Au fil des problèmes n° 537

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2020

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅♦⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

537-1 Mélangeur de couleurs (Ivan Riou)

Il existe trois couleurs fondamentales: le jaune, le bleu et le rouge. On appellera ton un mélange de ces trois couleurs selon certaines proportions. On construit un mélangeur de couleurs de la façon suivante: on part de deux palettes circulaires contenant chacune les trois couleurs fondamentales.

Les deux palettes sont initialement positionnées comme ci-dessus. On tourne chacune des deux palettes d’un angle compris entre 0° et 360° dans le sens antihoraire, non nécessairement entier. Puis on vient récupérer la (les) couleur(s) présente(s) sur le secteur angulaire de 90° situé en bas à droite de chaque palette, appelé sous-palette pour obtenir deux tons intermédiaires. Enfin, on mélange les couleurs des deux sous-palettes associées à ces deux tons intermédiaires pour obtenir le ton final.

Par exemple :

	et		donnent
Palette 1 : ton intermédiaire n° 1 ; Angle de rotation: 48° ; 20 % bleu et 80 % rouge.		Palette 2 : ton intermédiaire n° 2 ; Angle de rotation: 333° ; 30 % jaune et 70 % rouge.		Répartition du ton final par couleurs en pourcentages : 10 % de bleu, 75 % de rouge et 15 % de jaune.

On tourne chacune des deux palettes au hasard. Quelle est la probabilité que le ton final soit dominé par le rouge ?

537-2 Construction sous contrainte (Crux Mathematicorum)

Trois droites parallèles sont données.

Construire un triangle équilatéral avec un sommet sur chaque droite.

537-3 Deux équations diophantiennes (Denis Roussillat)

Résoudre en nombres entiers les deux équations:

\[\begin{aligned}
x^2 + y^2 & = 31 z^2 \\
x^2 + y^2 & = 29 z^2
\end{aligned}\]

537-4 Une fonction homographique particulière

0.6 On note \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(g(x) =
\dfrac{\ln(x+1)}{x}\) pour \(x > 0\) et \(g(0) = 1\).

Démontrer que l’ensemble des fonctions homographiques, définies sur \(\mathbb{R}^+\) et qui majorent \(g\), possède un plus petit élément.

Exemple d’une fonction homographique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) majorant la fonction \(g\) : \(f(x)=\dfrac{2x+3}{5x+2}\cdotp\)

À propos des problèmes parus précédemment

531-1 Et le triangle équilatéral

En l’absence de réponse à cet énoncé je dépose sur le site une démonstration qui prouve l’impossibilité d’un tel pavage même si les côtés des triangles équilatéraux ne sont pas entiers.

Voir ici.

532-2 L’unité en 2019

Stéphane Magnan (Toulouse) a envoyé une solution différente de celles précédemment reçues. Il utilise deux propriétés d’hérédité: Si \(N\) s’écrit comme une somme d’entiers dont la somme des inverses vaut \(1\) alors il en est de même pour \(2N + 2\) et \(2N + 9\). Partant de \(11\) on parvient ainsi à \(2019\).

Voir ici.

Pour les énoncés parus dans le numéro 534, Ludovic Jany (Bolquère) a envoyé plus tardivement des solutions aux énoncés 534-2, 534-3 et 534-4.

Voir ici.

535-1 Binero

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) fait remarquer que la formule se trouve sur le site de l’OEIS Foundation (chercher A177790): .

On peut trouver sa démonstration (pages 55 et 56) ici.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), quant à lui, considère plus généralement le nombre \(B(n,k)\) de lignes à \(n\) termes valant \(0\) ou \(1\), commençant par un premier terme donné et comportant \(k\) termes égaux, sans qu’il n’y ait plus de deux termes égaux consécutifs et établit la relation:

\[B(n,k) = B(n-1,n-k) + B(n-2,n-k).\]

En ajoutant les conditions aux bords, il obtient à l’aide d’un programme récursif les valeurs de \(B(2n,n)\) jusqu’à \(n = 15\). Le nombre demandé par l’énoncé est alors \(2B(2n,n)\) puisqu’il y a deux façons de choisir le terme initial.

535-2 Triangulation numérique

Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Ludovic Jany (Bolquère), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Hervé Chastand (Saint-Aubin-de-Lanquais) partent tous de la même remarque, à savoir que:

\[\Delta_k-\Delta_{k+1}-\Delta_{k+2}+\Delta_{k+3}=2.\]

Ajouté au fait que \(\Delta_1 = 1\), ils obtiennent un moyen, certes peu économique en termes, mais simple de mise en application, d’écrire tout entier relatif, pair ou impair, comme combinaison à coefficients \(+1\) ou \(-1\) des premiers nombres triangulaires consécutifs.

535-3 Avec Fibonacci et Lucas

Jacques Vieulet (Ibos), Ludovic Jany (Bolquère), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Vincent Thill (Migennes) et Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) établissent par récurrence la relation \(L_n = F_{n-1} + F_{n+1}\) (ou une variante de cette relation) et concluent soit par une démonstration par récurrence sur l’égalité proposée soit par des sommations diverses.

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) Jean-Paul Thabaret (Thonon-les-bains) et Philippe Achart (Antony) partent des expressions générales de \(F_n\) (formule de Binet) et de \(L_n\) puis somment des suites géométriques pour parvenir au résultat.

535-4 Un peu de géométrie tout de même

Pas moins de six méthodes ont été mises en œuvre. Une autre branche des mathématiques permet-elle autant de variétés d’approche?

• Jacques Chayé (Poitiers) introduit une affinité orthogonale d’axe \((\mathsf{AB})\) pour construire un triangle \(\mathsf{ABC_1}\) dont l’image du point \(\mathsf{F}\) est l’orthocentre. La propriété à démontrer est alors classique dans le triangle \(\mathsf{ABC_1}\). Une propriété de conservation d’égalité des angles lui permet ensuite de conclure.
• Hervé Chastand (Saint-Aubin-de-Lanquais) construit un triangle dont \(\mathsf{HDE}\) est le triangle orthique et il peut alors utiliser la même propriété classique que Jacques Chayé.
• Jules Miewis (Mons), Jean-Paul Thabaret (Thonon-les-bains), Marc Roux (Nîmes), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) et Ludovic Jany (Bolquère) passent par la géométrie analytique et des calculs de pentes.
• Philippe Achart (Antony) et Jacques Vieulet (Ibos) travaillent avec des rapports de longueurs à l’aide des théorèmes de Céva et de Thalès.
• Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) utilise quant à elle la loi des sinus et le théorème de Céva.
• Jacques Marot (Poitiers) et Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) se placent dans le cadre de la géométrie affine et utilisent des faisceaux et divisions harmoniques. Jacques Marot complète sa solution avec quelques pages bienvenues de révision sur ces notions.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.