Archimède et la mesure du cercle

Le nombre \(\pi\) fascine généralement nos élèves et la détermination des premières décimales les questionne rapidement. Un document ressource sur Éduscol propose une activité pour approcher la mesure du cercle d’après Archimède. Géométrie classique, algorithmique, suites… de quoi réinvestir les connaissances acquises au lycée. Martine Bühler nous propose dans cet article de construire une belle séance qui pourra être reprise pour le grand oral.

Martine Bühler

© APMEP Mars 2022

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Archimède est cité plusieurs fois dans les programmes de lycée en lien avec « le nombre \(\pi\) » ou la « longueur du cercle » ; d’abord dans la partie « Algèbre » du programme de spécialité de Première générale : « Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations : approximation de nombres réels (encadrement de \(\pi\) par Archimède, […]) » ; puis dans les parties « Analyse » des programmes de l’option « mathématiques complémentaires » et de la spécialité de Terminale générale, de manière très semblable : « On trouve des anticipations du calcul intégral chez Archimède (longueur du cercle, quadrature de la parabole, cubature des solides) ». Les questionnements sur la mesure du cercle et le nombre \(\pi\) pourraient aussi être utilisés pour le grand oral.

Une recherche dans les ressources du site Éduscol donne accès à un document intitulé Méthode d’Archimède (Première générale)¹.

Voici le début de l’activité :

Cette introduction fait allusion, sans le dire, à la proposition 3 du petit traité² d’Archimède (ca 287 avant J.–C., 212 avant J.–C.) intitulé La mesure du cercle. Que dit cette proposition ?

Il est à la portée de nos élèves de traduire cette proposition en langage moderne. Appelons \(P\) le périmètre d’un cercle de diamètre \(D\) et \(S\) le « segment compris entre les dix soixante-et-onzième du diamètre et le septième du diamètre ». La proposition affirme :

\[P=3D+S\text{ avec }\frac{10}{71}\,D< S< \frac{1}{7}\,D.\]

Autrement dit : \(3D+\dfrac{\mathstrut 10}{\mathstrut
71}\,D< P< 3D+\dfrac{\mathstrut 1}{\mathstrut 7}\,D\),
ce qui donne \(3+\dfrac{\mathstrut 10}{\mathstrut 71}< \dfrac{\mathstrut P}{\mathstrut D}< 3+
\dfrac{\mathstrut 1}{\mathstrut 7}\cdotp\)

Ce qui, effectivement, nous « permet d’obtenir une approximation du nombre \(\pi\) » ⁴, et même plus précisément un encadrement de ce nombre. Mais remarquons qu’il n’est pas question de nombre pour Archimède. Pour un Grec de l’Antiquité, le périmètre et le rayon d’un cercle sont des grandeurs. Ce qui fait le lien entre grandeurs et nombres, c’est la mesure des grandeurs⁵. Il n’est nul besoin d’entrer dans ces considérations pour faire travailler les élèves sur la procédure d’Archimède, mais mieux vaut sans doute que l’enseignant(e) sache de quoi il retourne. Et pourquoi ne pas faire lire la proposition d’Archimède à nos élèves ? Ils verront bien qu’on n’y parle pas de nombre \(\pi\). Et qu’Archimède ne calcule certainement pas les périmètres d’un cercle de rayon \(\dfrac{1}{2}\) puisqu’il donne un résultat général sur le périmètre de tout cercle. Cela n’empêche d’ailleurs pas d’expliquer aux élèves que nous allons, non pas calculer des rapports de périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle au diamètre du cercle, mais, pour simplifier les calculs, nous intéresser à un cercle de rayon \(\dfrac{1}{2}\) ou 1.

Voyons la suite de l’activité :

Le texte précise un peu plus bas que les fonctions sinus et tangente ne sont pas connues d’Archimède. Nous verrons plus loin quel peut être l’intérêt d’exprimer ainsi les périmètres des polygones inscrits et circonscrits au cercle. Pour l’instant, contentons-nous de regarder l’utilisation qui en est faite en programmation :

Cette implémentation soulève des interrogations : on annonce que la méthode d’Archimède permet d’obtenir des approximations du nombre \(\pi\), mais, pour l’implémenter, on commence par importer la valeur de ce nombre. Si j’avais montré cela à mes élèves du lycée Flora Tristan de Noisy-Le-Grand, je suis sûre qu’il se serait trouvé des élèves pour faire cette remarque ! Si on veut réellement expliquer aux élèves que cette méthode est efficace, il faut revenir à un travail géométrique pour obtenir une relation de récurrence donnant, à partir du côté d’un polygone régulier de \(n\) côtés inscrit dans le (respectivement circonscrit au) cercle, le côté du polygone analogue ayant le double de côtés. Sans obligatoirement utiliser la méthode exacte d’Archimède, qui utilise des résultats de géométrie que peuvent comprendre nos élèves, mais hors programme, et qui manipule des rapports, on peut obtenir cette relation de récurrence simplement avec le théorème de Pythagore. On peut aussi aller voir des textes ultérieurs, dans lesquels les auteurs manipulent, comme nous, des nombres plutôt que des rapports de grandeurs, facilitant ainsi la tâche. C’est ce qu’ont fait des collègues de Dijon⁶, utilisant pour cela un texte de Legendre extrait de ses Éléments de géométrie (1794) en classe de Seconde.

On peut aussi lire un extrait du traité de Lacroix⁷. Cela nécessite évidemment de donner la définition d’un polygone régulier inscrit dans un cercle, ce qui est facile, et celle d’un polygone régulier circonscrit au cercle, ce qui est rendu un peu plus ardu du fait que la notion de tangente à un cercle a disparu des programmes de collège, et, après une brève apparition dans les programmes de Seconde en 2018, également des programmes de lycée. Or, il faut connaître la propriété de perpendicularité de la tangente au rayon pour pouvoir mener les calculs⁸.

Dans la brochure n°79 de l’IREM de Paris (pp. 36–58)⁹, vous trouverez le texte de la proposition 3 et de sa démonstration par Archimède, ainsi que, à partir de ce texte, des activités¹⁰ pour des classes de Troisième et de Terminale scientifique.

Revenons à l’expression donnée plus haut :

\(a_n=n\sin\left(\dfrac{\pi\mathstrut}{n\mathstrut}\right)\) et \(b_n=n\tan\left(\dfrac{\pi\mathstrut}{n\mathstrut}\right)\). Si elle ne peut pas nous aider à implémenter un algorithme de calcul du nombre \(\pi\), elle peut en revanche nous permettre de montrer la convergence des deux suites vers \(\pi\)… à condition de savoir que \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathstrut\sin(x)}{x\mathstrut}=1\). Cette limite, autrefois explicitement au programme des classes de Première, ou de Terminale scientifique, au gré des réformes de programmes, n’est plus clairement dans les contenus. Elle est liée à la dérivabilité en \(0\) de la fonction sinus et peut donc être utilisée, mais en Terminale et pas en Première générale, puisque la dérivabilité de sinus n’est au programme que de la spécialité mathématique de Terminale. Autrefois, on démontrait cette limite grâce à des encadrements obtenus géométriquement et au théorème « des gendarmes », et on en déduisait la dérivabilité de sinus en \(0\), puis, à l’aide des formules d’addition, la dérivabilité de sinus sur \(\mathbb{R}\). Mais on peut aussi admettre la dérivabilité de sinus et en déduire \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathstrut\sin(x)}{x\mathstrut}=1\) grâce à la définition de la dérivabilité en \(0\).

Que comporte d’autre ce petit traité ?

Voyons la proposition 1 :

On peut traduire ceci en langage moderne et se demander comment nous le démontrerions. Si on note \(\mathscr{A}\) l’aire d’un disque de rayon \(R\) et \(P\) son périmètre, la proposition 1 affirme : \(\mathscr{A}=\dfrac{1\mathstrut}{2\mathstrut}\,RP\). Avec nos formules d’aire et périmètre, on a \(\mathscr{A}=\pi R^2\) et \(P=2\pi R\). Donc la proposition est vraie. Que disent exactement nos deux formules ? En fait, il y a d’une part des propriétés de proportionnalité : l’aire d’un disque est proportionnelle au carré de son rayon et son périmètre à son diamètre ; d’autre part un lien entre aire et périmètre : la constante de proportionnalité est la même, autrement dit \(\dfrac{\mathscr{A}\mathstrut}{R^2\mathstrut}=\dfrac{P\mathstrut}{2R\mathstrut}\cdotp\) Ce qui est loin d’être une évidence.

Que savaient les mathématiciens de l’époque d’Archimède ?

Euclide a démontré dans les Éléments : « Les cercles sont entre eux comme les quarrés de leurs diamètres » (proposition 2 du livre XII). Autrement dit, l’aire d’un disque est proportionnelle au carré de son diamètre, donc aussi au carré de son rayon. La démonstration utilise une méthode qui sera appelée plus tard « méthode d’exhaustion »¹², comportant un double raisonnement par l’absurde.

Euclide n’étudie pas dans son ouvrage le périmètre d’un cercle. Il est plus difficile de manipuler les longueurs de courbes¹³ que les aires curvilignes.

La proposition 1 d’Archimède donne une relation entre le périmètre d’un cercle et son aire. Cette relation, couplée avec la proposition d’Euclide, a pour conséquence la proportionnalité du périmètre au diamètre. Bernard Vitrac¹⁴ signale qu’Héron utilise la proportionnalité du périmètre au diamètre dans Les Mécaniques et que Pappus démontre ce résultat en utilisant la proposition 1 du texte d’Archimède ; les Grecs sont donc conscients de l’importance du résultat d’Archimède et de cette conséquence sur la proportionnalité du périmètre au diamètre d’un cercle. Nous sommes tellement habitués depuis le collège, voire l’école primaire, à utiliser les formules donnant aire d’un disque et périmètre d’un cercle que nous en oublions de nous étonner que la même constante serve pour les deux calculs¹⁵. Voici ce qu’en dit Montucla en 1754¹⁶ :

Il peut être intéressant de donner aussi à nos élèves cette proposition et de partager avec eux notre étonnement devant ce résultat ! Un étonnement que nos élèves pourraient également évoquer lors du grand oral.

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Martine Bühler a enseigné les mathématiques au lycée Flora Tristan (Seine-Saint-Denis) ; elle est membre du groupe d’histoire des mathématiques de l’APMEP et travaille au sein du groupe M.:A.T.H. de l’IREM Paris-Diderot¹⁸ .