Au fil des problèmes n° 539
Solutions

Frédéric de Ligt

© APMEP Septembre 2021

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539 -1 Une table de bureau originale

Un menuisier a conçu une nouvelle table de réunion modulable. Son plateau a la forme d’un pentagone non régulier. Sachant que la longueur \(\mathsf{AB}\) vaut 60 cm et que l’angle en \(\mathsf{A}\) vaut 120°, pourriez-vous donner la valeur exacte de l’aire de ce plateau ?

539 – 2 Une variante de l’équation de Markov (Vincent Thill – Migennes)

Résoudre dans les entiers naturels \[a^2 + 2b^2 + 3c^2 = 6abc.\]

 Andreï Markov 1856-1922.

539 – 3 Rester toujours positif

Poursuivant l’idée de l’énoncé 87 trouvé dans L’appel des Maths (volume 1 Nombres) de Jean-Pierre Boudine, un recueil de problèmes à destination des lycéens publié en 2019 aux éditions Cassini, on considère la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de nombres réels définie par \(\left\{\begin{array}{rcl}
a_0&=&1,\\
a_1&=&x,\\
a_2&=&y,\\
a_{n+3}&=&a_n – a_{n+1}
\end{array}\right..\)

Existe-t-il un couple \((x ;y)\) qui rende tous les termes de la suite strictement positifs ?

539 – 4 Un duo de coniques (Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg)

Relativement à un repère orthonormé \((\mathsf{O},\mathsf{I},\mathsf{J})\), soit \((\mathscr{U})\) le cercle unité d’équation \(x^2 + y^2 = 1\) et \((\mathscr{P})\) la parabole d’équation \(y = x^2 -\sqrt{2}\) ; \(\mathsf{A}\) est un point quelconque de \((\mathscr{P})\). On construit les tangentes \((\mathsf{AB})\) et \((\mathsf{AB_1})\) au cercle \((\mathscr{U})\) issues de \(\mathsf{A}\) qui recoupent la parabole \((\mathscr{P})\) en \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B_1}\).

1. Démontrer que les tangentes au cercle \((\mathscr{U})\) issues de \(\mathsf{B}\) et \(\mathsf{B_1}\) autres que \((\mathsf{BA})\) et \((\mathsf{B_1}\mathsf{A})\) se coupent en un point \(\mathsf{C}\) appartenant à la parabole \((\mathscr{P})\).

2. Démontrer que lorsque \(\mathsf{A}\) varie sur \((\mathscr{P})\) les diagonales \((\mathsf{AC})\) et \((\mathsf{BB_1})\) du quadrilatère variable \(\mathsf{ABCB_1}\) inscrit dans \((\mathscr{P})\) et circonscrit à \((\mathscr{U})\) se coupent en un point fixe \(\mathsf{K}\) situé sur l’axe de la parabole.

3. Soit \(\mathsf{M}\), \(\mathsf{N}\), \(\mathsf{P}\) et \(\mathsf{Q}\) les points de tangence. Démontrer que les intersections des paires de côtés opposés de chacun des deux quadrilatères \(\mathsf{ABCB_1}\) et \(\mathsf{MNPQ}\) sont toutes les quatre alignées sur une même droite \((\Delta)\).