Matériaux pour une documentation N° 534

Figures sans paroles : deuxième édition 

Arseniy Akopyan

CreateSpace Independent Publishing Platform, 2019

30 ans MATh.en.JEANS

Association MATh.en.JEANS, 2019

Sept pères du calcul écrit

Jérôme Gavin et Alain Schärlig,

Presses polytechniques et universitaires romanes, 2019

© APMEP Décembre 2019

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Figures sans paroles : deuxième édition

Arseniy Akopyan, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2019

ISBN 978-1797666594, 235 pages, 17,94 €.

Si vous aimez la géométrie plane, ce livre vous apportera beaucoup de plaisir, et si vous n’en connaissez pas trop les richesses, c’est le moment de les découvrir ! Il contient plus de 1 200 exercices de géométrie plane classés par thèmes. Chacun propose un énoncé sous une forme épurée : juste une figure. Les données sont en traits pleins. Des constructions sont en traits plus fins. Les objets de la figure (droites, cercles ou angles le plus souvent) dont il faut démontrer des propriétés sont en pointillés. Rien de plus, aucun texte. Au lecteur, à la lectrice, de comprendre l’énoncé.

Voici un exemple.

On voit que deux carrés sont donnés (l’exercice fait partie de la section Carrés), que des traits plus fins indiquent des constructions; on doit comprendre qu’il faut montrer que les 4 points joints par les segments pointillés sont alignés.

La géométrie plane occupe une place plus importante dans les enseignements secondaires en Russie qu’en France et les élèves russes apprécient ce genre d’exercice. On peut penser que ces exercices stimulent le goût de la recherche et l’entraînement aux raisonnements mathématiques. Les figures les plus simples, utilisées dans nos classes, permettraient sans doute d’offrir aux élèves un meilleur équilibre entre les différents aspects de l’apprentissage des mathématiques.

Attention, certaines figures sont vraiment difficiles. La recherche des solutions consiste souvent en un bricolage initial de découverte de propriétés de la figure : deux côtés sont égaux, un angle est droit, un cercle est tangent à une droite… en des tentatives d’assemblages de ces éléments pour former une démonstration ; elle nous échappe une fois, deux fois… jusqu’à ce qu’une nouvelle observation permette de tout mettre en ordre et de voir un raisonnement complet, plus simple que ce qu’on avait d’abord envisagé. La découverte apparaît parfois comme une étincelle, un moment magique. Ce n’est qu’un éclair, mais cet éclair est tout, aurait pu dire Poincaré. Bon nombre de mathématiciens, amateurs ou professionnels, se souviennent de ces moments de leur jeunesse où ils démontraient pour la première fois des propriétés des triangles et des cercles ; le livre d’Arseniy Akopyan permet de retrouver ces plaisirs ou d’y accéder.

Les exercices sont rangés dans des sections aux titres explicites : Théorèmes élémentaires, Points remarquables dans un triangle, Droites remarquables, Éléments d’un triangle qui comprend 12 sous-titres, Quadrilatères qui inclut la rubrique Carrés dont est issu l’exemple ci-dessus, Propriétés remarquables des coniques, etc. Le niveau de difficulté des différentes figures n’est pas précisé. Des commentaires en fin d’ouvrage attribuent les théorèmes à leurs auteurs, renvoient à des références pour les preuves. En revanche, aucune proposition de résolution des problèmes n’est proposée. Les jeunes lecteurs et lectrices, n’ayant pas beaucoup de figures de référence en tête, auront sans doute plus de mal pour trouver les bonnes idées.

Le site Image des mathématiques  lui consacre depuis mai 2015 une rubrique intitulée Figures sans paroles. Chaque lundi, une nouvelle figure est proposée aux lecteurs qui échangent sur leurs propositions de résolutions, leurs questionnements et blocages. Faire lire ces échanges à nos élèves serait un bon moyen de leur montrer qu’une résolution de problème se fait rarement d’un coup de sifflet !

Arseniy Akopyan s’est formé à l’université de Iaroslav, au nord de Moscou. La première édition de ce livre, en russe, remonte à 2011, on en trouve une version en anglais et en pdf sur le réseau  .

Arseniy Akopyan dit l’avoir beaucoup améliorée depuis, corrigeant des erreurs (les problèmes 4.5.31, 5.5.7, 6.3.4, 6.3.7, 8.1.9, 9.12 n’étant pas corrects précise-t-il sur son site personnel), intégrant des textes d’Olympiades, des envois de nombreux correspondants (dont Pierre Deligne, médaille Fields 1978), inventant lui-même nombre de nouvelles situations. Il dit aussi avoir été très heureux de rendre ainsi hommage aux grands géomètres français, Desargues, Chasles, Poncelet… Olga Romaskevitch, postdoctorante à Rennes, a assuré la traduction de l’ouvrage en français  (peu de texte à traduire, en fait, si ce n’est les titres des sections et la partie commentaires).

Cette deuxième édition de Figures sans paroles n’a malheureusement pas encore trouvé d’éditeurs en France. Pour se la procurer, il faut se résoudre à passer par le site Amazon.

Nul doute que tout club de mathématiques pourrait y trouver des sujets de réflexion et que certaines figures peuvent s’intégrer parfaitement dans les cours de mathématiques du cycle 4 et du lycée. Par ailleurs, Arseniy Akopyan nous offre sur son site un poster au format A0  avec l’ensemble des figures sans parole.

Jean-Pierre Escofier

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30 ans MATh.en.JEANS – Des travaux d’élèves de 1989 à 2018

Association MATh.en.JEANS

MATh.en.JEANS est l’acronyme de Méthode d’Apprentissage des Théories mathématiques en Jumelant des Établissements pour une Approche Nouvelle du Savoir… tout un programme ! L’aventure a commencé en 1989 et voit son succès confirmé année après année avec un nombre de participants en hausse à chaque congrès.

À l’issue de chaque congrès, les participants sont invités à transmettre leurs écrits mathématiques en vue de la publication des actes du congrès. Pour ses trente ans, l’association publie une brochure avec 36 comptes-rendus d’exposés. Un article par année de 1989 à 2011 puis deux par an de 2012 à 2018 pour prendre en compte le nombre croissant de participants. Chaque article est suivi de notes d’éditions voire de commentaires instructifs des éditeurs et des chercheurs.

On se régalera des «lois» réparties à la fin des articles écrites par des élèves de primaire en 1992 comme par exemple, page 12:

• LOI DE RAHMOUNA 1 : pour savoir si un assemblage de chiffres est un nombre ou pas, on regarde si on peut faire des opérations avec et si ces opérations ont un sens. Exemple : les numéros de téléphone ne sont pas des nombres, parce que si on ajoute deux numéros de téléphone, le résultat n’est pas un numéro de téléphone.

• LOI DE ESTELLE 2 : il existe dix nombres qui finissent par le chiffre \(3\) entre \(1\) et \(100\).

Les auteurs ont volontairement choisi des articles de tous niveaux et de toutes régions. Pierre Duchet, l’un des Pierre fondateurs de MATh.en.JEANS, est décédé en pleine gestation de la brochure. Les auteurs lui rendent hommage en publiant un de ses textes¹ en introduction aux articles des chercheurs en herbe ainsi qu’un de ses poèmes en quatrième de couverture.

Un (petit) bémol : la lecture du sommaire ne permet pas toujours de savoir quel thème mathématique est abordé. Un tableau synoptique précisant le niveau requis pour suivre, les parties mathématiques traitées (géométrie, analyse, arithmétique…), l’usage ou non de programmation et du langage utilisé permettrait aux élèves de chercher les problèmes en autonomie.

Pour nous, professeurs de mathématiques et nos élèves curieux de mathématiques, ce recueil est l’occasion de (re)découvrir de jolis problèmes, de lire des approches originales de solutions, de découvrir des pistes auxquelles nous n’aurions pas pensé. La brochure est en couleur, les articles sont agréablement mis en page. Sa présence au CDI ou tout du moins à portée d’élèves apprentis chercheurs est indispensable.

La brochure est disponible sur la boutique de l’APMEP au prix de 15 €  . Elle est également diffusée lors des différents congrès de l’association et des événements auxquels elle participe. Vous pouvez la télécharger en pdf ici : .

Pour aller plus loin

• Article paru dans PLOT 17 (1er trimestre 2017), page 32, rubrique «Associations amies» ;

• Article d’Étienne Ghys paru dans le journal Le Monde du 15 avril 2019 (Rubrique Sciences) : Une certaine idée des leçons de mathématiques.

Valérie Larose

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Sept pères du calcul écrit
Des chiffres romains aux chiffres arabes

Jérôme Gavin et Alain Schärlig, Presses polytechniques et universitaires romanes, 2019

ISBN 978-2889152780, 146 pages, 23,60 €.

Les auteurs sont suisses ; J. Gavin est enseignant au collège (secondaire suisse) et A. Schärlig est universitaire, historien des mathématiques et spécialiste de l’histoire du calcul élémentaire (celui qui s’enseigne à l’école du même nom).

Le titre mérite un décodage ; pour les auteurs, le «calcul écrit» désigne le calcul qui se pratiquera en Europe une fois abandonnée la numération romaine et adoptée la numération décimale (d’où le sous-titre) héritée des Indiens, transmise par les Arabes, adoption qui sera loin d’être achevée au XVII^e siècle, point sur lequel nos auteurs insistent fortement.

L’appellation «pères du calcul écrit» renvoie à une sélection de savants européens du Moyen-Âge à la Renaissance, ayant publié un ouvrage sur le calcul écrit à destination d’un public cultivé, dans la langue de leur pays pour la plupart. L’intention des auteurs est de «faire connaître les individus qui ont lancé le calcul écrit en Europe» et les méthodes qu’ils ont promues.

Un deuxième objectif, d’historiens, est de mettre en garde les lecteurs sur ce qu’ils appellent le «syndrome du rétroviseur» qui consiste à interpréter le passé avec nos connaissances du présent. Apprendre à regarder directement le passé et rien que lui est une intention didactique clairement annoncée.

Donnons un extrait de la table des matières:

• Chapitre 2 Léonard de Pise, 1202

• Chapitre 3 Nicolas Chuquet, 1484

• Chapitre 4 Johann Widmann, 1489

• Chapitre 5 Luca Pacioli, 1494

• Chapitre 6 Adam Ries, 1522

• Chapitre 7 Robert Recorde, 1543

• Chapitre 8 Johann Rudolf von Graffenried,1619

Les dates suivant les noms sont celles de la publication des ouvrages. À cette liste des «pères», les auteurs ajoutent deux noms : Alcuin — qui a inventé l’école — et Gerbert d’Aurillac. Le premier est l’auteur, vers l’an 800, d’un ouvrage en latin d’esquisses arithmétiques pour le plaisir de la finesse (on parlerait aujourd’hui de récréations mathématiques), ce qui permet de faire un état des lieux du calcul, et le second est cité pour son invention, vers l’an mil, d’un abaque révolutionnaire à multiplier et à diviser, utilisant les chiffres arabes mais comme simples marqueurs des jetons.

Chaque auteur est replacé dans son contexte historique, lequel comprend un état de l’art du calcul écrit ; l’œuvre retenue est brièvement présentée et un commentaire est fait sur sa postérité, le plus souvent inexistante ce qui explique que l’installation du calcul écrit en Europe va prendre huit siècles !

Mais le plus intéressant est le fil rouge choisi par les auteurs : pour chaque auteur retenu, cinq problèmes et leur solution sont exposés. On retrouve dans cette liste tous les classiques des ouvrages d’arithmétique : ainsi la chèvre, le loup et les choux chez Alcuin, les lapins de Léonard de Pise, un problème de rencontre de voyageurs chez Chuquet, le temps nécessaire à un lion, un loup et un chien pour dévorer ensemble un mouton par Widmann, le problème de la longueur d’une échelle posée contre un mur chez Pacioli, etc. Les techniques utilisées sont essentiellement la règle de trois et les méthodes de fausse position (simple ou double), jamais l’algèbre, même chez Graffenried qui écrit 30 ans après l’Isagoge de Viète.

Une annexe fournit tous les textes originaux des problèmes retenus avec des références précises permettant à l’amateur d’aller voir par lui-même.

Ouvrage de vulgarisation, conçu — selon le propos même des auteurs — comme une promenade, ce livre agréable à lire, éventuellement crayon en main, bien illustré, a toute sa place dans les bibliothèques des écoles, collèges et lycées. L’enseignant de mathématiques y trouvera de quoi renouveler son catalogue d’exercices et, pourquoi pas, préparer de façon intéressante la transition de l’arithmétique à l’algèbre. Toutefois, le lecteur plus intéressé par l’histoire restera un peu sur sa faim, les auteurs renvoyant pour des développements plus conséquents aux très nombreux ouvrages publiés par A. Schärlig…

François Boucher

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