Au fil des problèmes n° 541

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2021

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541-1 – Une construction pratique du centre de gravité
d’un quadrilatère plein

Savez-vous qu’il est possible de construire le centre de gravité d’un quadrilatère plein convexe à l’aide d’un seul triangle au lieu des quatre habituellement utilisés ?

Soit \(\mathsf{ABCD}\) un quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent en \(\mathsf{E}\).

Si \(\mathsf{DE}\geq\mathsf{EB}\), on place \(\mathsf{F}\) sur le segment \([\mathsf{DE}]\) de telle sorte que \(\mathsf{DF}=\mathsf{BE}\).

Démontrer que le centre de gravité du triangle \(\mathsf{ACF}\) coïncide avec celui du quadrilatère plein \(\mathsf{ABCD}\).

541-2 – D’après August Ferdinand Möbius (J.P. Friedelmeyer – Osenbach)

Soit \(\mathsf{ABC}\) un triangle quelconque et \(\mathsf{D}\) un point en son intérieur, délimitant trois triangles : \(\mathsf{DBC}=a\) ; \(\mathsf{DAC}=b\) ; \(\mathsf{DAB}=c\). \(\mathsf{DBC}\), \(\mathsf{DAC}\) et \(\mathsf{DAB}\) désignent à la fois les triangles et leur aire, celles-ci pouvant également être abrégées par les minuscules \(a\), \(b\) et \(c\).

Soit \(\mathsf{A}’\), \(\mathsf{B}’\) et \(\mathsf{C}’\) les intersections des droites \((\mathsf{AD})\), \((\mathsf{BD})\), \((\mathsf{CD})\) avec les côtés \([\mathsf{BC}]\), \([\mathsf{AC}]\), \([\mathsf{AB}]\) respectivement.

1. Exprimer les aires des triangles \(\mathsf{C}’\mathsf{B}’\mathsf{A}\), \(\mathsf{A}’\mathsf{C}’\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B}’\mathsf{A}’\mathsf{C}\) en fonction de \(a\), \(b\), \(c\).

On désigne par \(p\), \(q\), \(r\) ces aires : \(\mathsf{C}’\mathsf{B}’\mathsf{A}=p\) ; \(\mathsf{A}’\mathsf{C}’\mathsf{B}=q\) ; \(\mathsf{B}’\mathsf{A}’\mathsf{C}=r\) et par \(x\) l’aire du triangle \(\mathsf{A}’\mathsf{B}’\mathsf{C}’\).

Connaissant \(p\), \(q\), \(r\), on veut exprimer \(x\) en fonction des seules aires \(p\), \(q\), \(r\).

2. Démontrer que l’aire \(x\) est racine de l’équation du troisième degré \(x^3 + (p + q + r)x^2 – 4pqr = 0\).

3. Démontrer que cette équation admet trois racines réelles, dont une seule est positive.

541-3 – Factorielles et carrés (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers naturels \(a^2-b^4=\dfrac{p !}{q !}\) avec \(p > q + 1\).

541-4 – Une curiosité algébrique (Jacques Chayé – Poitiers)

À quelle condition la somme de trois réels et du produit de leurs inverses est-elle égale à la somme de leur produit et de la somme de leurs inverses ?

À propos des problèmes parus précédemment

Daniel Perrin a fait parvenir un article très fouillé de douze pages autour du problème 537-2 et Gérald Anselme propose sa solution au problème 538-4. Ces documents sont consultables sur notre site.

539-1 Une table de bureau originale

De nombreuses réponses à ce problème de géométrie élémentaire et une grande variété de solutions. Quatre méthodes ont été utilisées pour évaluer l’aire de cette table. Tout d’abord par recomposition de la figure en un grand triangle équilatéral, avec deux découpages différents trouvés par Jacques Vieulet (Ibos), Bernard Lefrançois (Lyon), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Fabrice Laurent (Lunéville), Jean-Paul Thabaret (Thonon-Les-bains), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach), Alain Bougeard (Les Lilas) et Jean-Paul Guichard (La Rochelle). Ensuite par partage en trois ou quatre triangles par Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Maurice Bauval (Versailles) et Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives). Ludovic Jany (Bolquère), Michel Sarrouy et Pierre-Alain Sallard (Paris) inscrivent la figure ou sa moitié dans une figure plus grande et d’aire facilement calculable puis obtiennent le résultat par une soustraction d’aires. Enfin la dernière méthode, due à Jean-Paul Mercier (Nouaillé) et qui a ma préférence, part de l’observation que six de ces tables convenablement disposées forment un hexagone de côté 120 cm avec un hexagone vide au centre de côté 60 cm. La table a donc une aire valant celle de trois triangles équilatéraux de côté 60 cm. Ce problème a donné l’idée à Michel Sarrouy d’un prolongement qui sera proposé dans une prochaine rubrique.

539-2 Une variante de l’équation de Markov

Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Gérald Anselme (Valleiry), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Jean Moussa et Daniel Perrin (université Paris-Saclay) ont tous montré l’existence de trois applications involutives qui transforment tout triplet solution en un autre triplet solution. En partant de la solution évidente \((1, 1, 1)\) on peut ainsi construire un arbre infini de solutions en appliquant les trois transformations. Pierre Renfer va plus loin et démontre par récurrence que cet arbre contient toutes les solutions non nulles de l’équation. Quant à Daniel Perrin et aux co-auteurs Patrick David et Julien Sautier, ils nous gratifient de deux belles études qui résolvent complètement la question mais qui abordent aussi diverses propriétés des triplets solutions et qui se terminent en s’intéressant à une généralisation de cette équation.

539-3 Rester toujours positif

Ludovic Jany (Bolquère), Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques), Maurice Bauval (Versailles) et Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans) ont tous montré qu’une suite géométrique dont la raison est la racine réelle positive du polynôme du troisième degré associé à la suite récurrente, est solution du problème posé. Plus délicate était l’étude de l’unicité de cette suite. Seuls messieurs Jany et Renfer l’ont abordée et résolue chacun à leur façon.

539-4 Un duo de coniques

Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) et Pierre Renfer (Saint-Georges-d’Orques) proposent une résolution analytique avec des calculs dans le repère donné. Jacques Vieulet (Obos) et Maurice Bauval (Versailles) procèdent de même pour les deux premières questions mais utilisent la notion de polaires pour la dernière question. Bernard Coutu (Quint-Fonsegrives) et Daniel Perrin (université Paris-Saclay) font remarquer que les deux premières questions peuvent se traiter sans calcul en invoquant en premier lieu le grand théorème de Poncelet et en second lieu le théorème de Frégier. Pour la troisième question Daniel Perrin utilise des polaires alors que Bernard Coutu applique une conséquence du théorème de Pascal. L’étude de douze pages de Daniel Perrin balaie largement différents aspects de la question et se termine par une généralisation du problème proposé.

Toutes les contributions de ces auteurs sont consultables ici.