier d’euros, tant qu’il lui reste de l’argent, trois fois de suite sur une carte qui n’a pas été retournée. À chaque fois, la carte choisie est retournée. Si c’est la dame de cœur qui apparaît, le joueur gagne le montant de sa mise, sinon il perd sa mise. Le joueur dispose d’un capital initial de \(n\) euros, \(n\) entier non nul.

Quelle stratégie permet au joueur de s’enrichir ? Quelle est sa stratégie optimale en terme de gain ? Si le joueur adopte une stratégie optimale, de combien d’euros, au minimum, doit-il disposer au début de la partie pour être sûr d’être bénéficiaire et si tel est le cas, quel est alors son bénéfice en fonction de \(n\) ?

536-3 Peut-être dû à George Pólya (Pierre Legrand)

On désigne par \(x\) un entier au moins égal à \(10\) dont l’écriture décimale ne comporte aucun zéro et par \(P(x)\) le produit de ses chiffres. Comparer \(P(x)\) et \(x^\gamma\), où \(\gamma\) est le logarithme décimal de \(9\).

536-4 Clin d’œil à Robert Desnos

Un triangle pythagorique

Avec ses médianes entières

Ça n’existe pas, ça n’existe pas.

Et pourquoi pas ?

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