Cercles alphamagiques

Chouette, un peu de mathémagie ! L’auteur partage ici l’un de ses tours de magie, avec explication mathématique.
Amusez-vous et faites-le découvrir aux élèves …

Sébastien Reb

© APMEP Septembre 2022

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Le tour du magicien

Voici un cercle magique numéroté :

• Choisis l’un des dix nombres du cercle pour point de départ, garde-le secret.
• En épelant le nombre écrit en toutes lettres (sans tenir compte des traits d’union), suis les segments (un pour chaque lettre épelée) dans le sens des aiguilles d’une montre.
• Je suis sûr que tu arriveras à 31 !

Alors ? ? ?
Fais ton choix, l’issue est incontournable !

Explication mathématique

Tout repose sur la construction de la figure et un peu d’arithmétique !

Comment est construite la figure ?

Si on note de 1 à 10 les dix points du cercle alors, avec un écart de trois entre chaque nombre, le cycle (modulo 10) obtenu dans les trajets est (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2, 5, 8).

Pour les nombres, il suffit de placer ceux dont le nombre de lettres correspond au nombre de segments dans les trajets pour atteindre la cible 31.

Imaginons que la cible soit en position 10 dans le cycle (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2, 5, 8), nous pouvons utiliser le tableau suivant pour prévoir les nombres à placer autour du cercle.

Nombre en position	Nombre de lettres à prévoir (modulo 10)	Exemples
1	3 ou 13 ou 23 …	dix ou cinquante-sept ou …
2	6 ou 16 ou …	treize ou quinze ou …
3	9 ou 19 ou …	vingt-cinq ou …
4	2 ou 12 ou …	quarante-deux ou …
5	5 ou 15 ou …
6	8 ou 18 ou …
7	1 ou 11 ou …
8	4 ou 14 ou …
9	7 ou 17 ou …
10	10 ou 20 ou …

Cas général ou pourquoi ça fonctionne ?

Lemme : si \(n\) et \(e\) sont deux entiers premiers entre eux avec \(e < n\) alors les entiers de 1 à \(n\) sont rangés dans un unique cycle d’écart \(e\) : (\(1\), \(1+e\), \(1+2e\), …, \(1+(n-1)e\)) où les nombres \(1+ke\) se lisent modulo \(n\).

De façon générale, pour trouver, pour une position \(N\), le nombre de lettres à prévoir sur un cercle de \(n\) points avec un écart de \(e\), on cherche un multiple de \(n\) sous la forme \(np\) tel que \(N+ke=np\) donc tel que \(\dfrac{np-N}{e}\) soit un entier.

Dans notre tour présenté précédemment, \(n=10\) et \(e=3\) sont bien premiers entre eux. Alors par exemple pour \(N = 4\), on a \(\dfrac{10-4}{3}=2\) et le nombre de lettres à prévoir pour la position \(N=4\) sera \(2\) (modulo \(10\)).

C’est ce que l’on vérifie dans le tableau précédent.

À vous de créer des cercles alphamagiques !

En changeant le nombre de points et de segments sur le cercle vous pouvez maintenant créer d’autres cercles alphamagiques (avec \(n\) et \(e\) premiers entre eux bien sûr !)

Ce tour de magie permet aussi de travailler avec les élèves l’écriture des nombres et pour éviter la partie fastidieuse du comptage des lettres, pourquoi ne pas utiliser un tableur :

nombre écrit en lettres	suppression des traits d’union	nombre de lettres	nombre de segments dans le trajet
A2	=SUBSTITUE(A2;"-";"")	=NBCAR(B2)	=MOD(C2 ;10)
quarante-cinq	quarantecinq	12	2
quarante-six	quarantesix	11	1
cinquante-trois	cinquantetrois	14	4
soixante	soixante	8	8

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Sébastien Reb est enseignant de mathématiques et formateur dans l’académie de Dijon. Il est coordonnateur du laboratoire de mathématiques inter-degré de Toucy (89) et rédacteur en chef de la revue Médiane.

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