Suites logiques en maternelle

« Observe bien le début du collier et continue-le de la même façon… » Une consigne fréquemment rencontrée à l’école maternelle, pour un travail d’élève ludique et simple… Pas si sûr ! Sandrine Lemaire propose de questionner les compétences en jeu dans ce type d’activités, puis d’envisager une complémentarité de situations visant la reconnaissance et la mise en œuvre des premiers algorithmes au cycle 1 en mobilisant des matériels variés.

Sandrine Lemaire

© APMEP Mars 2023

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Un petit échauffement pour commencer…

Voici d’abord quelques questions destinées au lecteur pour introduire notre propos. Vous trouverez des propositions de solutions en note de bas de page¹.

Voici le début de suites de nombres. Selon vous, quel est le prochain nombre pour chacune de ces suites ? Question a : 55 – 72 – 89 – 106 – \(\cdots\) Question b : 36 – 108 – 324 – 972 – \(\cdots\) Question c : 9635 – 9539 – 9443 – 9347 – \(\cdots\) Question d : 48 – 63 – 111 – 174 – 285 – 459 – \(\cdots\) Question e : 13 – 134 – 1348 – 134816 – \(\cdots\)

Regardons de plus près la question d, par exemple.

« Le nombre suivant est 744 car pour obtenir un nombre de la suite on ajoute les deux nombres qui le précèdent. »

Mais cette réponse est-elle la seule possible ?

Tout matheux objectera rapidement que cette solution est plausible et acceptable en l’absence d’autres contraintes dans la consigne,mais certainementpas unique. D’ailleurs, la question elle-même suggérait déjà l’idée d’interprétation et de traitement personnels en mentionnant « Selon vous ».

Ainsi, on pourrait tout autant répondre, en justifiant dans chaque cas le raisonnement sous-jacent, que le nombre suivant est :

• 48, en considérant que tout le motif « 48 – 63 – 111 – 174 – 285 – 459 » se répète ;
• 459, en considérant que le début donné est la première partie d’un motif symétrique, constitué de 12 nombres, qui se répète ;
• 913, en considérant qu’à partir du septième nombre, la suite est constante et qu’après le terme 459, tous les nombres sont égaux à 913 ;
• ou encore une multitude d’autres propositions qui ne peuvent être invalidées tant que l’argument avancé reste compatible avec le (déficit de) cadrage de la question !

Ce petit préambule pointe la difficulté de la formulation de ce type de questions, formulation qui doit être suffisamment resserrée si on vise chez les élèves le repérage d’une logique en particulier, mais toutefois pas trop cadrée pour éviter de suggérer la réponse et ainsi tuer le problème.

Et les colliers de perles à l’école maternelle ?

Les considérations précédentes demeurent valables à l’école maternelle dans les traditionnelles activités du type : « Observe bien le début du collier et continue-le en enfilant les bonnes perles. »
Par exemple :

Une telle consigne sous-entend que l’observation du début du collier est suffisante pour comprendre la logique attendue, que la suite à réaliser est unique ( « les bonnes perles » ) et que, par conséquent, toute mise en œuvre d’un autre raisonnement serait incorrecte.

De manière globale, pour qu’un élève soit en situation de réussite face à cette consigne, il doit être capable d’identifier un principe logique et de le poursuivre (de le mettre en oeuvre). Il s’agit de deux compétences qui vont s’acquérir progressivement et, pour partie, parallèlement.

Essayons de comprendre tout ce qui se joue pour qu’un élève puisse être en situation de réussite face à la question posée.

À la réception du fil portant les premières perles, l’élève doit d’abord comprendre qu’il y a des contraintes à respecter : il ne s’agit pas, cette fois, d’un travail libre (faire un joli collier en fonction de ses préférences personnelles), ni d’un simple entraînement à la motricité fine (maîtriser le geste d’enfilage des perles et de tenue du collier).

Préalables identifiés (côté enseignant) :
• avoir permis une découverte libre du matériel : toucher et utiliser les perles et les cordelettes pour évacuer l’aspect affectif, incontournable avec de jeunes enfants ; • avoir organisé des temps d’entraînement spécifiques pour la manipulation du matériel et la coordination des actions lors de la réalisation d’un collier.

L’élève doit également comprendre que ces contraintes ne sont pas clairement formulées par le maître et que c’est à lui de les dégager par l’observation de l’amorce fournie.

Par conséquent, il doit savoir observer cette amorce, pas seulement la voir : il doit prélever des informations, (se) décrire chacune des perles fournies et dégager (au moins) un critère qui permet de définir une forme de logique valable pour l’ensemble de l’amorce. Une difficulté supplémentaire
réside dans la prise en compte nécessaire de l’ordre des perles de l’amorce pour certaines organisations. Par exemple, pour un début de collier qui serait respectivement « perle bleue – perle rouge – perle verte », le respect de l’ordre des couleurs est essentiel pour une logique basée sur la répétition du motif « bleu – rouge – vert », mais pas pour un autre raisonnement qui imposerait de ne pas avoir deux perles de même couleur qui se suivent.

Préalables identifiés (côté enseignant) :

• avoir mené des activités de comparaison d’objets et d’identification de caractéristiques descriptives (forme, couleur, matière. . .) ; • avoir mené des activités de description de l’organisation spatiale d’une collection d’objets (d’abord une bleue, ensuite une rouge. . .) ; • avoir permis aux élèves de rencontrer, observer, comparer, verbaliser des exemples de logiques qu’il leur est demandé de percevoir, et dans un premier temps sur des colliers terminés, même pour les cas de simples alternances 1 – 1 ; • avoir proposé aux élèves des activités de reproduction de suites finies, d’abord en laissant le modèle visible, puis en le cachant, après un moment d’observation, pour contraindre les élèves à expérimenter des stratégies pour le garder en mémoire.

L’élève doit encore comprendre que le début du collier est une amorce, une partie intégrante d’un tout non encore là. Il doit poursuivre en acte le raisonnement identifié, rester concentré sur cette logique lors des activités de tri pour la recherche, à chaque étape, d’une perle qui convient, contrôler la conformité de sa production tout au long de la réalisation. Ainsi, par exemple, avec une amorce « perle rouge – perle bleue – perle rouge » et l’identification de l’alternance rouge / bleu, il ne suffit pas de poursuivre le collier en commençant les ajouts par une perle rouge, comme dans l’amorce.

Préalables identifiés (côté enseignant) :
• avoir mené des activités de contrôle, de validation, de détection d’erreurs dans des situations d’observation et de description de colliers proposés déjà réalisés, erronés ou non.

Pour illustrer notre discours, la photo suivante montre différents colliers de perles, tous réalisés
à partir de la même amorce « perle rouge – perle bleue – perle rouge », avec la consigne : « Observe bien le début du collier et continue-le de la même façon. »

Le premier collier (en haut de la photo) mobilise l’alternance des deux couleurs en augmentant d’une perle de chaque couleur chaque nouvelle répétition rouge-bleu.

Le deuxième collier prend en compte l’amorce comme le début d’une séquence, plus longue, à répéter (rouge-bleu-rouge-jaune-jaune).

Pour le troisième collier, la troisième perle de l’amorce est considérée comme le début de la première itération du motif rouge-bleu.

Pour le quatrième collier, c’est l’ensemble des trois perles de l’amorce qui constitue le motif à reproduire (rouge-bleu-rouge).

Enfin, le dernier collier suit une logique qui impose, à chaque rang, de placer une perle d’une couleur différente de celle de la précédente.

Pour conclure cette partie, retenons qu’il s’agit essentiellement de bien identifier l’objectif de l’enseignant, à un moment donné, pour un élève (ou un groupe) donné, car les productions valides attendues peuvent être très différentes à partir d’une même amorce. En deuxième piste de vigilance, cet objectif est à signifier explicitement à l’élève, pour l’aider à comprendre le travail du jour, pour ne pas le piéger et pour l’engager dans une démarche de contrôle en cours de réalisation puis dans la
validation finale de la production terminée.

Autres matériels et activités relevant des suites logiques

Les colliers de perles constituent une source riche d’activités de logique au cycle 1 mais il existe aussi d’autres matériels, souvent déjà présents dans les classes (et donc sans investissement supplémentaire), qui peuvent être mobilisés pour élaborer des situations complémentaires et diversifiées.

Nous présentons maintenant, de manière non exhaustive, ni chronologique, quelques idées susceptibles d’enrichir les ressources des professeurs pour l’enseignement des premiers algorithmes à l’école maternelle.

« Piques à brochette » , abaques et cubes empilables

Les fils souples des colliers peuvent être remplacés par des tiges rigides de type « pique à brochette » .

La tige rigide permet à l’élève de percevoir visuellement les régularités de l’organisation linéaire plus facilement qu’avec un fil souple qui peut se courber, s’enrouler… Le tout, tige et perles, doit alors rester posé sur la table, horizontalement, pour éviter les chutes de perles (souvent choisies cubiques pour plus de stabilité dans la réalisation de cette activité).

Par ailleurs, on peut bloquer une des extrémités (de manière inamovible), pour éviter les chutes évoquées ci-dessus, de la même manière que le nœud à une extrémité du fil souple d’un collier. En revanche, dans ce cas, il n’ est plus possible d’agir sur la construction « par les deux bouts » , méthode pourtant bien utile pour construire certains motifs symétriques.

Les fils souples des colliers peuvent aussi être remplacés par des tiges « d’abaque » , pour forcer (aussi) un travail dans des organisations en ligne droite, verticalement cette fois, et pour varier les regards des élèves sur les suites logiques.

On peut aussi construire des tours, debout ou couchées, avec des cubes empilables. En étant sécable sur toute sa longueur, la tour ainsi réalisée permet la correction d’erreur localement, mais elle peut également mettre en évidence une répétition de motifs, en les séparant les uns des autres et en les réassemblant selon les besoins.

Ligne de cases représentées sur un support

On peut aussi poser des objets déplaçables sur la représentation d’une ligne de cases (isolées ou collées les unes aux autres). En cas de repérage d’une erreur, il est possible d’agir localement pour la corriger, sans être obligé de retirer tous les éléments qui suivent « l’intrus » identifié. Avec un tel support, les stratégies de réalisation de la suite sont variées : il est possible de partir d’une extrémité ou de l’autre de la ligne, ou des deux simultanément du milieu de la ligne ou d’une autre case, de commencer par disposer tous les éléments d’une même couleur en parcourant les cases de deux en deux, dans le cas, par exemple, d’une alternance 1 – 1 de deux couleurs. . .

Quadrillage de type « tableau » ou Coloredo

Un quadrillage de type « tableau » (dessiné sur un carton léger par exemple) ou un matériel de type Coloredo² (qui apporte une aide à la précision du positionnement grâce aux picots) permettent de travailler les algorithmes dans un espace à deux dimensions.

En plus des aspects évoqués précédemment pour les lignes de cases, le support à deux dimensions apporte de nouvelles variations dans les cheminements logiques à percevoir ou à suivre. De cette manière, il est possible, entre autres choix, de :

• border le contour rectangulaire,
• remplir tout l’intérieur du quadrillage,
• sélectionner des parcours variés, en ligne brisée,
• …

Il est évidemment possible de recourir à un support quadrillé en deux dimensions pour n’en utiliser qu’une à la fois. Par exemple, on peut s’en servir pour insister sur des comparaisons de lignes qui posent problème aux élèves, en rapprochant ces lignes dans un tableau dont la trame favorise la mise en correspondance des positions respectives des éléments des deux suites comparées.

Formes planes, solides, et bien plus encore…

On peut aussi varier la nature et le nombre des critères mobilisés dans les suites logiques en utilisant :

• des formes planes (classiques et / ou plus originales) ;
• des solides ;
• du matériel diversifié aux multiples critères de tris (couleur, taille, forme…) ;
• des objets de la vie quotidienne ou en lien avec le lexique travaillé par ailleurs au cours de la période (la vaisselle, le matériel scolaire, les animaux de la ferme…),

tout en jouant sur le positionnement et l’orientation des éléments.

Eh bien maintenant, amusons-nous ensemble, petits et grands, en redécouvrant avec les élèves de l’école maternelle le plaisir du raisonnement logique au travers d’une sélection de situations motivantes et variées !

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1. Réponses aux questions :
   a : 123 car pour passer d’un nombre au suivant on ajoute 17.
   b : 2 916 car pour obtenir un nombre de la suite on multiplie le précédent par 3.
   c : 9 251 car pour obtenir un nombre de la suite on retranche 96 au précédent.
   e : 13 481 623 en effectuant la somme des chiffres du nombre précédent et en la recopiant à la fin de l’écriture de ce dernier :
   1 + 3 = 4 ; 1 + 3 + 4 = 8 ; 1 + 3 + 4 + 8 = 16 ; 1 + 3 + 4 + 8 + 1 + 6 = 23 ↩︎
2. Coloredo est un jeu du commerce, composé de plaques de jeu sur lesquelles s’encastrent des jetons de couleurs différentes, que l’on trouve fréquemment dans les classes à l’école maternelle.↩︎

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Sandrine Lemaire est professeure de mathématiques à l’Inspé de l’académie de Nantes. Elle contribue à la formation initiale et continue des professeurs des écoles.

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