Le jeu du calisson

Les amateurs de Q\(\ast\)bert , et les autres aussi d’ailleurs, trouveront leur bonheur avec ce jeu d’Olivier Longuet dans lequel il s’agit d’empiler des cubes ou de ranger des calissons ! Amusez-vous bien.

Olivier Longuet

© APMEP Septembre 2021

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Un calisson est un losange composé de deux triangles équilatéraux isométriques collés par un côté¹. Il en faut trois pour paver l’hexagone de même longueur de côté.

Pour ce pavage, on remarque plusieurs choses : chaque calisson est positionné dans une direction différente, on a l’impression de voir un cube dans l’espace et suivant la position d’où on le regarde, on peut voir un cube plein ou un cube creux.

Il y a une preuve sans mots frappante de ce théorème.

Il faut imaginer qu’on voit un cube vide de côté \(n\) en perspective et qu’on le remplit de caisses cubiques de côté \({1}\). Colorions chacune des faces et des murs dans une couleur correspondant à son orientation. Imaginons maintenant qu’on regarde ce cube de haut. Une face carrée apparaît tout en bleu. Si on regarde le cube de la gauche, on voit uniquement les faces rouges qui pavent un carré, de même pour les faces jaunes si on regarde ce cube à partir de la droite.

À partir du moment où j’ai vu cette preuve, je ne peux voir la figure qu’en trois dimensions.

Un dernier petit résultat concernant cette illusion d’entrepôt de cubes. Comptez le nombre de cubes figurés dans ces six dessins (on s’imaginera regarder l’entrepôt d’en haut).

\({13}\) ou \({14}\) ? Avez-vous remarqué qu’il s’agissait de la même figure, qu’on a tournée six fois de 60° ? Regardez bien, quitte à tourner la page ou la tête. Le nombre de cubes visibles sur la figure dépend de la position dans laquelle on la regarde. On obtient deux résultats dont la somme fait ici \({27}\), le nombre de cubes qu’il aurait fallu pour remplir l’entrepôt.

Cette idée d’entrepôt cubique rempli de caisses cubiques posées les unes contre les autres m’a inspiré un jeu de grille individuel du type du sudoku. Pour le nom du jeu, j’hésite entre calisson ou entrepôt.
Imaginons un entrepôt vide qu’on remplit au fur et à mesure en commençant par le coin figuré au centre du cube. On peut poser un cube face contre face, gauche, droite ou haut, de sorte qu’on peut cacher une face complète mais jamais une demi-face. Toutes les faces visibles des caisses sont entièrement visibles.

Par exemple, dans la figure ci-contre, à partir de la position de l’entrepôt à \({5}\) cubes, si on voulait ajouter un cube, il y aurait a priori trois positions possibles : \(\mathsf{P}\), \(\mathsf{Q}\) et \(\mathsf{R}\). Or la position \(\mathsf{Q}\) est impossible car le cube cacherait des moitiés de faces.

Principe du jeu

À partir d’une grille donnant quelques arêtes principales, il faut reconstituer le rangement complet de l’entrepôt. Les arêtes secondaires, communes à deux cubes contigus, n’ont pas besoin d’être représentées sur la grille².

Dans les deux derniers dessins, seules les arêtes principales sont dessinées et pas les arêtes secondaires.

Pour chaque grille, quelques arêtes principales sont dessinées. Complétez le dessin. Vous pouvez ensuite le colorier à votre goût pour accentuer l’effet 3D. Il y a une unique solution pour chaque grille.

Grilles \({3}\times{3}\times{3}\)

Grilles \({4}\times{4}\times{4}\)

Quelques astuces pour remplir la grille

Il y a au moins deux manières d’aborder le problème : en considérant uniquement les arêtes et en ne coloriant qu’à la fin, ou en considérant les faces des cubes, en les coloriant au fur et à mesure. Voici quelques conseils qui vous permettront de compléter les grilles.

1. Règle du bord.

   Sur une rangée d’un bord, il y a deux possibilités : soit le calisson ne change pas de direction le long de l’arête (dans le cas 1), soit il change de direction une seule fois (dans le cas 2).

   Ainsi, si un segment part d’un bord, alors c’est à cet endroit que le calisson change de direction, et on peut remplir toute la rangée sur le bord.

   Les endroits les plus faciles pour commencer à compléter la grille sont souvent les bords.

2. Règle du coin aigu.

   Si on a dessiné un coin aigu, on peut en déduire la position d’une face.

3. Règle du pli.

   Si une face est dessinée et si une arête borde cette face, alors on peut en déduire l’orientation de la face de l’autre côté de l’arête : il y a un changement d’orientation et il n’y a qu’une position de face possible.

4. Règle du sommet.

   Si un point (hors bord) situé à une intersection du treillis est au bout d’une arête principale, alors il est relié à au moins une autre arête principale : le nombre d’arêtes principales reliées à une intersection du treillis est \({0}\), \({2}\), \({3}\) ou \({6}\).

   Le sommet joint deux arêtes principales dans un alignement.

   Le sommet joint trois arêtes principales.

   Le sommet joint trois arêtes principales.

   Le sommet joint les six arêtes principales.

5. Règle des arêtes sur une ligne.

   Dans une grille, sur chaque ligne du treillis (ligne en pointillés dont les extrémités sont les côtés de l’hexagone), il y a exactement \(n\) arêtes (principales ou secondaires) de longueur \({1}\) qui suivent cette ligne.

   Ainsi, sur la grille \({4}\times{4}\times{4}\) ci-contre, vous pouvez voir une ligne du treillis avec quatre arêtes principales en rouge (ou trois arêtes principales et une arête secondaire suivant la vision adoptée), une ligne du treillis avec trois arêtes principales et une arête secondaire en bleu et une ligne du treillis avec deux arêtes principales et deux arêtes secondaires en jaune.

   

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Olivier Longuet enseigne les mathématiques au lycée Alain Chartier de Bayeux. Il est membre de l’équipe de rédaction d’Au fil des maths et notamment l’auteur de certaines des illustrations.
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